2. ESTIMACIÓN Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Estadística Inferencial 2. ESTIMACIÓN Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando, ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM

Cálculo de valores críticos

Cálculo de valores críticos

Cálculo de valores críticos

Estimación Apuntes.- Hasta ahora: conocidos los parámetros de la población, hemos calculado la probabilidad de que en una muestra se obtenga cierto resultado (media o proporción) Pero lo más usual es que: conocidos los resultados de una muestra, queramos obtener algún conocimiento sobre los parámetros de la población. Eso es la ESTIMACIÓN.

Estimación puntual Parámetro: es un valor numérico que describe una característica de la población. Estadístico: es un valor numérico que describe una característica de la muestra. Estimador puntual: es el estadístico que se toma en una muestra determinada y que se usa para estimar un parámetro poblacional.

Propiedades de los estimadores Estimador insesgado: es aquel estimador para el que se cumple que su media coincide con el valor del parámetro que se va a estimar. Ejemplos: lo son la media muestral y la proporción muestral. Estimador eficiente: es aquel estimador para el que su varianza es mínima. Ejemplos: tanto la media muestral como la proporción muestral son más eficientes cuanto mayor es el tamaño de la muestra. En ambos casos, si aumenta n disminuye σ2 .

Propiedades de los estimadores una comparación… Cuatro tiradores han efectuado 10 disparos sobre una diana. Si traducimos cada disparo en una estimación, efectuada por un determinado estimador, sobre una muestra, podemos interpretar las propiedades de los estimadores de la siguiente forma: Estimador insesgado y no eficiente Estimador sesgado y no eficiente Estimador sesgado y eficiente Estimador insesgado y eficiente

Estimadores puntuales más probables Apuntes.- _ para la media de una población μ, se toma la media de la muestra x para la varianza de la población σ2, se toma s2·n / (n – 1), cuasivarianza muestral ^ para una proporción de la población p, se toma la proporción de la muestra p

Estimación por intervalos En la estimación puntual se obtiene un valor concreto como estimación del parámetro poblacional; pero ese método no permite tener una medida de la confianza que puede depositarse en el resultado de dicha inferencia. Para resolver ese problema se utiliza la estimación por intervalos, que consiste en: obtener un intervalo (intervalo de confianza) tal que haya una determinada probabilidad conocida (nivel de confianza) de que contenga al verdadero valor del parámetro poblacional. Así, si nos referimos a la media μ, se trata de encontrar un intervalo (a , b) tal que: P ( a < μ < b) = 1 - α Ejemplo.- Si se nos pide que estimemos la media poblacional con un nivel de confianza del 95%, se tratará, a partir de una muestra, de encontrar un intervalo (a , b) en el cual podamos asegurar que está contenida μ con una probabilidad de 0'95. En tal caso, la probabilidad de que μ no pertenezca a dicho intervalo será de 0'05; ése será por lo tanto el riesgo asumido con esa estimación (nivel de significación).

Estimación por intervalos Apuntes.- Intervalo de confianza: intervalo (a , b) tal que hay una determinada probabilidad conocida de que contenga al verdadero valor del parámetro poblacional. Nivel de confianza: es la probabilidad de que el parámetro poblacional pertenezca al intervalo de confianza. Generalmente se representa por 1 – α. Es decir: P ( a < μ < b) = 1 - α Nivel de significación o de riesgo: es la probabilidad de que el parámetro poblacional no pertenezca al intervalo de confianza; es decir, 1 – (1 – α) = α. Valor crítico: es el valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1 – α el coeficiente de confianza. Se representa por z α/2 . Margen de error: es la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior del intervalo de confianza: b – a. Error máximo admisible: es la semiamplitud del intervalo de confianza; es decir, la mitad del margen de error. Se denomina E = (b – a) / 2

Valores críticos más usuales

Intervalo de confianza para la media poblacional Sea una población de partida N(m, s). Pretendemos estimar m. Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n. Calculamos la media muestral x. § El intervalo de confianza para el parámetro m de una población N( m, s ) al nivel de confianza 1 – a viene dado por IC = è ç æ ø ÷ ö – x ± z /2 s n Si es desconocida y n es grande (n ³ 30), el intervalo de confianza viene dado por ^ donde 2 es la cuasivarianza muestral

Intervalo de confianza para una proporción p Sea una población donde pretendemos estimar una proporción p. Tomamos una muestra aleatoria de tamaño n donde hay una proporción p^.

Intervalo de confianza para una proporción p

Intervalo de confianza para una proporción p

Tamaño de la muestra Una forma de aumentar la confianza es ampliando el tamaño del intervalo, pero esto tiene el inconveniente de que aumenta el margen de error. Otra forma es aumentar el tamaño de la muestra, ya que el ancho del intervalo depende de n. ¿Hasta dónde debe aumentar n para tener una confianza predeterminada? E