Capítulo 38A - Relatividad Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

Objetivos: Después de completar este módulo deberá: Establecer y discutir los dos postulados de Einstein concernientes a la relatividad especial. Demostrar su comprensión de la dilatación del tiempo y aplicarla a problemas físicos. Demostrar y aplicar las ecuaciones de longitud, cantidad de movimiento, masa y energía relativistas.

Relatividad especial La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados: I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro. II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)

Reposo y movimiento ¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un objeto está en reposo... o en movimiento? ¿Hay algo en reposo? A veces se dice que hombre, computadora, teléfono y escritorio están en reposo. Se olvida que la Tierra también está en movimiento. Lo que realmente se quiere decir es que todos están en movimiento con la misma velocidad. Sólo se puede detectar el movimiento con respecto a algo más.

No hay marco de referencia preferido ¿Cuál es la velocidad de este ciclista? Tierra 25 m/s 10 m/s este oeste No se puede decir sin un marco de referencia. Suponga que la bicicleta se mueve a 25 m/s, O en relación con la Tierra y que la plataforma se mueve a 10 m/s, E en relación con la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de la bicicleta en relación con la plataforma? Suponga que la plataforma es la referencia, entonces observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.

Referencia para el movimiento (Cont.) Para encontrar la velocidad de la bicicleta relativa a la plataforma, debe imaginar que está sentado en la plataforma en reposo (0 m/s) con relación a ella. Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s. Tierra 25 m/s 10 m/s este oeste Tierra como referencia 0 m/s 10 m/s 35 m/s 0 m/s este oeste Plataforma como referencia

Marco de referencia Tierra 25 m/s 10 m/s este oeste Tierra como referencia Considere las velocidades de tres diferentes marcos de referencia. 10 m/s 35 m/s 0 m/s este oeste Plataforma como referencia 0 m/s 35 m/s este oeste Bicicleta como referencia 25 m/s

Rapidez de la luz constante Plataforma v = 30 m/s a la derecha en relación con el suelo. 10 m/s c Velocidades observadas dentro del carro 40 m/s 20 m/s c Velocidades observadas desde afuera del carro La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en direcciones opuestas. Difieren as velocidades observadas de la bola, pero la rapidez de la luz es independiente de la dirección.

Rapidez de la luz (Cont.) La plataforma se mueve a 30 m/s a la derecha en relación con el niño. 10 m/s c 30 m/s Cada observador ve c = 3 x 108 m/s El observador externo ve velocidades muy diferentes para las bolas. La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente igual a: c = 2.99792458 x 108 m/s

Eventos simultáneos OT OE A B BE BT AE AT El juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de relatividad. Considere al observador OT sentado en el tren en movimiento mientras el observador OE está en el suelo. OT OE En t = 0, el relámpago golpea tren y suelo en A y B. No simultáneos Simultáneos A B BE BT AE AT El observador OE ve los eventos relámpago AE y BE como simultáneos. El observador OT dice que el evento BT ocurre antes que el evento AT debido al movimiento del tren. ¡Cada observador tiene razón!

Mediciones de tiempo Dado que la medición de tiempo involucra juicios acerca de eventos simultáneos, se puede ver que el tiempo también se puede afectar por el movimiento relativo de los observadores. De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

Tiempo relativo Considere el carro que se mueve con velocidad v bajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al techo y regresa en el tiempo Dto para el pasajero y en el tiempo Dt para el observador. Trayectoria de luz para el pasajero d Dto Trayectoria de luz para el observador d x R Dt R

Tiempo relativo (Cont.) Trayectoria de luz para el pasajero d Dto R Dt Sustitución de:

Ecuación de dilatación del tiempo Ecuación de dilatación del tiempo de Einstein: Dt = tiempo relativo (tiempo medido en un marco que se mueve en relación con el evento real). Dto= tiempo propio (tiempo medido en el mismo marco que el evento mismo). v = velocidad relativa de dos marcos. c = rapidez de la luz en el espacio vacío (c = 3 x 108 m/s).

Tiempo propio d Dto Dt Dt > Dto La clave para aplicar la ecuación de dilatación del tiempo es distinguir claramente entre tiempo propio Dto y tiempo relativo Dt. Observe el ejemplo: Tiempo propio d Dto Marco del evento Tiempo relativo Dt Marco relativo Dt > Dto

Encontrar tiempo relativo Dt Ejemplo 1: La nave A pasa a la nave B con una rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave B tarda 4 s en caminar la longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave A? Tiempo propio Dto = 4 s v = 0.8c A B Encontrar tiempo relativo Dt Dt = 6.67 s

Paradoja de los gemelos Un par de gemelos está en la Tierra. Uno sale y viaja durante 10 años a 0.9c. ¡El viaje duplica la edad del viajero! Cuando el viajero regresa, ¡es 23 años más viejo debido a la dilatación del tiempo! Paradoja: Puesto que el movimiento es relativo, ¿no es cierto también que el hombre que permaneció en la Tierra debe ser 23 años más viejo?

Explicación de la paradoja de los gemelos El movimiento del gemelo viajero no era uniforme. Se necesitaban aceleración y fuerzas para ir a y regresar del espacio. ¡El gemelo viajero envejece más! El viajero envejece más y no el que se quedó en casa. Esto NO es ciencia ficción. Relojes atómicos colocados a bordo de aviones que dan la vuelta a la Tierra y regresan han verificado la dilatación del tiempo.

Contracción de la longitud Como el movimiento relativo afecta al tiempo, la longitud también será diferente: 0.9c Lo L Lo es longitud propia v L es longitud relativa Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.

Longitud registrada por el observador: Ejemplo 2: Un metro se mueve a 0.9c en relación con un observador. ¿Cuál es la longitud relativa que ve el observador? 0.9c 1 m Lo L = ¿? L = 43.6 cm Longitud registrada por el observador: Si el observador en el suelo sostiene un metro, desde la nave se vería la misma contracción.

Acortamiento de los objetos Note que es la longitud en la dirección del movimiento relativo la que se contrae y no las dimensiones perpendiculares al movimiento. Suponga que cada uno sostiene un metro. 0.9c Wo W<Wo 1 m =1 m Si el metro tiene 2 cm de ancho, cada uno dirá que el otro sólo tiene 0.87 cm de ancho, pero concordarán en la longitud.

Cantidad de movimiento relativista Las leyes básicas de conservación para cantidad de movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad. La ecuación de Newton para cantidad de movimiento (mv) se deben cambiar del modo siguiente para explicar la relatividad: Cantidad de movimiento relativista: mo es la masa propia, con frecuencia llamada masa en reposo. Note que, para grandes valores de v, esta ecuación se reduce a la ecuación de Newton.

¡La rapidez de la luz es una rapidez final! Masa relativista Si se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa relativista m debe ser consistente con la siguiente ecuación: Masa relativista: Note que, conforme un objeto acelera por una fuerza resultante, su masa aumenta, lo que requiere todavía más fuerza. Esto significa que: ¡La rapidez de la luz es una rapidez final!

Ejemplo 3: La masa en reposo de un electrón es 9. 1 x 10-31 kg Ejemplo 3: La masa en reposo de un electrón es 9.1 x 10-31 kg. ¿Cuál es la masa relativista si su rapidez es 0.8c ? - 0.8c mo = 9.1 x 10-31 kg ¡La masa aumentó 67% ! m = 15.2 x 10-31 kg

Masa y energía Antes de la teoría de la relatividad, los científicos consideraban masa y energía como cantidades separadas, cada una de las cuales se debe conservar. Ahora masa y energía se deben considerar como la misma cantidad. ¡La masa de una pelota de béisbol se puede expresar en joules o su energía en kilogramos! El movimiento se agrega a la masa-energía.

Energía relativista total La fórmula general para la energía relativista total involucra la masa en reposo mo y la cantidad de movimiento relativista p = mv. Energía total, E Para una partícula con cantidad de movimiento cero p = 0: E = moc2 Para una onda EM, m0 = 0, y E se simplifica a: E = pc

El subíndice cero se refiere a valores propios o en reposo. Masa y energía (Cont.) El factor de conversión entre masa m y energía E es: Eo = moc2 El subíndice cero se refiere a valores propios o en reposo. 1 kg Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene una energía Eo y masa mo relativos a la mesa: Eo = 9 x 1016 J Eo = (1 kg)(3 x 108 m/s)2 Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo, su energía cinética se agrega a la energía total.

Energía total De acuerdo con la teoría de Einstein, la energía total E de una partícula está dada por: Energía total: E = mc2 (moc2 + K) La energía total incluye energía en reposo y energía de movimiento. Si está sólo interesado en la energía de movimiento, debe restar moc2. Energía cinética: K = mc2 – moc2 Energía cinética: K = (m – mo)c2

Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de un protón (mo = 1 Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de un protón (mo = 1.67 x 10-27 kg) que viaja a 0.8c? + 0.7c mo = 1.67 x 10-27 kg ; m = 2.34 x 10-27 kg K = (m – mo)c2 = (2.34 x 10-27 kg – 1.67 x 10-17 kg)c2 Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J

Resumen La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados: I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad constante uno con respecto al otro. II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de sus estados de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)

Longitud relativista: Resumen (Cont.) Tiempo relativista: Longitud relativista: Masa relativista:

Resumen (Cont.) Energía total: E = mc2 Cantidad de movimiento relativista: Energía total: E = mc2 Energía cinética: K = (m – mo)c2

CONCLUSIÓN: Capítulo 38A Relatividad