Investigación Operativa INECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Inecuación lineal con dos incógnitas Inecuación lineal con dos incógnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes: En forma implícita: En forma explícita: a.x + b.y + c ≤ 0 También y ≤ m.x + n a.x + b.y + c ≥ 0 También y ≥ m.x + n a.x + b.y + c < 0 También y < m.x + n a.x + b.y + c > 0 También y > m.x + n La solución general es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad. La solución siempre va a ser un SEMIPLANO. Una solución particular es un punto cualquiera que satisface la desigualdad. Para hallar la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=).

Ejemplo 1 - x + 2 y – 2 ≤ 0 Despejada “y”: 2y ≤ x + 2 y ≤ (x + 2) / 2 y ≤ 0,5 .x + 1 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 1 - 2 0 Como y ≤ … la solución es el semiplano inferior. El punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solución El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solución

Ejemplo 2 x + y – 4 > 0 Despejada “y”: y > 4 - x Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 4 4 0 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( 7, 7 ) pertenece a la solución El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solución

Ejemplo 3 y + 4 > 0 Despejada “y”: y > - 4 Dos puntos de la recta frontera Tabla: x y 0 - 4 4 - 4 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( - 3, 5 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 4 ) no pertenece a la solución

Ejemplo 4 x - 3 ≥ 0 Despejada “x”: x ≥ 3 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 3 0 3 3 Como x > … la solución es el semiplano derecho Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solución. El punto ( 5, 3 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solución

Ejercicios (I)

Ejercicios (II)

Ejercicios (y III)

PROBLEMAS de INECUACIONES Para resolver un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas se debe proceder de forma gráfica. Pero si el sistema es mixto, de una ecuación lineal y una inecuación, se podrá resolver de forma analítica: Se despeja una cualquiera de las incógnitas de la ecuación, la expresión que resulte se sustituye en la inecuación, y finalmente se resuelve la nueva inecuación resultante. PROBLEMA_1 Deseamos mezclar café de 1,8 E/kg con café de 2,4 E/kg para obtener 50 kg de mezcla a un precio inferior a 2,16 E/kg. Hallar en que intervalo está el número de kg que podemos mezclar de cada uno. Sea x el nº de kg de café de 1,8 €/kg Sea y el nº de kg de café de 2,4 €/kg x + y = 50  Ecuación  y = 50 – x 1,8.x + 2,4.y ≤ 2,16.50  Inecuación

De la ecuación la incógnita despejada la sustituimos en la inecuación y resolvemos: 1,8.x + 2,4.( 50 – x ) ≤ 108  1,8 x + 120 – 2,4 x ≤ 108  - 0,6 x ≤ - 12  0,6 x ≥ 12  x ≥ 20 Solución = { V x ε R / x ε [ 20, 50] } , { V y ε R / y ε [ 0, 30] } PROBLEMA_2 Una cooperativa decide comprar el doble de camiones que de tractores, pero no desea gastar más de 144.000 euros. Si cada tractor vale 15.000 euros y cada camión 9.000 euros, ¿cuál es el número máximo de tractores que puede comprar? RESOLUCIÓN Sea x el número de camiones a comprar. Sea y el número de tractores a comprar. x = 2.y  Ecuación. 9000.x + 15000.y ≤ 144000 Inecuación Sustituimos y resolvemos: 9000.2.y + 15000.y ≤ 144000 Inecuación 18000.y + 15000.y ≤ 144000  33000.y ≤ 144000  y ≤ 144000 / 33000  y ≤ 4,36 Solución: y = 4 tractores, x = 8 camiones

Sistema de inecuaciones Sea el Sistema_1 - x + y > 0 x + y – 4 ≥ 0 Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución. Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. Vemos que el vértice es el punto C La solución es la zona común a los dos semiplanos, por encima del vértice C. C

A B C Sea el Sistema_2 y – 4 ≤ 0 - x + y > 0 x + y – 4 ≥ 0 Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución. Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. Vemos que los vértices son los puntos A , B y C La solución es la zona común a los tres semiplanos, el triángulo ABC, excepto el lado BC A B C

ZONA SOLUCIÓN Sea el Sistema_3 y – 4 ≤ 0 (1) - x + y > 0 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 4 (1) y > x (2) Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 4 0 0 4 4 4 4 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común. El punto ( 0, 4 ) pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solución

ZONA SOLUCIÓN Sea el Sistema_4 5.x + 2.y ≤ 1200 (1) x + 2.y ≤ 400 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 600 – 2,5.x y ≤ 200 – 0,5.x Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 600 0 200 200100 400 0 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común Y El punto ( -100, 0 ) pertenece a la solución El punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN X