29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 1 Conociendo Números Irracionales Famosos 1 Alianza para el Aprendizaje de Ciencias y Matemáticas (AlACiMa)

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 2 Parte I Objetivo: Repasar cu á les son los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y relaciones entre ellos. 2 En la siguiente tabla escribe dos ejemplos inventados por t í de números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 1.

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 3 N ú meros Ejemplo 1 Ejemplo 2Auto evaluaci ó n % Dominio Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 4 Rúbrica 1 4 Escala N ú mero de ejercicios correctos Interpretaci ó n Domin ó 10, 9 u 8 Si resulta que 70% o mas de los estudiantes no dominaron la destreza se sugiere se retomen los conceptos y se presenten otros ejemplos antes de pasar a la parte III. Dominio Parcial7, 6, 5 No Domin ó 4, 3, 2 o 1

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 5 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la r ú brica 2

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 6 Escala N ú mero de ejercicios correctos Interpretaci ó n Domin ó 6 ó 7 Si resulta que 70% o mas de los estudiantes no dominaron la destreza, se sugiere se retomen los conceptos y se presenten otros ejemplos antes de pasar a la parte III. Dominio Parcial 4 ó 5 No Domin ó 1, 2 ó 3

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 7 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales N ú meroRacionalIrracional  … ⅝ 3.14 Tabla 2 7

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 8 Parte II Objetivo: Aproximar el valor de  buscando la razón entre la circunferencia y el diámetro de objetos circulares. Se le proveerá al estudiante 3 objetos circulares, cinta métrica y una regla. Llenarán la Tabla 3 indicando la medida en centímetros de la circunferencia y del diámetro de los objetos circulares. Calcularán la razón entre la medida de la circunferencia y la medida del diámetro. Buscarán en el salón un objeto circular y repetirán las instrucciones. 8

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 9 ObjetoMedida Circunferencia Medida Diámetro Circunferencia / Diámetro Tabla 3

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 10 Reflexión Resumen: 10

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 11 Datos históricos y/o curiosos de  11 Muchos intentos para determinar  con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo: "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado"

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 12 Modernamente para evaluar  se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV. En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10,000 cifras de . En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539,600,000 cifras, utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores. Johan Heinrich Lambert( ), matemático alemán, probó que  es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional). Ferdinand Lindemann( ) demostró que  es un número trascendental. Esto significa, entre otras cosas, que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando. No es solución de ninguna ecuación algebraica.

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 13 Parte III Objetivo: Medir la hipotenusa de triángulos rectángulos donde los catetos midan igual a un número natural. Comprobar las medidas con el Teorema de Pitágoras y observar que surgen números irracionales 13

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 14 FiguraMedida Cateto1 = cateto2 Medida hipotenusa Usando el teorema de Pitágoras calcular la hipotenusa (Se obtiene un número irracional) Aproximar con la calculadora el valor de h Tabla 4 14

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 15 Utilizando papel cuadriculado construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden igual a una unidad ( 1 cm, 1 “, etc.). Medir la hipotenusa. Utilizar el Teorema de Pitágoras para comprobar las aproximaciones. Ejemplo 1 cm h Midiendo el valor de la hipotenusa resulto 1.4 cm 15

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 16 Generalizando: Si los catetos miden igual a un numero natural x. Al utilizar el Teorema de Pitágoras, obtenemos: 16

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 17 Parte IV Objetivos: Resolver una ecuación cuadrática y obtener un número irracional, llamado la razón dorada. Comentar datos de la razón dorada. Realizar una actividad con fotos, calculando la razón entre la distancia de la barbilla a la frente con la distancia entre las orejas y observar que aproximadamente resulta el número o razón dorada. Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci. 17

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 18 Usando la fórmula cuadrática resolver la ecuación x 2 – x – 1 = 0 18

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 19 Áreas donde se aplica la raz ó n La anatomía de los humanos se basa en una relación Phi (φ) exacta,. Razones entre partes del cuerpo resultan en una aproximación de este número, tales como: La razón entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La razón entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La razón entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La razón entre el diámetro de la boca y el de la nariz

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 20

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 21 Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 22 Además, por ejemplo, Leonardo da Vinci utilizó la razón áurea para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 23 En muchos ejemplos de la naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonnacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 24 Utilizando las siguientes fotos, calcular una aproximación de la razón áurea. Medir, en centímetros, la distancia de la barbilla hasta la cabeza y la distancia entre las orejas. 24 Carlos Arroyo Zuleyka Rivera

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 25 Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Calculemos la razón entre un término y el anterior. 25

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 26 Esta sucesión tiene el nombre en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa. La sucesión recibe el nombre de Fibonnacci por “ filius Bonacci”, que quiere decir hijo de Bonacci. Recibe el nombre en honor a su padre, quien era representante de los mercaderes de la república de Pisa en los negocios de Argelia. ¿Por qué la sucesión se llama sucesión de Fibonnacci ?

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 27 La sucesión surge al determinar el número de parejas de conejos que se tendrán al cabo de un año, sabiendo que se comienza con una sola pareja y que cada pareja engendra mensualmente otra pareja a partir de su segundo mes de vida. ¿Cómo surgió la sucesión?

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 28 Hacer un mapa de conceptos de lo aprendido

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 29 Reflexión: Alineación temas y/o conceptos discutidos con los Estándares de contenido Estándares de Contenido?? 1: El estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos Matemáticos al representar, estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemas numéricos. 4: El estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas de medición para establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago 30 Reflexión: ¿ Como transferir lo aprendido hoy a la sala de clases?