PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II

ORÍGENES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Desde la antigüedad más remota, los juegos de azar y de suerte han interesado al hombre, se sabe el uso de las tablas es tan viejo como la humanidad misma y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta. El primer dado conocido es de arcilla cubierta de cuero, y fue descubierto al norte de Irak y data de principios del tercer milenio a. C.

Los griegos , que tenían una diosa de la suerte llamada Tique, de origen egipcio, construyeron dados poliédricos que recordaban los sólidos platónicos, algunos se conservaban en el museo de Louvre, en París. Según la Biblia, unos 1000 años antes de Cristo, los israelitas eligieron un rey por sorteo (Samuel 10:20-24).

Pero el cálculo de probabilidades entró muy lentamente a formar parte del campo de las matemáticas. El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática es el Liber de ludo aleae (Manual sobre juegos de azar), escrito por Gerolamo Cardano alrededor de 1550, pero publicado unos cien años después de su muerte. El gran Galileo también se interesó por los juegos de azar y escribió un folleto titulado Sopra le scapere dei dadi (Descubriemnto sobre los juegos con dados) publicado en 1718.

Problemas concretos y prácticos a partir de los cuales se fue creando el modelo matemático cálculo de probabilidades

El problema del duque de Toscana(1560) El duque de Toscana fue un jugador empedernido, y había observado que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman los puntos, el 10 aparecía más veces que el 9. Sin embargo. Según el duque, ambos números se pueden obtener de las seis maneras que se enlistan a continuación

1+2+6=9 1+3+6=10 1+3+5=9 1+4+5=10 1+4+4=9 2+2+6=10 2+2+5=9 2+3+5=10 2+3+4=9 2+4+4=10 2+3+3=9 2+3+4=10

Cardano fue consultado y estudió el problema, pero no encontró respuesta satisfactoria. Fue Galileo quien encontró la solución 50 años más tarde, para ello encontró todos los casos posibles y, por primera vez presentó los datos en tablas de distribución, como la siguiente que corresponde al problema anterior.

El 9 se obtiene de las siguientes maneras: (6,1,2),(6,2,1),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),(4,1,4),…,(1,6,2,). En total hay 25 maneras de obtener 9. El 10 se obtiene de 27 maneras distintas: (6,1,3),(6,2,2),(6,3,1),(5,1,4),(5,2,3),(5,3,2),… Por lo tanto, es normal que el 10 ocurra con más frecuencia que el 9

suma de los puntos con tres dados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Número de maneras de obte- nerlo 1 21 25 27

Los problemas del Caballero de Meré Anoine de Gambaud, Chavalier de Meré. Fue jugador, hombre de letras y un hombre muy reconocido en la corte del rey Luis XIV de Francia. Su primer problema es parecido al del duque de Toscana: ¿Cómo puede se que el l11 ocurra más veces que el 12, cuando se tiran tres dados si ambos números se pueden formar de sies maneras distintas?

El caballero de Meré consulto a su amigo Baise de Pascal, quien mediante este problema empezó a interesarse en las probabilidades y pudo resolver este mismo problema (utilizó el mismo método de Galileo) y muchos más. Para el segundo problema del Caballero de Meré, Pascal pidió la opinión de Fermat y escribió en 1654 “El Caballero de Meré es muy talentoso pero no es matemático y eso, usted lo sabe bien , en un gran defecto”.

Éste es el problema: Dos personas, A y B, participan en un juego donde las dos tiene la misma probabilidad de ganar ( por ejemplo, lazando una moneda). El primero quien gane cinco veces cobra el premio de 4200 francos franceses. Desgraciadamente, después de lanzar la moneda siete veces hay que suspender la contienda; En ese momento A ha ganado 4 veces y B ha ganado 3 veces.

¿Cómo tiene que dividirse el premio entre los dos jugadores? Se propusieron varias soluciones: A) Dividir el premio proporcionalmente a 4b y 3, puesto que el torneo terminó de esa forma, o sea, A cobraría 2400 francos franceses u B cobraría 1800. B) Dividir el premio proporcionalmente a (5-3) y (5-4). O sea, 2 y 1.-

En ese caso, A cobraría 2800 francos franceses y B cobraría 1400. Ninguna de las soluciones presentadas convencía a los jugadores, hasta que Pascal y Fermat propusieron un esquema que tomaba en cuenta el hecho de que A tenía la ventaja de haber ganado ya 4 partidas. El análisis que hicieron inició el estudio de la “probabilidad condicionada”, y el método que usaron se aplica a muchas situaciones que van desde los negocios hasta la medicina. Un diagrama de árbol facilita la representación visual del problema. A continuación solución de Fermat y Pascal

A ganó 4 partidas B ganó 3 partidas ½ ½ Octava A gana B gana ½ ½ Octava A gana B gana Partida ½ ½ Probabilidad de que A Gane: ½+1/2*1/2=3/4 Por lo tanto A debe Cobrar (4200*3)/4=3150 FF Octava partida A gana 5 a 3 Probabilidad de que B gane:1/2*1/2=1/4 Por tanto, B debe cobrar: 4200*1/4=1050 FF Novena partida A gana 5 a 4 B gana 5 a 4

Actividad 1 Después de leer Orígenes del cálculo de probabilidades. Revisa el problema del Duque de Toscana y escribe tus comentarios. En los problemas del Caballero de Meré. Piensa en una posible respuesta para resolver el problema de cómo repartir la apuesta y escríbelo en tu cuaderno. Revisa la estrategia de Fermat y pascal siguieron para dar solución al problema y escribe la conclusión a la que llegaste.

CONCEPTOS BÁSICOS EXPERIMENTO.- Proceso que produce un resultado o una observación.

EXPERIMENTO ALEATORIO.- Sus resultados no se conocen y no pueden predecirse; Por ejemplo, el lanzamiento de dados y de monedas o la cantidad de artículos defectuosos en un supermercado. DETERMINÍSTICO. Describe fenómenos cuyos resultados pueden predecirse; por ejemplo, la caída libre de un obejto, la mezcla de sustacias o la extracción de una ficha de una urna.

Espacio muestral Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se simboliza con la letra S. Ejemplo; Experimento: lanzamiento de un dado. Espacio muestral: resultados posibles del lanzamiento del dado. S{1,2,3,4,5,6}

Punto muestral.-Elemento del espacio muestral. Evento.- subconjunto del espacio muestral. Se simboliza con letras mayúsculas. Ejemplo; Evento A: obtener un número par, al lanzar un dado.

PROBABILIDAD CLÁSICA Para calcular la probabilidad de cualquier evento E se efectúa el cociente del número de elementos del evento E entre el número de elementos del espacio muestral S. P(E)=n(E)/n(S)