Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones Examen de Grado Magíster en Ciencias con mención en Física Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones Eduardo Rodríguez S. Profesor guía: Dr. Patricio Salgado 22 de agosto de 2003

Contenidos Introducción Gravedad como teoría de gauge Planteamiento Dimensiones impares Dimensiones pares Realizaciones no lineales Reducción Dimensional Conclusiones

Introducción Tres de las cuatro interacciones fundamentales son teorías de gauge cuánticas y renormalizables. La versión cuántica de la Relatividad General es no renormalizable. Pista: Relatividad General no es una teoría de gauge.

Gauge y Gravitación Consideramos a ea y wab como componentes de una conexión para el grupo de Poincaré: La curvatura es

Gauge y Einstein-Hilbert Las transformaciones de gauge infinitesimales son Acción de Einstein-Hilbert:

Einstein-Hilbert La acción de Einstein-Hilbert no es invariante bajo traslaciones: Gravedad en cuatro dimensiones no es una teoría de gauge. La acción de EH tampoco es invariante bajo traslaciones en dimensiones más altas.

Dimensiones superiores La teoría de cuerdas requiere de dimensiones adicionales: Cuerda bosónica: d = 26 Supercuerdas: d = 10 Supergravedad permite un máximo de 11 dimensiones. Se cree que la Teoría M debe ser formulada en 11 dimensiones.

Lanczos-Lovelock En d dimensiones, lagrangeano sin torsión más general posible: Coeficientes ap: quedan fijos mediante el requerimiento de consistencia de las ecuaciones de movimiento.

Lanczos-Lovelock En d = 2n - 1 dimensiones, la elección de coeficientes permite que el lagrangeano sea invariante bajo boosts de (A)dS. En d = 2n dimensiones, el lagrangeano mantiene sólo la invariancia bajo rotaciones locales de Lorentz. P O

Planteamiento Queremos escribir una acción para la gravedad en d dimensiones Invariante bajo difeomorfismos, Con ecuaciones de segundo orden para la métrica, Invariante de (A)dS en el espacio tangente:

Planteamiento Partimos con una acción que es invariante bajo el subgrupo de estabilidad H = SO(d - 1,1) del grupo de AdS G = SO(d - 1,2). Ejemplo clásico:

Campos no lineales Realizamos una transformación de gauge con un elemento de G/H, Obtenemos

Realizaciones no lineales La acción no es dejada invariante por estas transformaciones. La coordenada de AdS za aparece como un nuevo campo en la acción transformada. Si la acción fuese invariante de gauge, sólo estaríamos agregando un término de borde.

Leyes de Transformación Acción de un elemento de G sobre un elemento de G/H: Cuando la transformación es lineal:

Leyes de Transformación En general, za y h son funciones no lineales de za y g. Bajo G, los campos no lineales Va y Wab transforman según la ley

Transformaciones infinitesimales Lorentz: lab Boosts: ea

Realizaciones no lineales La acción es invariante bajo rotaciones locales de Lorentz y boosts de AdS.

Realizaciones no lineales Sus ecuaciones de movimiento asociadas son La ecuación para za no es independiente, ya que puede obtenerse tomando la derivada covariante de la ecuación para ea.

Cargas conservadas I A cada simetría de la acción le corresponde una carga conservada. Para difeomorfismos generados por un campo vectorial x, hallamos

Cargas conservadas II Carga conservada asociada a la invariancia bajo rotaciones locales de Lorentz: Carga conservada asociada a la invariancia bajo boosts locales de AdS:

Reducción Dimensional Es el proceso utilizado para obtener teorías efectivas en dimensiones más bajas a partir de teorías en altas dimensiones. Ejemplo: Kaluza-Klein

Método I Método más sencillo e intuitivo

Método II Método menos intuitivo

De 4 a 3: Método I Reducción de las constantes Integrar sobre x4

De 4 a 3: Método II Reducción de las constantes Integrar sobre x4

De 2n a 2n - 1: Método I La acción reducida es una acción de Lovelock Sin embargo, es distinta de la acción de Chern-Simons en dimensiones impares Integrar sobre x2n

De 2n a 2n - 1: Método II La acción reducida es una acción de Lovelock Sin embargo, es distinta de la acción de Chern-Simons en dimensiones impares Integrar sobre x2n

Tercera Alternativa Abandonamos la hipótesis de independencia de los campos en x2n y asumimos Integrando en hallamos

Tercera Alternativa Cualquier identificación sencilla, como permite encontrar la acción de Euler-Chern-Simons en 2n - 1 dimensiones:

Conclusiones La inclusión de la coordenada de (A)dS za permite escribir una acción invariante de (A)dS en dimensiones pares. Las ecuaciones de movimiento tienen la misma forma que en el caso usual. La simetría de (A)dS tiene una carga conservada asociada no trivial. La reducción dimensional de la acción conduce a una teoría de la gravedad en la dimensión inferior.