Distinción entre ciencias formales y ciencias empíricas Matemática Lógica Conocimiento ordinario Ciencias Formales Computación Conocimiento Conocimiento científico Ciencia C. de la naturaleza Ciencias Empíricas C. Humanas La ciencia es todo conocimiento que se halla muy sistematizado, que da explicaciones precisas y comprobables de los hechos y que requiere para su elaboración la aplicación de forma sistemática de un método, llamado método científico. muy sistematizado explicaciones precisas y comprobables método científico

Criterios de diferenciación entre las CC.FF. y las CC.EE. Criterios diferenciadores C. De Modo de establecer la verdad C. de Referencia ¿Qué tipo de entidades son objeto de estudio? ¿Cómo sabemos que las proposiciones de la ciencia son verdaderas? Vía racional Vía empírica Entidades materiales Entidades formales o ideales CC.FF. CC.EE.

Objeto de la actividad sensorial Objeto de la actividad mental Diferencia entre las entidades materiales y las entidades formales o ideales (criterio de referencia) Entidades materiales Privados Entidades formales Dependiente del sujeto Objeto de la actividad sensorial Objeto de la actividad mental ¿Hay galletas en la nevera? Hay galletas Existencia subjetiva Objetos pensados, soñados, etc. Modos de existencia Inespaciales-intemporales Espacio-temporales Independiente del sujeto ¿Hay números primos mayores que 100? Hay números primos Existencia objetiva Existencia objetiva Existencia objetiva Pública

Modo de establecer la verdad Reducción al absurdo Regla de casos Modus Ponens Regla de introducción del condicional Verificación racional: lógico-matemática Verificación Observación Medición Experimentación Verificación empírica

Ejemplo de verificación racional La suma de los ángulos de un triángulo valen 180º Conceptos geométricos    Principio lógico de sustitución de idénticos ’ ’ 1.-+ + =180º, por formar un ángulo llano ángulo llano 2.-= ’, por ser ángulos alternos internos alternos internos 3.-  = ’, por ser ángulos alternos internos 3.- ’+ + ’=180º, por 1 y por las igualdades 2 y 3 las igualdades 2 y 3

Nociones de verdad en la ciencia I De acuerdo con los procedimientos para determinar el valor de verdad de las proposiciones en cada uno de los tipos de ciencias se desprende una noción de verdad. noción de verdad Una proposición es verdadera en las Ciencias Formales si y sólo si puede entrar a formar parte del conjunto de proposiciones que constituyen una teoría de las Ciencias Formales en virtud de la relación de implicación que aquella verifica con éstas verdadera en las Ciencias Formales relación de implicación Noción de verdad generalizada Noción de verdad como coherencia coherencia Una proposición es verdadera si es coherente con el resto de las proposiciones del sistema No entra en contradicción con el sistema de proposiciones por lo que forma parte del sistema forma parte del sistema

Nociones de verdad en la ciencia II Una proposición es verdadera en las Ciencias Empíricas si y solo si dicha proposición se adecua a los hechos que describe, adecuación verificable por la experiencia. verdadera en las Ciencias Empíricas verificable por la experiencia. Noción de verdad generalizada Noción de verdad como correspondencia correspondencia Una proposición es verdadera si el hecho que describe se corresponde con el hecho que ocurre en la realidad, correspondencia comprobable por la experiencia. corresponde con el hecho

Estructura de las Ciencias Formales I Las Ciencias Formales son conjuntos de proposiciones ordenadas por la relación de implicación relación de implicación Teorías Axiomáticas Una teoría axiomática : es un conjunto de proposiciones ordenadas por la relación de implicación, de modo que a partir de un pequeño número de proposiciones del conjunto se obtienen el resto de las demás mediante las reglas de inferencia de un Cálculo. Una teoría axiomática

Estructura de las Ciencias Formales II Teorías Axiomáticas Sea T= 1, 2, 3, p1, p2, …, pn 1 y 2 y 3  p1  p2…....  pn. T e o r e m a s A x i o m a s Son proposiciones que funcionan como premisas o fundamentos de la teoría Las proposiciones de T están ordenadas por la relación de implicación Son las proposiciones que son las consecuencias lógicas de la teoría premisas o fundamentos consecuencias lógicas

Estructura de las Ciencias Formales III ¿Cómo sabemos que son verdaderos los teoremas? Una proposición es verdadera en una teoría axiomática si es una consecuencia lógica de los axiomas, es decir cuando es un teorema. consecuencia lógica teorema p es verdadera Def. 1 1  1 ├ p En símbolos ¿Se sabe qué valor de verdad tiene p1? Sea   p1 Depende del valor de verdad de , por la noción de implicación Se requiere un cálculo para la teoría Puesto que   p1, si F, tenemos F?, el condicional es siempre verdadero, pero el consiguiente puede ser falso, por lo que saber si p1, es verdadero dependen del valor de verdad de , que es el axioma. ¿Cómo sabemos que son verdaderos los axiomas?

Estructura de las Ciencias Formales: el valor de verdad de los axiomas Estructura de las Ciencias Formales: el valor de verdad de los axiomas. IV ¿Podríamos saber si  (como axioma) es verdadera buscando proposiciones que la impliquen?    ¿Sería entonces verdadera  ? n 1 Depende del valor de        . . . . Respuesta primera al problema, por los griegos en el IV a.C., los axiomas son proposiciones evidentes en sí mismas , no requieren demostración alguna. ¿Sería entonces verdadera  ? Por esta vía es imposible saber si  es verdadera evidentes en sí mismas Depende del valor de 1 La misma comprensión entraña la verdad, son indubitables comprensión indubitables Regresión al infinito

El todo es mayor que sus partes Axioma general Estructura de las Ciencias Formales:¿son los axiomas evidentes en sí mismos?. V Los axiomas generales y los postulados o axioma particulares formulados por Euclides fueron considerados desde siempre como proposiciones evidentes en sí mismas, algunos ejemplos: Un conjunto de elemento es una pluralidad de entidades que satisfacen una propiedad en común. Otro ejemplo Los axiomas no pueden ser considerados como proposiciones evidentes en sí mismas; solo pueden ser considerados como conjeturas, y por lo tanto las teorías axiomáticas son probablemente verdaderas hasta que no se demuestre lo contrario. El todo es mayor que sus partes Axioma general Muchos matemáticos consideraron la noción de conjunto definida de ese modo como indudablemente verdadera. Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor de dos rectos, la dos rectas suficientemente prolongadas se cortan en este mismo lado ¿Es indubitable la proposición que es un axioma general? ¿Es verdadera esta noción de conjunto? No El conjunto de los pares tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los enteros: la parte es igual al todo 2 4 6 8  2n yxxy x El conjunto de los pares Indica que x cumple la condición  Los pares pueden ser contados       yxxy xx Axioma particular 1 2 3 4  n El conjunto de los enteros positivos xxa xx Eliminación de  Es el axioma quinto de las paralelas: ¿cuántas rectas paralelas a una recta dada pasan por un punto exterior a esta? enteros: la parte es igual al todo Contradicción aa aa una sola Es axioma general es falso Eliminación de 

Estructura de las Ciencias Formales: los conceptos en las teorías axiomáticas. VI Los conceptos mediante los cuales se construyen las teorías axiomáticas han de tener rigurosamente claros su significados Para establecer rigurosamente los significados de los conceptos lo hacemos mediante otros conceptos, las relaciones establecidas las expresamos en definiciones y dichas relaciones son llamadas relaciones semánticas. definiciones relaciones semánticas Definición6: Producto escalar de dos vectores es el número obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman Sea la definición siguiente Definición6: Producto escalar de dos vectores es el número obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman Definición6: Producto escalar de dos vectores es el número obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman Producto escalar de dos vectores Producto escalar de dos vectores módulo de vectores coseno Ángulo formado por dos vectores Definiendum Definiens Concepto definido Conceptos definientes

Otra alternativa sería que c1 definiera a cn Estructura de las Ciencias Formales: problemas semánticos con los conceptos en las teorías axiomáticas. VII Se plantea el siguiente problema: Sea C el siguiente conjunto de conceptos de T: C=c1, c2, … cn La dependencia semántica de los conceptos de T se podrían representar en la siguiente cadena: cn  cn-1  … c1 El problema planteado exige que no puedan ser definidos todos los conceptos C de T; el nuevo problema que se plantea para una teoría axiomática respecto de sus conceptos se formula del modo siguiente: ¿Qué conceptos de T no definiremos y cómo estableceremos sus significados?. cn  cn-1  … c1  Dependencia semántica cn-1 define el sentido de cn etc. Los conceptos de T no definidos se llaman conceptos primitivos y su significado queda establecido en los axiomas de T, el resto de los demás conceptos tienen que ser definidos sobre la base de los primitivos y los llamamos concepto definidos de T. Se tendría que construir una cadena infinita de conceptos para que todos tuvieran significados definidos, lo que conduce a una regresión al infinito Otra alternativa sería que c1 definiera a cn conceptos primitivos Se produciría una circularidad, por lo que ningún concepto quedaría definido concepto definidos

Ejemplo de una teoría axiomática. Teoría axiomática sobre segmentos: las variables tienen como valores segmentos y el símbolo  significa de modo intuitivo, congruencia, los vocablos lógicos son los conocidos en el Lenguaje Leopardo Ampliado. Teoría axiomática sobre segmentos segmentos  congruencia vocablos lógicos Axioma nº1: xxx) Conceptos primitivos Axioma nº2: xy)zxzyzxy Teorema nº1: xy) (xyyx) , x, y segmentos Teorema nº2: xy)z xyyzxz Definición nº1: z =yDef.( w) (wzwy) Definición nº2: z<yDef.( w) (z ywzwy) =, < ,> , Definición nº3: z>yDef. z<y z y). Conceptos definidos Definición nº4: zyDef. z<y  z=y

Ejemplo de una teoría axiomática la estructura de las definiciones II. Definiendum Definiens Definición nº1: z =y Def.( w) (wzwy) z =y .( w) (wzwy) Concepto definido Conceptos lógicos definientes Conceptos propios de la teoría definientes

¿Es indubitable la proposición que es un axioma general? evidentes en sí mismas n 1 n       4 . . . . 2 3 1 Por esta vía es imposible saber si  es verdadera evidentes en sí mismas n  ....1     comprensión indubitables Es el axioma quinto de las paralelas: ¿cuántas rectas paralelas a una recta dada pasan por un punto exterior a esta?

2 4 6 8  2n       1 2 3 4  n Otro ejemplo Definición6: Producto escalar de dos vectores es el número obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman 2 4 6 8  2n       1 2 3 4  n Otro ejemplo El conjunto de los pares tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los enteros: la parte es igual al todo Un conjunto de elemento es una pluralidad de entidades que satisfacen una propiedad en común. enteros: la parte es igual al todo conceptos primitivos concepto definidos