 La rectoría de una Universidad ha decidido seleccionar aleatoriamente una muestra de dos estudiantes de cada grupo para dar seguimiento a su nivel académico. Supongamos que en uno de los campus el grupo está conformado por 5 alumnos, cuyo promedio académico es como se muestra en la siguiente tabla:

AlumnoNombrePromedio 1Alberto9.0 2Beatriz8.0 3Carmen7.0 4Darina6.0 5Ernesto5.0

 El director académico de ese campus está preocupado pues piensa que al no tomar en cuenta a todo el grupo, el resultado puede no ser representativo, por lo que ha decidió analizar todos las posibles parejas que se podrían elegir a fin de conocer el promedio de cada una.

 En primer lugar calculó todas las posibles muestras que se podrían formar haciendo uso de la fórmula

MuestraAlumnosCalificacionesPromedio 1Alberto, Beatriz9.0, Alberto, Carmen9.0, Alberto, Darina9.0, Alberto, Ernesto9.0, Beatriz, Carmen8.0, Beatriz, Darina8.0, Beatriz, Ernesto8.0, Carmen, Darina7.0, Carmen, Ernesto7.0, Darina, Ernesto6.0,

 Le preocupaba que el valor que se obtuviera de la muestra (2 alumnos elegidos al azar) fuera muy diferente del valor promedio de la población (5 alumnos del grupo). Así que realizó una tabla para conocer la distribución de las medias de las muestras.

X =Probabilidad 5.51/10 = /10 = /10 = /10 = /10 = /10 = /10 = /10 =.00

 También obtuvo el promedio verdadero de la población que es 7.0 y lo comparó con las diversas opciones.  Observa cómo hay un 60% de probabilidades de que el promedio que represente al grupo esté entre 6.5 y 7.5; y en cambio hay una probabilidad baja de que sea un valor muy alejado del promedio real, como podría ser 5.5

 En la práctica es común que el tamaño de la población genere una cantidad de muestras tan grande que no sea posible realizar este ejercicio. Además normalmente no conocemos los valores de la población y es para esto que realizamos el muestreo.  Sin embargo, este ejercicio nos ayuda a entender que entre mayor sea el tamaño de la muestra, menor será la dispersión entre el valor verdadero de la media poblacional y el obtenido en la muestra. Es por eso que normalmente podemos tener mucha confianza en el proceso de estimación.  A la distribución anterior conformada por todos los valores posibles de se le llama distribución muestral para la media.

 Si en la distribución anterior calcula el promedio de los valores de, obtendrás lo siguiente:  Observa que este valor es igual al promedio verdadero de la población, lo cual te permite afirmar que el valor esperado de la media muestral es igual a la media poblacional. En símbolos: E( ) = µ

 Lo que significa que la media de todas las posibles medias de las muestras es igual a la media de la población. Esto que parece un complicado juego de palabras es la base de la confianza que puedes tener en los valores obtenidos en una encuesta.  Observa también que hay más variación entre los valores individuales de la población, que entre los valores de las posibles muestras que se pueden formar con ellos. Dicho de otra forma hay un 40% de probabilidad de seleccionar a un alumno con calificación de 6 o menos, pero sólo un 20% si en lugar de valores individuales se consideran las muestras por parejas.

 Así la desviación estándar para los valores de es llamada error estándar de la media y se puede encontrar con las siguientes fórmulas: 1. Para el caso de una población infinita, o bien cuando el tamaño de la muestra es pequeño, lo que significa que representa 5% o menos de la población (n/N≤0.05):

 Para el caso en que la población sea finita o bien se trate de una muestra grande, este valor se multiplica por un factor de corrección cuyo efecto es reducir la variabilidad de la distribución debido a que la muestra es muy grande en términos proporcionales al tamaño de la población:

 En nuestro ejemplo, se considera que la muestra es grande, ya que comparada con el tamaño de la población representa un 40% de la misma, por lo que requerimos el factor de corrección.  Observa cómo la desviación estándar se reduce al considerar los valores de los promedios de las muestras en lugar de los valores individuales.

 Qué hubiera pasado si en lugar de 5 alumnos hubieras tenido 350 o 12,000? Hubieres tenido muchas más muestras posibles para un tamaño determinado. En este caso se confirmaría lo que hemos afirmado hasta ahora, que entre más grande sea el tamaño de la muestra, la dispersión de las medias muestrales será menor y éstas se distribuirán normalmente en torno a la media verdadera de la población

 Lo anterior es conocido como el Teorema del límite central, que afirma que la distribución muestral de se distribuye normalmente cuando el tamaño de la muestra es de 30 o mayor. Esto también se cumple cuando la muestra es más pequeña pero proviene de una población distribuida normalmente.

 Considera que los adolescentes tienen una estatura promedio de 1.65 m con una desviación estándar de 52 cm. ¿Qué probabilidad hay de que si elijes un adolescente al azar, éste tenga una altura de 1.80 o superior?

 Procederías como se mostró en el tema de distribuciones de probabilidad para varias variables, utilizando Excel  P(x≥180) = =

 Ahora considera que se obtiene una muestra aleatoria de 30 adolescentes, ¿qué probabilidad hay de que la estatura promedio sea mayor a 1.80 m? Al tratarse ahora de una distribución muestral para medias. Toma el valor de µ = 165 cm y calcula la desviación estándar de esta distribución:

 Ahora calcula la probabilidad:  P(≥180) = =.0570

 Nota cómo disminuye la probabilidad de obtener valores alejados de la media de la población al cambiar de un valor individual al valor promedio de una muestra de tamaño 30. ¿Qué podrías esperar de este valor si hubieras tenido una muestra de tamaño 100?

Considerando una población que se distribuye normalmente en la que la media es 500 y la desviación estándar 50; encuentren la probabilidad de que si se obtiene una muestra aleatoria su media esté entre 450 y 550. Considerando cada uno de los siguientes casos: ◦ El tamaño de la muestra es de 5 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 10 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 30 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 50 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 100 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 500 elementos. ◦ El tamaño de la muestra es de 1000 elementos. Considere cada uno e los casos anteriores pero sabiendo que la población es de 1200.