Grafos dualmente cordales y sus relaciones con otros tipos de grafos Trabajo de iniciación a la investigación Autor: Pablo De Caria Directora: Marisa Gutierrez Universidad Nacional de La Plata, 8 de octubre de 2008

Objetivos de la presentación: Introducir la clase de grafos dualmente cordales. Caracterizarla y enunciar algunas de sus propiedades. Relacionarla con otras clases de grafos.

Orden de exposición de temas: Revisión de conceptos básicos de la teoría de grafos. Introducción a los grafos cordales y otros tipos clásicos de grafos. Definición de los grafos dualmente cordales y sus caracterizaciones más importantes.

Los árboles compatibles y sus utilidades en el estudio de grafos dualmente cordales. Clases afines: fuertemente cordales, doblemente cordales y potencias de grafos. Hacia una generalización de lo anterior: grafos UV, DV, RDV y sus duales.

Definiciones: Un grafo simple es un par (V,E). V: conjunto cuyos elementos se llaman vértices. E: conjunto cuyos elementos, llamados aristas, son subconjuntos de V con dos elementos. Dos vértices se dicen adyacentes en un grafo si se encuentran en una misma arista. Un subgrafo G´=(V´,E´) de un grafo G=(V,E) es un grafo tal que V´ Í V E´ Í E

Representación gráfica de un grafo:

Representación gráfica de un grafo:

Representación gráfica de un grafo:

Recorridos, caminos y ciclos Dado un grafo G: Un recorrido en G de longitud k es una sucesión v0v1…vk de vértices de G tal que los elementos consecutivos son adyacentes. Un recorrido en el que no se repiten vértices se llama camino. Si solamente el primer vértice y el último coinciden se llama ciclo.

Ejemplos

Cliques de un grafo Un completo de un grafo G es un conjunto de vértices adyacentes de a pares. Un clique es un completo maximal, es decir, no existe ningún otro vértice adyacente a todos sus elementos. El grafo clique de G, o K(G), tiene como vértices a los cliques de G, y son adyacentes si poseen al menos un vértice en común.

Ejemplo

Grafos Conexos Un grafo es conexo si para cualquier par de vértices u y v hay un camino que los contiene. La longitud del más corto de ellos se llama distancia entre u y v o d(u,v). Una componente conexa de un grafo es un subgrafo conexo maximal.

Ejemplos

Árboles Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos.

Grafos cordales Definiciones: Una cuerda de un ciclo es una arista cuyos extremos son vértices no adyacentes en el ciclo. Un grafo es cordal si no posee ciclos de longitud mayor o igual que cuatro sin cuerdas.

Caracterizaciones 1) Existencia de un orden de eliminación perfecto. Dado un vértice v de G, N[v] es el conjunto formado por v y sus vecinos. Se llama Nk[v], o k-vecindario, al conjunto de vértices a distancia menor o igual que k de v. Se dice que v es simplicial si N[v] induce un subgrafo completo. Un orden de eliminación perfecto de un grafo G es un ordenamiento de sus vértices, vn…v2v1 tal que, para 1 ≤ i ≤ n, vi es simplicial en el subgrafo inducido por {v1,…,vi}.

Teorema: un grafo G es cordal si y sólo si posee un orden de eliminación perfecto.

2) Grafo de intersección de una familia de subárboles de un árbol. Teorema: un grafo es cordal si y sólo si es el grafo de intersección de alguna familia de subárboles de un árbol.

Ejemplo

Otras clases Grafos de intervalos Definición: un grafo es de intervalos si es el grafo de intersección de alguna familia de intervalos cerrados de la recta real.

Otras clases Grafos Helly Un grafo G es Helly si todo conjunto de cliques con intersección dos a dos no vacía dispone de un vértice común a todos sus elementos.

Grafos dualmente cordales Definición: dado un vértice v de un grafo G, se dice que w Î V(G) es un máximo vecino de v si N²[v]= N[w]. Un orden v1…vn de los vértices de G es un orden de vecindades máximas si vi posee un máximo vecino en el subgrafo inducido por {vi,…,vn}.

Grafos dualmente cordales Ejemplo:

Grafos dualmente cordales Definición: un grafo es dualmente cordal si posee un orden de vecindades máximas. Ejemplo 1: un grafo que posee un vértice adyacente a todos los demás (vértice universal) es dualmente cordal. Ejemplo 2: todo ciclo de longitud mayor o igual que cuatro no es dualmente cordal.

Diferentes enfoques Órdenes de máximas vecindades: Brandstädt, Dragan, Chepoi, Voloshin. Árboles canónicos: Gutierrez, Prisner, Bornstein, Szwarcfiter. Generalización del concepto de grafos de intervalos propios: Gutierrez, Oubiña. Imagen de los grafos cordales por el operador clique: Szwarcfiter, Bornstein.

Teoremas Primer teorema: para un grafo conexo G son equivalentes: G posee un orden de vecindades máximas. (ii) Existe un árbol generador T de G tal que todo clique en G induce un subárbol en T. Existe un árbol generador T de G tal que todo k-vencidario en G induce un subárbol en T. (iv) Existe un árbol generador T de G tal que todo conjunto N[v], v ÎV(G), induce un subárbol en T. Segundo teorema: K(Cordales) = Dualmente cordales.

Ejemplo

Relación con los grafos de intervalos propios

Relación con los grafos de intervalos propios Teorema: G es un grafo de intervalos propios si y sólo si es compatible con un orden total.

Para grafos dualmente cordales

Relación con los grafos de intervalos propios

Relación con los grafos de intervalos propios Definiciones: Dado un árbol T y un par de vértices u y v llamamos T[u,v] al (único) camino en T de u a v. Sea G un grafo conexo y T un árbol generador de G. T es compatible con G si vw ÎE(G) y z Î T[v,w] - {v,w} implica que vz ÎE(G) y zw Î E(G).

Relación con los grafos de intervalos propios Primer teorema: dado G grafo conexo, G es dualmente cordal si y sólo existe un árbol T compatible con G. Segundo teorema: un grafo conexo es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol generador T de G tal que, para cada camino P en T, G(P) es un grafo de intervalos propios y la sucesión de vértices en P forma un orden compatible.

Propiedades de la distancia Teorema: sea G dualmente cordal, T un árbol compatible con G y u, v Î V(G), entonces la distancia entre u y v es la misma en G(T[u,v]) y G.

Propiedades de la distancia Teorema: sea G un grafo conexo. Entonces G es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol generador T de G tal que si x, y Î V(G) y z Î T[x,y] entonces d(x,z) ≤ d(x,y).

Propiedades de la distancia Teorema: sea G un grafo conexo. Entonces G es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol generador T de G tal que si x, y Î V(G) y z Î T[x,y] entonces d(x,z) ≤ d(x,y).

Propiedades de la distancia Teorema: sea G un grafo conexo. Entonces G es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol generador T de G tal que si x, y Î V(G) y z Î T[x,y] entonces d(x,z) ≤ d(x,y).

Propiedades de la distancia Teorema: sea G un grafo conexo. Entonces G es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol generador T de G tal que si x, y Î V(G) y z Î T[x,y] entonces d(x,z) ≤ d(x,y).

Propiedades de la distancia Proposición: sean G un grafo conexo dualmente cordal y A un completo de G de manera que todos los vértices de A se hallan a la misma distancia de otro vértice w. Entonces existe un vértice v adyacente a todos los elementos de A. x

Más conexiones con el operador clique Primer teorema: un grafo G es dualmente cordal si Y sólo si G es Helly y K(G) es cordal. Segundo teorema: K(Helly)=Helly. Tercer teorema: K(Dualmente Cordal)= Cordal Ç Helly.

Comparación entre cordales y dualmente cordales Un ciclo de longitud mayor o igual que 4 no es un grafo cordal. Una rueda es dualmente cordal y no cordal. Teorema: un grafo dualmente cordal es cordal si y sólo si no posee ninguna rueda de al menos 5 vértices como subgrafo inducido.

Comparación entre cordales y dualmente cordales Similarmente, existe una condición necesaria para que un grafo cordal sea dualmente cordal.

Comparación entre cordales y dualmente cordales Teorema: todo grafo cordal sin n-soles, n≥3, como subgrafos inducidos es dualmente cordal. Aun así, puede haber grafos dualmente cordales con soles como subgrafos inducidos. Por ejemplo, un n-sol, n≥3, más un vértice universal.

Grafos fuertemente cordales ¿Qué condición debemos exigirle a un grafo dualmente cordal para que todo subrafo inducido suyo sea dualmente cordal? En primer lugar, debe ser cordal. Por lo que acabamos de ver, ningún n-sol, n≥ 3, puede ser un subgrafo inducido.

Grafos fuertemente cordales Y, de hecho, vale lo siguiente: Teorema: Un grafo es tal que todos sus subgrafos inducidos son dualmente cordales si y sólo si es cordal y sin n-soles, n≥ 3, como subgrafos inducidos.

Grafos fuertemente cordales Definición: dado un ciclo en un grafo, una cuerda fuerte es una cuerda cuyos extremos son vértices a distancia impar en el ciclo. Definición: un grafo es fuertemente cordal si es cordal y todo ciclo de longitud mayor o igual que seis posee una cuerda fuerte.

Grafos fuertemente cordales Teorema: un grafo es dualmente cordal hereditario si y sólo si es fuertemente cordal. v

Grafos doblemente cordales Si un grafo es cordal posee un orden de eliminación perfecto. Si también es dualmente cordal poseerá un orden de máximas vecindades. Definición: un vértice v es doblemente simplicial si es simplicial y posee un máximo vecino. Un orden v1…vn es doblemente perfecto si, para todo i, vi es doblemente simplicial en el subgrafo inducido por {v1,…,vi}.

Grafos doblemente cordales Teorema: son equivalentes: G es cordal y dualmente cordal. G posee un orden doblemente perfecto. Los grafos con un orden doblemente perfecto reciben el nombre de doblemente cordales.

Potencias de grafos Definición: La n-ésima potencia Gn de un grafo G tiene los mismos vértices que G y dos vértices son adyacentes en Gⁿ si la distancia que los separa en G es menor o igual que n.

Potencias de grafos Teorema: si G es dualmente cordal, G² es cordal. Teorema: toda potencia de un grafo dualmente cordal es dualmente cordal.

Potencias de grafos cordales No siempre el cuadrado de un grafo cordal es cordal. Teorema: dado G cordal, G² es cordal si y sólo si K(G) es cordal. Teorema: si G es cordal, sus potencias impares también lo son. Si G² es cordal, también lo son todas sus potencias pares.

Potencias de grafos cordales Teorema: son equivalentes: G y todas sus potencias son cordales. G y G² son cordales. Existe un orden de eliminación perfecto común para G y G². En inglés, estos grafos fueron bautizados power chordal.

¿Por qué dualmente cordales? Existen dos formas de definir a un grafo a través de sus cliques: Hacer una lista de todos los cliques. Dado cualquier vértice, decir en qué cliques está contenido. Dado un vértice v, llamaremos Cv al conjunto de cliques que contiene a v.

¿Por qué dualmente cordales? Teorema: G es dualmente cordal si y sólo si existe un árbol T con V(T)=V(G) tal que todo clique de G induce un subárbol en T. Teorema: un grafo es cordal si y sólo si existe un árbol T cuyos vértices son los cliques de G tal que cada Cv induce un subárbol en T.

Hacia una generalización Definición: un grafo dirigido es aquel al que se le da un sentido a sus aristas. Definición: un árbol dirigido se dice enraizado en un vértice v si existen caminos que van de v a cualquier otro vértice.

Grafos UV, DV, RDV Grafos UV: grafos de intersección de caminos de un árbol. Grafos DV: grafos de intersección de caminos dirigidos de un árbol. Grafos RDV: grafos de intersección de caminos dirigidos de un árbol enraizado.

Sus duales Grafos dualmente DV: existe un árbol generador dirigido tal que todo clique induce un camino dirigido. Grafos dualmente RDV: ídem, pero se pide que el árbol esté enraizado. Teorema: K(DV)=Dualmente DV. K(RDV)= Dualmente RDV.

Fin