Probabilidad Condicional: Probabilidad Total y Teorema de Bayes Teoría de Probabilidades Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Probabilidad Condicional Condiciona la probabilidad de ocurrencia de un evento según los resultados de otro. Permite tener en cuenta las interacciones entre variables aleatorias. Relación a tener en cuenta: Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejemplo En cierto país los porcentajes de ocupación de las personas mayores de edad son los siguientes: Si se elige a una persona cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que esté laborando? Si se elige a una persona que se conoce que es mujer ¿cuál es la probabilidad de que esté laborando? Hombres Mujeres Población activa laboralmente. 18.000.000 15.000.000 Población total de estudio 25.000.000 21.000.000 Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicio Cuál es la probabilidad de ganar el Baloto dado que se acertaron más de 3 números? Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portador de VIH y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades es: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea portadora de VIH dado que no pertenece al grupo de riesgo R? Portador No Portador Pertenece a R 0.003 0.017 No pertenece a R 0.977 Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicios Un sistema eléctrico consiste de cuatro componentes como se indica en la figura El sistema funciona si los componentes A y B funcionan, y cuando al menos uno de los componentes C ó D funcionen. La probabilidad de que un componente funcione se indica en la figura. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente C no funcione, dado que el sistema completo funciona? Asuma que los cuatro componentes funcionan de manera independiente. Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Principio de Multiplicación Permite calcular las interacciones entre eventos a través del cálculo de probabilidades condicionales. Para una cantidad consecutiva de eventos dependientes. Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicios Generales Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se extraen 3 tornillos al azar: Encontrar la probabilidad de que 2 tornillos sean defectuosos. Encontrar la probabilidad de que sólo los 2 primeros tornillos sean defectuosos Si lanzo dos monedas, y al menos una dio cara, ¿cuál es la probabilidad de que ambas fueran cara? Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Probabilidad Total Permite calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento que a su vez depende del resultado de una colección de particiones de otro evento E B1 B2 B3 . Br A A  B1 A  B2 A  B3 A  Br Sea B1, B2… Br un sistema completo de sucesos. Entonces: p(A) = p (A E) = p [A  (B1 U B2 U… Br)] pr. distributiva = p [(A  B1) U (A  B2) U… (A  Br)] eve. excluyentes = p(A  B1) + p(A  B2) + … + p(A  Br) = = p(B1) . p(A / B1) + p(B2) . p(A / B2) +… + p(Br) . p(A / Br) Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicio Suponga que tiene una urna con 3 monedas. La moneda i tiene probabilidad i / 3 de caer cara, para i = 1,2,3. Suponga que usted va a seleccionar una moneda y esta va a ser lanzada. La probabilidad de sacar la moneda 3 es igual a sacar la moneda 2 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de Obtener Sello? Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicio En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C, D; las cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo defectuoso si se obtiene al azar? Hay 15 pelotas de tenis en una caja, de las cuales 9 nunca han sido usadas. Un primer jugador saca 3 pelotas al azar y practica con ellas varias horas y luego las devuelve a la caja. Después, un segundo jugador llega al mismo campo a practicar y saca 3 pelotas de la misma caja. Calcular la probabilidad de que estas 3 pelotas no hayan sido usadas. Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

P(B1) · P(A / B1) + P(B2) · P(A / B2) +… + P(Br) · P(A / Br) Teorema de Bayes Permite calcular probabilidades posteriores a la ocurrencia de un evento. Permiten modificar probabilidades subjetivas cuando se consigue información adicional del experimento. P(Bi / A ) = P(A  Bi ) P(A) Sean B1, B2, ... , Br un sistema completo de sucesos. Se llama probabilidades a posteriori a: P(Bi / A ) = P(B1) · P(A / B1) + P(B2) · P(A / B2) +… + P(Br) · P(A / Br) P(Bi) · P(A / Bi) Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicios En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C, D; las cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. Si se elige un artículo al azar y este resulta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? Suponga que en la urna A tiene bolas numeradas del 1 al 8 y en la urna B tiene bolas numeradas del 1 al 10. Una de las 2 urnas es seleccionada, y de la urna se sacan aleatoriamente 4 bolas. La probabilidad de escoger la urna A es el doble de la probabilidad de escoger la urna B. Si el valor máximo de la muestra es 8, ¿Cuál es la probabilidad que la urna seleccionada haya sido la A? Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Ejercicios El gobierno de cierto país aprobó una ley para hacer obligatorio que los cerca de 200.000 empleados públicos se sometan a una prueba para detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 1% de los empleados públicos del país son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece muestra un resultado positivo en el 98% de los casos en que se le administra a una persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los usuarios de drogas. De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado negativo en el 99% de los casos. Se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad que la persona sea usuario de drogas? Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Solución Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá