Conservación de la energía El trabajo es el cambio en la energía cinética de un sistema Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa el trabajo es la diferencia en la energía potencial del sistema Entonces, Por lo tanto, energía total del sistema se conserva.

Ejemplo. Determinar la altura mínima desde la cual un objeto debiera empezar a moverse, de manera que pueda completar el recorrido por un rizo circular de radio R, ver la figura. Desprecie la fricción.

Respuesta: Supongamos que el objeto es soltado desde el punto A, a una altura h sobre la base del rizo, como se ilustra en la figura. El objeto, parte del reposo y por efecto de la gravedad, empieza a moverse aumentando su velocidad hasta que llega al punto más bajo del rizo, a partir del cual empieza a disminuir. En cualquier punto del rizo, las fuerzas actuantes sobre el objeto son su peso P=mg y la fuerza de reacción F debida al riel, la que apunta al centro. Ya que F es la magnitud de la fuerza, no puede ser negativa, así que la velocidad mínima del objeto en el punto B debe ser cuando F=0, entonces En el punto más alto del rizo (B), tanto P como F apuntan hacia el centro del rizo (O), entonces donde R es el radio del rizo.

Si la velocidad no fuera ésta, el peso hacia abajo sería mayor que la fuerza centrípeta y el objeto se separaría del riel antes de llegar al punto B, describiendo una parábola hasta regresar al riel. Para calcular la altura h, usamos la conservación de la energía. Entonces, calculando la energía en los puntos A y B, tenemos que EA= EB, de donde que es la altura mínima a la que se debe soltar el objeto para que recorra todo el rizo.

Ejemplo. Un trineo de 20 kg de masa se desliza colina abajo, empezando a una altura de 20 m. El trineo parte del reposo y tiene una velocidad de 16 m/s al llegar al final de la pendiente. Calcular la pérdida de energía debido al frotamiento. Respuesta: Si la energía total al inicio de la pendiente es Pero, al final de la pendiente la velocidad es de 16 m/s, así que la energía es Así que la diferencia en energía es Por lo tanto, la pérdida de energía debida al frotamiento es de 1360 J.

Ejemplo. Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m Ejemplo. Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular la energía cinética, potencial y total en dichas posiciones. ¿Qué velocidad tiene en esas posiciones? Posición inicial x=3 m, v=0. Cuando x=1 m. Cuando x=0 m.

Ejercicio 13.56. Un collarín C de masa m se desliza sin fricción en una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si el collarín se empuja hacia la izquierda hasta comprimir el resorte A en 0.1 m y después se suelta, determine la distancia que recorrerá y su máxima velocidad alcanzada si (a) m= 1 kg, (b) m=2.5 kg.

Respuesta: Por conservación de energía, tenemos que la energía total del collarín en el punto 1, donde el resorte A está comprimido 0.1 m, debe ser igual su energía total en el punto 2 donde el resorte B tiene su máxima compresión debido al movimiento del collarín, imprimido por el resorte A. 1 2 En el punto 1, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte A: De forma equivalente, en el punto 2, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte B :

De la figura observamos que el collarín viaja desde la posición cuando el resorte A esta comprimido hasta la posición cuando el resorte B está comprimido 1 2 Observe que el resultado es independiente de la masa. Respecto a la velocidad, se tiene que será máxima antes de interactuar con el resorte B, entonces, por conservación de energía tenemos que

Ejercicio 13.66. Un collarín de 10 lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla fija que se encuentra en un plano vertical. El resorte tiene longitud no deformada de 14 in y constante k=4 lb/in. Si el collarín se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura, determine su velocidad en (a) el punto A, (b) en el punto B.

Respuesta: De la figura podemos observar que la longitud del resorte estirado hasta la posición O mostrada en la figura es O Esto significa que su cambio de tamaño es

Antes de calcular la energía potencial debemos poner todo en el mismo sistema de unidades, así que es necesario pasar las in a ft teniendo en cuenta que 1 ft=12 in y la masa es Entonces, en la posición O mostrada en la figura la energía total del sistema es

(a) En la posición A, tenemos que el resorte tiene un tamaño Y por conservación de energía tenemos que

(b) En la posición B, tenemos que el resorte tiene un tamaño Y por conservación de energía tenemos que