Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez Depto. de Tecnologías de la Información ITESM, Campus Guadalajara e-mail: rogelio.davila@itesm.mx
Teoría de conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9 A -- 9 es un elemento del conjunto A la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.
Teoría de conjuntos Es el conjunto vacío, ||=0. Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto. Es el conjunto vacío, ||=0.
Teoría de conjuntos Los números naturales Los números enteros Algunos conjuntos importantes: Los números naturales Los números enteros Los números racionales { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc} Los números irracionales Los números reales
Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B A xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A. B A B A A B
Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A. B = A B A A B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto: Ac= {x| xU xA}
Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: (Ac)c = A Ac A = U
Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x A x B}
Propiedades de conjuntos Leyes asociativas A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Leyes conmutativas A B = B A A B = B A Leyes distributivas A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Leyes de Identidad: A = A A U = A
Propiedades de conjuntos 4. Leyes de idempotencia A Ac= U A A = A 5. Leyes de acotación A U = U A = 6. Leyes de absorción A (A B) = A A (A B) = A 7. Leyes de involución (Ac)c = A
Propiedades de conjuntos 8. Leyes 0/1 c = U Uc = 9. Leyes de De Morgan (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc
Ejercicios a). A– (B C) = (A – B) (A – C) 1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B C) = (A – B) (A – C) b). A (B C) = (A B) (A C)
Preliminares Operaciones con Conjuntos Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x A y B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}
Inducción Matemática Definición Sea el conjunto C = {x N| P(x)}. Si se satisface: P(1) es verdadero. Si se cumple que para un k arbitrario (k N): De suponer P(k), logramos demostrar P(k+1) Entonces C = N (C es el conjunto de los Naturales) Ejemplo:
Inducción Matemática Ejercicios Demuestre que: 8+13+18+23+…+(3+5n) = 2.5n2+5.5n Demuestre que para todo n que pertenece a los naturales, xn-1 es divisible entre x-1. Si n es un número natural y 1+x > 0, entonces: (1+x) n 1 + nx Considere el triangulo siguiente: Encuentre una expresión para la suma del renglón i-ésimo y demuestre que es correcta. 1 = 1 3 + 5 = 8 7 + 9 + 11 = 27 13 + 15 + 17 + 19 = 64 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125
Generalización de Conjuntos Sea M un conjunto de índices cualquiera: , para algún , para algún