SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Prof. José Mardones Cuevas E- Mail: cumarojo@yahoo.com

Dos o más ecuaciones lineales forman un SISTEMA DE ECUACIONES. Ejemplos:

ECUACIONES SIMULTÁNEAS Las ecuaciones se satisfacen con un mismo conjunto de valores. Es decir, las ecuaciones tienen UNA SOLUCIÓN EN COMÚN. Ejemplo: Aquí x = 3, y = 2 Porque 3+2=5 y 2(3)-2=6-2=4

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES Es aplicar un procedimiento para establecer cuál es la solución del sistema.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Se conocen distintos métodos para resolverlos. Cada método aplica procedimientos específicos para encontrar la solución del sistema.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES Este método consiste en graficar rectas, para luego determinar las coordenadas del punto de intersección de ellas. Ejemplo: y P b a x

RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES Aplicación de métodos basados en el análisis previo de las variables involucradas en el sistema.

METODO ANALÍTICO DE ELIMINACIÓN Método que permite obtener de un sistema una sola ecuación con una incógnita.

Para eliminar una incógnita existen tres procedimientos. Eliminación por:

METODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN Este procedimiento consiste en despejar una de las incógnitas, en ámbas ecuaciones, para luego igualarlas. De esta manera, se elimina la incógnita despejada y se obtiene una ecuación con la otra incógnita.

PROBLEMA En un cine, 17 entradas de niño y 15 de adulto cuestan $83.100, y 10 entradas de adulto y 9 de niño $51.200. ¿Cuánto cuesta una entrada de adulto? Solución: Definimos variables Precio de una entrada de niño: n Precio de una entrada de adulto: a Formamos un sistema

Resolvemos el sistema Eliminación de la incógnita n. Despejamos n en cada ecuación. Eliminamos n igualando ambos resultados. Resolvemos esta nueva ecuación, aplicando producto cruzado.

Por lo tanto, la entrada de adulto cuesta $3.500.

ACTIVIDAD RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO DE IGUALACIÓN. Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados) x = 3 , y =2

Pasos: METODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y. Despeja y en ambas ecuaciones. Iguala los valores algebraicos de y. Así se elimina y. Resuelve la ecuación que queda para obtener el valor de x. Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y.

METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Este procedimiento consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Luego, la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para lograr eliminarla.

PROBLEMA Nicolás tiene 3 veces la edad de Loreto. Si Loreto tuviese 4 años más, ambos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno? Solución: Edad de Loreto: L Edad de Nicolás: N

N es reemplazada por 3L Como N está ya despejada en la primera ecuación, basta sustituirla en la segunda. Luego resolvemos la ecuación resultante. Respuesta: Loreto tiene 2 años y Nicolás 6 años de edad. Reemplazamos este valor en la primera ecuación.

ACTIVIDAD RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO RECIÉN ESTUDIADO Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados) x = 5 , y = 4

Pasos: METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y. Despeja y en una de las ecuaciones. En la otra ecuación sustituye y por su valor algebraico. Así se elimina y. Resuelve la ecuación que queda para obtener el valor de x. Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y. (También puedes reemplazar x en la ecuación despejada)

METODO DE ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN Este procedimiento reduce dos ecuaciones a una sola, sumando una ecuación con otra. Para lograrlo una o las dos ecuaciones se multiplican por un factor adecuado, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean inversos aditivos (así, se eliminarán al sumar).

PROBLEMA En un cine, 17 entradas de niño y 15 de adulto cuestan $83.100, y 10 entradas de adulto y 9 de niño $51.200. ¿Cuánto cuesta una entrada de niño? Solución: Definimos variables Precio de una entrada de niño: n Precio de una entrada de adulto: a Formamos un sistema

Eliminación de la incógnita a Resolvemos el sistema Eliminación de la incógnita a Para igualar los coeficientes usamos m.c.m.(15,10)=30 El 15 cabe en el 30 dos veces, por lo tanto multiplicamos por 2 la primera ecuación. El 10 cabe en el 30 tres veces, por lo tanto multiplicamos por 3 la segunda ecuación. Ahora, multiplicamos por -1 una de las ecuaciones para obtener el inverso aditivo de uno de los coeficientes.

Debemos sumar hacia abajo para obtener una ecuación con una sola incógnita. Resolvemos esta ecuación. Por lo tanto, la entrada de niño cuesta $1.800.

ACTIVIDAD 1 RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL PROCEDIMIENTO RECIÉN ESTUDIADO Solución: (Meta: debes llegar a los siguientes resultados) x = - 101/23 , y = - 44/23

Pasos: ELIMINACION REDUCCION POR Elige una incógnita para eliminar. Por ejemplo, y. Para igualar los coeficientes de y puedes usar el m.c.m. (Mínimo Común Múltiplo). Multiplica cada ecuación por el factor adecuado. Verifica si los coeficientes de la incógnita a eliminar son inversos aditivos. Si no es así, en una de las ecuaciones multiplica cada término por -1. Suma las ecuaciones, miembro a miembro. Así se elimina y. Resuelve la ecuación que queda para obtener x. Reemplaza el valor de x, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener y. ELIMINACION REDUCCION POR

ACTIVIDAD 2 Si tuvieras que resolver el siguiente sistema de ecuaciones, ¿qué procedimiento de eliminación aplicarías? ¿por qué aplicarías éste y no los otros procedimientos?

ACTIVIDAD 3 Cecilia reemplazó a su mamá atendiendo la caja en la librería por un par de horas. Para hacer los recuentos semanales de existencia de artículos en la bodega, utilizan las boletas de compraventa, por lo que es necesario anotar la cantidad y el tipo de artículos vendido. Al hacer el recuento de boletas, se constató que en una de ellas Cecilia anotó un total de 30 cuadernos y un valor de $21.000. Si sólo hay dos tipos de cuadernos a la venta, unos de $500 y los otros de $800, ¿se puede calcular cuantos cuadernos de cada clase vendió? Justifica.

Hasta pronto ...

RESOLUCIÓN DE PROBLEMA Recuerda los verbos de acción que nos llevan a resolver adecuadamente un problema: DEFINIR (lectura y declaración del significado de cada incógnita) RELACIONAR (uso lenguaje Algebraico, formación de ecuaciones) RESOLVER (aplicación de algún método) COMPROBAR (es optativo, pero recomendable) RESPONDER (redacción adecuada de la respuesta)