SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y (t) es modelada mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene:   Donde f(t) es la entrada (función forzada). Si es diferente de cero 1.1 se escribirá: 1.1 1

Definiendo:   Entonces la ecuación toma la forma: es conocida como constante de tiempo y Kp es conocida como ganancia de estado estable o ganancia del proceso. A partir de las ecuaciones (1.2), se encuentra rápidamente que la función de transferencia de un proceso de primer orden esta dado por: 1.2 1.3 2

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación (1.3) es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer orden ó retardo lineal.   Si ocurre que entonces la ecuación (1.1) toma la forma: en este caso la función de transferencia es: 1.4 3

2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. Tiene capacidad para almacenar materia o energía. Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó energía. 2.1 Sistema con capacidad de almacenar masa : Se asume que la rata de flujo de Fo es lineal a la presión hidrostática del nivel del liquido h, a través de la resistencia R:   1.5 4

Figura 1.1 Sistema con capacidad de almacenar masa.   En algún momento el tanque habrá almacenado masa y el balance total de masa será: 5

acomodando la ecuación:   Donde A es la sección del área del tanque. En el estado estable se tiene que: valor para tomar como referencia en la variable de desviación, Usando la ecuación (1.6) y las variables de desviación se tendrán: donde 1.6 1.7 6

Haciendo: Constante de tiempo del proceso Ganancia de estado estable del proceso. Entonces a partir de la ecuación (1.7), la función de transferencia del sistema es: 1.8 Observaciones: Puede decirse que la sección del área del tanque A, es una medida de su capacitancia o su capacidad de almacenar masa. Desde que constante de tiempo, puede decirse que para el tanque se cumple: 7

Figura 1.2 sistema con capacidad de almacenar energía. (constante de tiempo)=(capacidad de almacenamiento)x(resistencia al flujo) 2.2 Sistema con capacidad de almacenar energía. Sea un tanque cuyo liquido es calentado mediante vapor saturado, vapor que fluye a través de una bobina inmersa en el tanque, como se representa en la figura 2.1 Figura 1.2 sistema con capacidad de almacenar energía. 8

Aplicando la ecuación de balance de energía para el sistema mostrado, se encuentra: En el estado estable se cumple que:   Restando las ecuaciones (1.9) y (1.10), resulta una ecuación en términos de las variables de desviación. 1.9 1.10 1.11 9

donde: Ts es la temperatura en estado estable y Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (1.11), encontramos la siguiente función de transferencia: Tp = Constante de tiempo del proceso = Kp = Ganancia de estado estable =1 1.12 10

Observaciones: La ecuación (1.12) muestra claramente que este es un sistema de primer orden. El sistema posee capacidad para almacenar energía térmica y la resistencia al flujo de calor esta dada por U. La capacidad de almacenar energía térmica esta dada por el término: .La resistencia al flujo del calor del vapor al liquido es expresado por el término: Por lo tanto la constante de tiempo del sistema esta dada por la misma ecuación que el sistema del tanque, expuesto en el primer caso. Es decir: 11

Figura 1.3 Proceso térmico. Constante de tiempo =   =(capacidad almacenamiento)x(resistencia al flujo) 2.3 Proceso térmico: Considérese el tanque con agitación continua mostrado en la figura 1.3, se desea conocer en que forma responde la temperatura de salida, T(t), a los cambios en la temperatura de entrada, Ti(t). Figura 1.3 Proceso térmico. 12

Se supondrá que los flujos de entrada y salida, la densidad de los líquidos y la capacidad calorífica de los líquidos son constantes y que se conocen todas estas propiedades. El liquido en el tanque se mezcla bien y el tanque esta bien aislado, es decir el proceso es adiabático. Aplicando la ecuación de balance de energía en estado dinámico del tanque, se tiene: donde: Densidad del liquido a la entrada y la salida, en Kg/m3, respectivamente. Capacidad calorífica del liquido, a presión constante, a la entrada y salida respectivamente, en J/Kg-C. 13

Capacidad calorífica a volumen constante del liquido en J/Kg-C Volumen del liquido en el tanque, m3. Puesto que se ha supuesto que la densidad y la capacidad calorífica permanecen constantes, sobre todo el rango de la temperatura de operación, esta ecuación puede escribirse así: 1.13 14