Señales y sistemas de tiempo discreto

Contenido Señales y sistemas de tiempo discreto Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto Representacion en el dominio del tiempo de sistemas LTI de tiempo discreto Representacion en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto Representacion en el plano z de sistemas LTI de tiempo discreto Representacion en espacio de estado de sistemas LTI de tiempo discreto Equivalencia de las representaciones

Señales y sistemas de tiempo discreto

Señales de tiempo discreto Definicion: Definidas solamente a valores discretos del tiempo las señales de tiempo discreto pueden tomar todos los valores posibles Son secuencias de numeros reales o complejos Señales Digitales: Son señales de tiempo discreto que toman solo valores dentro de un conjunto finito de posibles valores

Representacion de señales de tiempo discreto Representacion Funcional Representacion Grafica

Representacion de señales de tiempo discreto Representacion Tabular n … -2 -1 1 2 x(n) 0.12 2.01 1.78 5.23 Representacion en Secuencia

Señales de tiempo discreto elementales La señal impulso unitario

Señales de tiempo discreto elementales Señal paso unitario (secuencia Heaviside)

Señales de tiempo discreto complejas http://asyali.org/Projects/Project6.pdf

Sistemas de tiempo discreto Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo o algoritmo que: opera sobre una señal de tiempo discreto llamada la entrada o excitación, p.ej u(n), según alguna regla, p.ej. H [.] para producir otra señal de tiempo discreto llamada salida o respuesta, p.ej y(n).

Sistemas de tiempo discreto llamada tambien operador o mapeo Esta expresion denota tambien: La transformacion H[.] (o procesamiento) realizada por el sistema sobre x(n) para producir y(n).

Descripcion de entrada-salida de sistemas de tiempo discreto discrete-time system input signal excitation output signal response

Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto

Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto La clasificacion de los sistemas de tiempo discreto se puede hacer de manera similar a la de los sistemas continuos: Estaticos, dinamicos Lineales, No lineales Variables o invariantes en el tiempo Causales, no causales

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto estatico Sistema de tiempo discreto dinamico

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto variable en el tiempo Sistema de tiempo discreto invariante en el tiempo

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto causal Sistema de tiempo discreto no causal

Representacion en el dominio del tiempo de sistemas LTI de tiempo discreto

La respuesta al impulso La entrada es un impulso unitario impulse response unit impulse LTI system

La respuesta al impulso La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso h(t) 20

Respuesta al paso LTI system step response unit step unit-step response unit step LTI system Estas expresiones relacionan la respuesta al impulso y la respuesta al paso

Operadores de adelanto y de retardo Para especificar relaciones de sistemas de tiempo discreto entre señales de entrada y salida se usan dos operadores de desplazamiento: El operador de desplazamiento de adelanto q El operador de desplazamiento de retardo q−1:

Operadores de adelanto y de retardo El operador de desplazamiento de adelanto q El operador de desplazamiento de retardo q−1:

Sistemas de tiempo discreto en terminos del operador de retardo Siendo {h(k)} k = 0,1, ··· la respuesta al impulso del sistema,

Respuesta del sistema ¡no confundir con la variable compleja z! La “funcion de transferencia” de un sistema LTI es: ¡no confundir con la variable compleja z!

Representacion en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto

complex-valued exponencial signal Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto LTI system complex-valued exponencial signal impulse response LTI system output

Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto Calculemos la salida del sistema . . .

Respuesta en Frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto

Periodicidad de la respuesta en frecuencia Una propiedad importante de la respuesta en frecuancia es que es periodica con periodo 2p

Podemos considerar la expresion de como su expansion en series de Fourier donde h(k) son los coeficientes de la serie. En consecuencia h(k) esta relacionada con por la integral

Propiedades de simetria de la respuesta en frecuencia La parte real es un funcion par con periodo 2p La parte imaginaria es un funcion impar con periodo 2p

Symmetry Properties EVEN ODD

Representacion en el plano z de sistemas LTI de tiempo discreto

La transformada Z Definicion: La transformada Z de una señal discreta esta definida como la serie de potencia: Donde z es una variable compleja

La transformada Z inverza El procedimiento para transformar del dominio z al dominio del tiempo es denominado la transformada Z inversa: donde C denota el contorno cerrado en la region de convergencia de X(z) que contiene el origen.

La ecuacion de diferencia Un sistema LTI de tiempo discreto puede ser descrito por medio de una ecuacion de diferencia con coeficientes constantes, como sigue

La funcion de transferencia La aplicación de la transformada Z a la ecuacion de diferencia Bajo la condicion de condiciones iniciales nulas Conduce a la nocion de funcion de transferencia

La funcion de transferencia LTI System input signal output signal La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada

La funcion de transferencia La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada

Funcion de transferencia del sistema LTI A partir de la ecuacion de diferencia es posible calcular entonces la funcion de transferencia

Funcion de transferencia del sistema LTI H(z): puede ser vista como una funcion racional de la variable compleja z (z-1).

Representacion en espacio de estado de sistemas LTI de tiempo discreto

Equivalencia de las representaciones

Equivalencia de las representaciones Ejercicio Investigue como Matlab representa un sistema dinámico de tiempo discreto en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.