CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Problemas de Transbordo CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL MSc. Ing. Julio Rito Vargas III cuatrimestre 2014

El problema de transbordo Un problema de transporte permite sólo envíos directamente desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer envíos a través de puntos intermedios (puntos de transbordo). En este caso se habla de un problema de transbordo. A continuación veremos como la solución del problema de transbordo puede ser encontrada a través de un problema de transporte. Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde donde sóolo se puede despachar unidades. Similarmente, un punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:

Características La oferta o suministro en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas-destinos se satisfagan al costo de transporte mínimo posible.

Ejemplo 1: Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver. La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:

Tabla de Costos de transporte Hacía Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston - 8 13 25 28 15 12 26 6 16 17 14 Desde

La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de envío. En este problemas, Memphis y Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos de transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de demanda de 130 unidades cada uno. 130 150 130 200

Solución: A continuación construiremos un problema de transporte balanceado a partir del problema de transbordo. Para ello podemos seguir los siguientes pasos (suponiendo que la oferta excede a la demanda): Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un punto de demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual al excedente) para balancear el problema. Los costos de envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S la oferta total disponible. Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendo las siguientes reglas:

Solución: Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo. Incluir una columna por cada punto de demanda y de transbordo. Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original si. Cada punto de demanda j debe poseer una demanda igual a su demanda original dj . Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a su oferta original + S y una demanda igual a su demanda original + S. Como de antemano no se conoce la cantidad que transitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a la demanda del punto de transbordo para no desbalancear la tabla.

Solución: En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es 130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener una demanda =90. Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen ni demanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda en la tabla deber ser igual a s. Una vez planteado la tabla, se pueden emplear los métodos vistos anteriormente para obtener una solución inicial factible y obtener la solución óptima.

Modelo deTransbordo N.Y. Chicago L.A. Boston Ficticio Oferta Memphis 8 13 25 28 150 Denver 15 12 26 200 6 16 17 350 14 Demanda 130 90

Solución del problema de transbordo

Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar cuidadosamente las combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que de Memphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del total de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignado al punto artificial. De la segunda fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220 de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se emplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente, en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordo de Chicago a Chicago representa simplemente que no se empleó el punto de transbordo.

Gráficamente, la solución óptima resulta:

EJEMPLO 2 Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de envío por automóvil (en decenas de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red

RED - MODELO DE ASIGNACION 800 8 P1 3 1000 T1 5 6 4 D2 900 2 4 5 P2 T2 1200 3 9 D3 500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas: 1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Se plantea identificando como variables de decisión a todas las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre los nodos de la red de transbordo Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados al transbordo Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades para cada nodo de la red de asignación, sin olvidar la condición de no negatividad

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Red para plantear el PPL: Puntos de transbordo D1 800 XT1D1 XP1T1 P1 T1 1000 XD1D2 XT1D2 XP1T2 D2 XP2T1 900 XT2D2 P2 XP2T2 1200 T2 XD2D3 XT2D3 D3 500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3 1000 = XP1T1 + XP1T2 1200 = XP2T1 + XP2T2 XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2 XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3 XT1D1 = XD1D2 + 800 XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900 XT2D3 + XD2D3 = 500 Xij > 0 s.a. :

EJEMPLO DE TRANSBORDO Nodos puros de Oferta P1, P2 Nodos de Transbordo El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2) antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2 y D3 Nodos puros de Oferta Nodos de Transbordo Nodos puros de Demanda P1, P2 T1, T2, D1, D2 D3 El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

NODOS PUROS DE OFERTA Y NODOS PUROS DE DEMANDA Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros de demanda, queda: Oferta en un Nodo puro de Oferta Oferta Original Un nodo puro de oferta no posee amortiguador Demanda en un Nodo puro de Demanda Demanda Original Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

Oferta en un Nodo de Transbordo Demanda en un Nodo de Transbordo NODOS DE TRANSBORDO Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se establece de acuerdo a: Oferta en un Nodo de Transbordo Oferta Original + Amorti- guador La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se encuentra oferta original Demanda en un Nodo de Transbordo Demanda Original Amorti- guador + La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en ocasiones hay demanda original

Matriz de transbordo Resuelto como un PPL

SOLUCION

Solución gráfica del modelo 4 2 8 6 3

100 6 5 1 1 3 150 4 5 1 3 1 3 200 2 4 6 8 150 2 La red de la figura, muestra las rutas de transporte de los nodos 1 y 2 a los nodos 5 y 6, pasando por los nodos 3 y 4. Se ven, en los arcos respectivos, los costos unitarios de transporte. Formule el modelo correspondiente de transbordo Resuelva el modelo e indique cual es la solución óptima