UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Campo eléctrico y Ley de Gauss Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Unidad II 2.1 Introducción 2.2 Objetivo general 2.3 Objetivos especifico 2.4 Campo gravitacional 2.5 Líneas del campo gravitacional 2.6 Campo eléctrico 2.7 Superposición de campos 2.8 Dipolo eléctrico 2.9 Líneas de campo eléctrico Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme 2.11 Distribución continua de masa 2.12 Distribución continua de carga 2.13 Flujo eléctrico 2.14 Ley Gauss 2.15 Auto-evaluación 2.16 Solucionarlo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.1 Introducción De igual modo que el sol influye sobre los planetas no obstante de estar a millones de kilómetros, una carga puede ejercer una fuerza sobre otra, aun cuando estén separadas por una gran distancia. En este capitulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico para una distribución continúa o discreta de cargas en reposo, aprenderemos algunos modos en que nos puede ser útil evaluar el campo eléctrico, así como la utilización de las líneas de campo para su representación.. Después introduciremos la ley de Gauss y las ventajas que proporciona su empleo. Esta ley facilita en muchos casos el calculo de campos eléctricos, las situaciones que pueden analizarse directamente utilizando la ley de Gauss es pequeña pero que pueden realizarse con extraordinaria facilidad, en particular, simplifica mucho el calculo de los campos eléctricos cuando hay simetría en la distribución de carga. Es justo decir que si la ley de Coulomb constituye el “caballo de batalla” de la electrostática, la ley de Gauss proporciona “perspicacia”. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Proporcionar al estudiante los elementos fundamentales que estructuran y parametrizan conceptualmente la intensidad del campo eléctrico y la determinación de dicho campo generado por una distribución continua o discreta de cargas, así como, la aplicación de la ley de Gauss para relacionar el flujo eléctrico con la carga neta de un conjunto de cargas puntuales. 2.2 Objetivo general Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.3 Objetivos específicos Proporcionar al alumno los principios teóricos que relacionan el concepto de campo eléctrico con el de líneas de fuerza para sistemas de carga sencillos y así poder obtener información respecto a la dirección e intensidad del mismo a partir del diagrama trazado. Proyectar la aplicación temática al estudio del movimiento de cargas en campos eléctricos como en el caso de los tubos de rayos catódicos. 2.3 Objetivos específicos Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ 2.4 Campo gravitacional La masa tiene una propiedad muy importante y es modificar el espacio que la rodea formando un campo, el campo gravitacional. Consideremos que la masa que engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r de sus centros se genera una fuerza de carácter gravitacional. r FMm = - G M m / r2 r ^ FM = - G M m / r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da el valor de la intensidad del campo gravitacional a esa distancia r de su centro. r g = - Fg/m (N/Kg) = - G M / r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Calcule la intensidad del campo gravitacional en la superficie de la tierra, si el radio medio de la tierra r es 6.37*106 m, la masa de la tierra M es 5.98*1024 Kg. y G (constante de Cavendish) 6.67*10-11 N*m2/Kg2. Ejemplo 2.1 g = -G M / r2 r = -9.8 m/s2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.5 Líneas del campo gravitacional El campo gravitacional es radial, dirigido hacia el centro, en todas direcciones e intenso cerca de la superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.6 Campo eléctrico La materia en su estado natural es eléctricamente neutra, si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero modifica el espacio que la rodea engendrando un campo de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto cargado que genera el campo es Q positiva y la carga que colocamos dentro del campo es Q a una distancia r de sus centros,entonces, se produce una fuerza de carácter eléctrico. FQQ + r Q FQQ = KQQ / r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro. EQ + r Q EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q positiva u objeto cargado dentro de ese campo a una distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza electrostática. + r Q FQQ FQQ = KQQ / r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro. EQ + r Q EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Campo eléctrico de repulsión generado por una carga puntual u objeto cargado Q positiva a una distancia r. E+ Er = K Q / r2 r (N/C) ^ r actúa en dirección radial + Campo eléctrico de atracción generado por una carga puntual u objeto cargado Q negativa a una distancia r. r E- Er = K Q / r2 r (N/C) ^ - actúa en dirección radial Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

K = 9*109 (N m/C2) Q = +1.6*10-19 C r = 5.3*10-11 m El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un protón a un distancia r = 5.3*10-11 m. ¿Cual es el campo eléctrico debido al protón en la posición del electrón? Ejemplo 2.2 Er = K Q / r2 r ^ K = 9*109 (N m/C2) Q = +1.6*10-19 C r = 5.3*10-11 m Er = 5.13*1011 r N/C ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

r = rx + ry ^ i j Una carga Q de +5 mC se encuentra en el origen de coordenadas. Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en el punto (1, Ö3) m El vector posición es: La magnitud del vector r es: Ejemplo 2.6.1 r = (12+Ö32)1/2 = 2 m El ángulo que forma el vector posicion con la horizontal es: Artan q = (Ö3/1) = 60o E = Ex + Ey ^ i j El vector campo eléctrico es: X Y SEx SEy SEx SEy E El campo eléctrico es de repulsion. Por tanto esta dirigido hacia fuera. E = E cosq + E senq ^ i j Las componentes rectangulares del vector campo eléctrico son: E = E (cosq + senq ) ^ i j (1, Ö3) m q E = (KQ/r2)(Ö3/2 + 1/2 ) ^ i j r E = 11.25*103(Ö3/2 + 1/2 )N/C ^ i j La magnitud del vector campo eléctrico es: E = 15.37*103 N/C q + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

X Z Y Ejemplo 2.6.2 Una carga Q = +5 mC se encuentra en el origen, Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en el punto (5, Ö3, 5) m (5, Ö3, 5) m Ez r = (52 + Ö3 + 52)1/2 = 53 m La distancia de la carga al punto es: ¿POR QUE? E El campo electrico es de repulsion y las componenetes del vector campo eléctrico son: E = Ex i + Ey j + Ez k ^ El vector campo eléctrico E = E Cosa i + E Cosb j + E Cosg k ^ Ex E = E (Cosa i + Cosb j + Cosg k ) ^ rz r Ey ¿Que significado tiene la ecuacion? E = E u ^ La direccion del vector campo eléctrico es: = Arcos(5/Ö53) = 46.62o b = Arcos(Ö3/Ö53) = 76.24o La magnitud del vector campo eléctrico es: g = Arcos(5/Ö53) = 46.62o E = KQ/r2 = 849.06 N/C rx + ^ E = 849.06(5/Ö53 i + Ö3/Ö53 j + 5/Ö53 k) N/C ry El vector campo eléctrico es: ^ E = 583.14 i + 202 j + 583.14 k) N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.7 Superposición de campos eléctricos Ya que el principio de superposición lineal es valido para la ley de Coulomb, también es valido para el campo eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto producido por una serie de n cargas. puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno de los campos individuales. ET = E1 + E2 +...+ Ei +..... + En ^ ET = K(q1/r12 r1 + q2/r22 r2 +......+qi ri2 ri+.......+ qn/rn2 rn) ET = K å qi / ri2 r ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En la figura dibujar el campo eléctrico resultante en el punto( En la figura dibujar el campo eléctrico resultante en el punto(*) debido a una carga Q1 positiva y dos cargas negativas Q2 y Q3. Ejemplo 2.3 E1 E1 + E2 + * - Q1 Q2 Q3 E3 E2 E1 + E2 + E3 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

r1 ={(x1 - x)2+(y1 - y)2}½ = Ö25 m = 5 m Ejemplo.2.4 Se tiene una carga Q1 positiva en el punto (x1,y1) y una carga Q2 negativa en el punto (-x2,y2). a) ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (x,y)? b) Si Q1 = +2 mC y esta en (2,1) m, Q2 = -4 mC y esta en (-1,3) m. ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (5,5) m? y r2 r2 ={(x2 - x)2+(y2 - y)2}½ = 2Ö10 m r1 r1 ={(x1 - x)2+(y1 - y)2}½ = Ö25 m = 5 m Q2 (-1,3) - Q1 (2,1) + x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Dibujamos la dirección de los campos. E1y y q E2x E1x a E2y Dibujamos la dirección de los campos. Q2 (-1,3) - Trazamos un marco de referencia x,y en el punto donde se va a evaluar el campo eléctrico. Dibujamos las componentes del campo eléctrico en el eje x y en el eje y. Q1 (2,1) + x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Cosq = (x-x1) / r1 = (5-2) / 5 = 3 / 5 Senq = (y-y1 ) / r1 = (5-1) / 5 = 4 / 5 Cosa=(x-(-x2)) / r2 = (5-(-1)) / Ö40 = 6 / 2Ö10 = 3 / Ö10 Sena=(y-y2 ) / r2 = (5-3) / Ö40 = 2 / 2Ö10 = 1 / Ö10 y a r2 r1 Q2 (-1,3) - q Q1 (2,1) + x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ E1y q E2x E1x a E2y Q2 (-1,3) Q1 (2,1) - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ahora sumamos campos en sus respectivas componentes. E1y q E2x E1x a E2y åEx = (E1x - E2x) = (E1 Cosq - E2 Cosa) åEy = (E1y - E2y) = (E1 Senq - E2 Sena) ^ j i Ahora sumamos campos en sus respectivas componentes. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ E = Ö(åEx2 + åEy2) E = ((-421.8)2 + 291.42)½ = 512.67 N/C åEx = K(Q1 Cosq / r12 - Q2 Cosa / r22) i åEy = K(Q1 Senq / r12 - Q2 Sena / r22) j ^ åEx = 9*109 (2*10-6 * (3/5)/25 – 4*10-6 * (3/Ö10)/40) åEx = -421.8 N/C åEy = 9*109 (2*10-6 * (4/5)/25 – 4*10-6 * (1/Ö10)/40) åEy = 291.4 N/C E =(-421.8 i + 291.4 j) ^ E = Ö(åEx2 + åEy2) E = ((-421.8)2 + 291.42)½ = 512.67 N/C La magnitud del campo es: l = Artan (åEy / åEx) = -34.64° = 145.36° Dirección del campo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ 2.8 Dipolo eléctrico E+y E+ Y å Ex = ((E-x)+(E+x)) i Trazamos el marco referencia X,Y en el punto donde vamos a evaluar el campo. Un dipolo consta de dos cargas de igual magnitud pero de signos contrarios separadas una distancia d = 2a. Si las cargas son +5 mC y -5 mC respectivamente, la separación entre la cargas es de 20 cm y el punto de la bisectriz es de 50 cm. Encontrar el campo eléctrico en el punto sobre la bisectriz. Descomponemos los vectores campo eléctricos en sus componentes x,y å Ey = ((E+y)-(E-y)) = 0 ^ j Dibujamos la dirección de los campos r = Ö(y2+a2) = 0.51 cm Cosa = a/r = a/(y2+a2) Sena = y/r E-x + E+y a X r E-y y E- a 2a + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ ^ ^ åEx = K (Q Cosa / r2 + Q Cosa / r2) i åEx = 2 (K Q Cosa / r2) i ^ åEx = 2(K Q a / (y2 + a2)3/2) i ^ E = K(Q2a) / ((y2 + a2)3/2) i ^ P = Q2a = momento dipolar eléctrico Ex = 67886.35 i N/C ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ q1 q2 - q3 2L Ejemplo.2.5 Se tienen tres cargas de igual magnitud q que forman un triángulo equilátero de lado 2L. Si q1 es positiva y esta en el punto (0,0), q2 es positiva y se encuentra en (2L , 0) m y q3 es negativa y esta en (L , LÖ3) m. Encuentre a) La magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. b) Si q = 2mC y L = 50 cm Cual es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. r1 = r2 = r3 = r Cosf = L / r r = L / (Cosf) r = L / (Ö3/2) r = 2 L / Ö3 f r1 r3 r2 E3 E2 E1 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

- q3 Y r1 = r2 = r3 = r Cosf = L / r r = L / (Cosf) r = L / (Ö3/2) r = 2 L / Ö3 E3 E2 E1 E2y E1y f X E2x E1x SEx = (E1x - E2x) = 0 ^ i SEy = (E1y + E2x +E3) ^ j + q1 + q2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ ^ ^ Y E3 E2 E1 l = ArTan (SEy / SEx) = Artan (SEy / 0) = p / 2 - q3 Y r = 2L / Ö3 l = ArTan (SEy / SEx) = Artan (SEy / 0) = p / 2 E3 E2 E1 E2y E1y a X E2x E1x S Ex = K (q1 /r2 Cosa - q2 /r2 Cosa) = 0 ^ i ^ SEy = (3/4)(Kq/L2) (1/2 + 1/2 +1) j = (3/2)(Kq/L2) j S Ey = K (q/r2 Sena + q/ r2 Sena + q/r2) ^ j ^ Ey = (3/2)Kq/L2 j = 1.08*105 j N/C + q1 + q2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ r1 Si q1 > q2 r1 r Öq1 - r1 Öq1 = r1 Öq2 Ejemplo.2.6 Se tienen dos cargas positivas de 4*10-9 C y 1*10-9 C, separadas una distancia r de 1 m. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une sus centros el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo? E2 E1 Si q1 > q2 + q1 + q2 r1 r r2 r1 r2 r ^ E1 = 81.0 i N/C E2 = -81.00 i N/C q1 / r12 = q2 / (r - r1)2 r Öq1 - r1 Öq1 = r1 Öq2 E1 = E2 r = r1 + r2 r Öq1 = r1 Öq2 + r1Öq1 Öq1 / r1 = Öq2 / (r - r1) q1 / r12 = q2 / r22 r1 = r Öq1 / (Öq2 + Öq1) = 0.67 m r2 = r - r1 = 0.33 m Kq1 / r12 = Kq2 / r22 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Se tiene una carga positiva de 1. 10-9 C y otra negativa de –9 Se tiene una carga positiva de 1*10-9 C y otra negativa de –9*10-9 C separadas una distancia de 1 m. ¿En que punto a lo largo de la recta que une sus centros diferente del infinito el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo? Ejemplo.2.7 E1 r1 E2 r2 r Si q1 < q2 + q1 - q2 r2 r1 r r2 = r1 + r = 1.5 m ^ E1 = -36. i N/C E2 = 36 i N/C Kq1 / r12 = Kq2 / r22 q1 / r12 = q2 / r22 Öq1 / r1 = Öq2 / (r + r1) r1 = r Öq1 / (Öq2 - Öq1) = 0.5 m r Öq1 = r1 Öq2 - r1 Öq1 q1 / r12 = q2 / (r + r1)2 r Öq1 + r1 Öq1 = r1 Öq2 E1 = E2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Se coloca dentro de un campo eléctrico E una esfera de carga q y masa m, suspendida de una cuerda de longitud l y masa despreciable, cuando esta en equilibrio forma un ángulo q con la vertical. a) ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda? b) Si la masa de la esfera es de 1gr, el ángulo es 30° con la vertical cuando esta en equilibrio y el campo es: Ejemplo.2.8 E = (-10 +20 )*104 N/C ^ j i Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ m,q m,q E = -Ex + Ey j i l q Y F l T Fy Ty q Fx X Tx W Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ å Fx = (T Senq - Fx) i = (T Senq - Ex q) i = 0 1) T Senq = Ex q åFy = (T Cosq + Fy - W ) = (T Cosq + Ey q - W) = 0 ^ j 2) T Cosq = W - Ey q W Tanq = Ey q Tanq + Ex q q = mg Tanq / (Ey Tanq + Ex ) = 26.26 nC = 26.26*10-9 C W Tanq – Ey q Tanq = Ex q mg Tanq = q (Ey Tanq + Ex ) Dividimos 1 en 2 Þ Tanq = Ex q / (W - Ey q) T = Ex q / Senq = 5.252 N Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.9 Líneas de campo eléctrico La intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas, esto es, el campo es proporcional al numero de líneas que pasan a través de un área normal a la dirección del campo N = E · A Miguel Faraday, en 1840 introdujo el uso de las líneas de campo, creía que eran reales y las dotó de propiedades elásticas, casi se pueden “sentir” las líneas, jalando las cargas para que se junten o empujándolas para que se aparten. Aun cuando desde el punto de vista moderno las líneas de campo no son reales, ayudan a visualizar el campo que si es real. Las líneas de campo también proporcionan información sobre la intensidad del campo. Las líneas de campo están mas juntas donde el campo es intenso y mas separadas donde es débil. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

5) Las líneas de campo nunca se cruzan. 3) La dirección del campo en un punto es la dirección de la tangente a la línea de campo. 1) Las líneas de campo electroestático siempre parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. 5) Las líneas de campo nunca se cruzan. 2) El numero de líneas que se originan o terminan en una carga es proporcional a la carga. N µ Q Propiedades de las líneas del campo electrostático 4) La intensidad del campo es proporcional a la densidad de líneas de campo, es decir, al numero de líneas por unidad de área. N = E · A Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Líneas de campo de una carga positiva. Las líneas de campo son radiales salen de la carga en todas direcciones. + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

- Líneas de campo de una carga negativa. Las líneas de campo llegan a la carga de todas direcciones. - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Líneas de campo en unas placas planas y paralelas Se puede considerar uniforme el campo dentro de las placas, ya que la líneas de campo son paralelas. Líneas de campo en unas placas planas y paralelas +++++++++++ ----------- Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. Las líneas de campo salen de la carga positiva hacia la negativa o hacia el infinito El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. E E- + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Líneas de campo de dos cargas positiva + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

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2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme Se lanza un electrón con una velocidad inicial en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de las placas sale el electrón? Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y y de longitud x. - - - - - - - - - - x y + + + + + + + + + + VO Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ ^ Como F = m a. y F = E q Þ a = E (q / m) El movimiento en el eje X es uniforme, ya que no hay componente horizontal del campo. La distancia que recorre el electrón a lo largo del eje X. x = vo t Þ t = x / vo Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado. y(t) = ½(Eq/m)(x/vo)2 y(t) = voy t + ½(E-)(-q)/m t2 r = x i + y j ^ La posición del electrón al salir de las placas vy = (Eq /m) t La velocidad vertical al salir de las placas es vy = voy +{(E-)(q-)/m}t v = vox + vy ^ j i La velocidad del electrón al salir de las placas La velocidad horizontal es constante vo = vX La dirección al salir de las placas F = Artan (vy / vx) Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a una distancia L de 6 cm de las placas se encuentra una pantalla s Se lanza un electrón con una velocidad inicial v0 = 6*106 m/s en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de la pantalla incide el electrón? Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme de 1600 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia de 2 cm y de longitud de 4 cm. Ejemplo 2.9 a una distancia L de 6 cm de las placas se encuentra una pantalla s - - - - - - - - - - x y + + + + + + + + + + vO Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La posición del electrón al salir de las placas El tiempo para la distancia horizontal recorrida es: x = vo t Þ t = x / vo = 8 ns = 8*10-9 s Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado. y(t) = ½(Eq/m)(x/vo )2 = 0.90 cm La posición del electrón al salir de las placas - - - - - - - - - - x y + + + + + + + + + + r = (4 i + 0.9 j ) cm ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - L S La velocidad del electrón al salir de las placas es: La velocidad vertical al salir de las placas es vy = (Eq /m) t = 2.25*106 m/s La velocidad horizontal es constante El electrón pega en la pantalla S h = L * tan F = 2.7 cm La dirección al salir de las placas F = Artan (vy / vx) = 24.23° h L v = (5 i + 2.25 j )*106 m/s ^ voy - - - - - - - - - - x y + + + + + + + + + + F vox Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo.2.10 Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos separadas una distancia X de 4 cm existe un campo eléctrico E uniforme de 4*104 N/C dirigido a lo largo del eje X. De la placa negativa parte del reposo un electrón (me = 9.1*10-31 Kg., q = –1.6*10-19 C) y simultáneamente de la placa positiva sale del reposo un protón (mp = 1.67*10-27 Kg.; q = +1.6*10-19 C). ¿cuál es la velocidad de cada partícula cuando se cruzan?. ¿En donde se cruzan? +++ - -- X + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2 X = xp + xe X = ½Eq (1/ mp + 1// me)t2 t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2 xp = ½(Eqp / mp)t2 ; xe = ½(Eqe / me)t2 X = ½(Eqp / mp)t2 + ½(Eqe / me)t2 xp = X me / (me + mp ) = 2.178*10-3 cm xe = X mp / (me + mp ) = 3.9978 cm X = 0.002178 cm + 3.9978 cm = 4 cm +++ - -- X + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ El tiempo cuando se cruzan es : t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2 = 3.37*10-9 s vfp = vop + (Eqp/mp) * t = 12921.74 m/s i vfe = voe + (Eqe/me) * t = -23.71*106 m/s i ^ +++ - -- X + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.11 Distribución continua de masa Cualquier masa la podemos representar como la suma de un numero infinito de masas que se pueden considerar puntuales M = å mi. Por ejemplo, empleamos la densidad continua de masa para describir un estado de la materia que en realidad se compone de un gran numero de moléculas discretas. Normalmente resulta sencillo hallar un volumen (V) suficientemente grande que contenga muchos elementos de masa individuales o moléculas M = å mi. Si la masa (M) se distribuye en el volumen (V) se define: r = M / V Podemos seleccionar un elemento suficientemente pequeño de volumen (dV) que contenga un elemento infinitamente pequeño de masa (dm). Si el elemento de masa (dm) se distribuye en el volumen (dV) uniformemente, la densidad de masa r se define: r = dm/dV Densidad volumétrica de masa (r) r = dm / dV r = M / V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Densidad superficial de masa s Si la masa (M) se distribuye uniformemente en toda el área (A) se define la densidad superficial de masa: s = M / A. b s = M / A a Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Este elemento infinitesimal de área (dA) tiene un elemento infinitesimal de masa (dm); la distribución superficial de masa se define: s = dm/dA = dm/(b da) s = dm/dA= dm/(b da) b da Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Densidad lineal de masa l Si la masa (M) se distribuye en una longitud (L) de manera uniforme se define la densidad lineal de masa: l = M/L l = M / L M L Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La distribución lineal de masa se define como la relación de un elemento infinitesimal de masa (dm) en un elemento infinitesimal de longitud (dl) \ l = dm/dl l = dm/dl dl dm Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.12 Distribución continua de carga Distribución lineal de carga 2.12 Distribución continua de carga Por analogía cualquier carga la podemos representar como la suma de un numero infinito de cargas infinitesimales que se pueden considerar puntuales Q = å qi L + + + + + + + + + + + + + + + l = Q / L Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

dl dQ l = dQ / dl Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Distribución superficial de carga + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + s = Q / A Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

s = dQ /dA = dQ / (b*da) + + + + + + + + + + + + + + + + b da Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Densidad volumétrica de carga (r) r = dQ / dV r = Q / V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El campo eléctrico dE producido por un dq es: Este elemento dq produce un elemento infinitesimal de campo dE a una distancia r. Sumando todas las contribuciones de los elementos infinitesimales de campo dE Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto producido por una distribución continua de carga. Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico. Una colección de forma regular o irregular de partículas puntuales cargadas representa una distribución continua de carga Q = åqi. Q = åDqi dq Q = åDqi El campo eléctrico dE producido por un dq es: dE = (K dq / r2) ^ r E = ò (K dq / r2) ^ r r dE Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.11 Campo eléctrico debido a una hilo cargado Se desea encontrar la intensidad del campo eléctrico a lo largo del eje de un hilo (delgado aislante) a una distancia (d) de uno de sus extremos y con una densidad lineal de carga uniforme l. Dividimos el hilo en pequeños elementos infinitesimales dq cada uno de longitud dl (dx), y escogemos arbitrariamente un elemento X Y d L + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

dEx = K dq / r2; dq = l dl = l dx Este elemento infinitesimal tiene carga dq, longitud dl, se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el campo y genera un campo eléctrico dE. X Y dEx = K l dx / x2 Este es el campo eléctrico dE producido por un elemento dq, ahora, sumamos todos los dE. dEx = K dq / r2; dq = l dl = l dx r = x dEx + + EZ = 0 ; EY = 0 dl dq Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ex = K l ò dx / r2 x varia entre d y d + l Ex = K l (1/(d + l) – (1/d) Ex = K Q / (d (l + d)) d Ex L + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z Y X Ejemplo 2.12 Campo eléctrico sobre la mediatriz debido a una barra cargada Determinar cual es la intensidad del campo eléctrico sobre la mediatriz de un hilo delgado, aislante con una densidad lineal de carga uniformemente distribuida. ++++++++++++++++ Se desea encontrar el campo eléctrico a una distancia x sobre la mediatriz de la barra x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z Y X Z Y dq dy + Estos elementos infinitesimales, simétricos tienen longitud dy, carga dq, están a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y generan un campo eléctrico dE. r EY = 0 ; EZ = 0 x q dEx = dE Cosq i ^ q dEy dE dEx Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z Y X dEx = (K dq / r2) Cosq dq = l dl = l dy r = (x2+y2)1/2 ; Cosq = x / r dEx = K (l dy) x / (x2+y2)3/2 + r dEx x q Ex = (K l / x) ò Cosq dq q varia entre p/2 y -p/2 Este es el campo eléctrico producido por un dq, Sea y = x Tanq Þ dy = x (Secq)2 dq, reemplazamos, resolvemos, sumamos la contribución de todos los dE y obtenemos:. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

x Ex = l / (2p e0 x) Ex ++++++++++++++++ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Se desea encontrar cual es la intensidad del campo eléctrico en el eje central de un anillo que tiene una carga l uniformemente distribuida. Se tiene un anillo de radio R carga s Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Q R Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Y Z X Y Z dq + r Sea un elemento dq, que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y que genera un campo eléctrico dE. Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo. EZ = 0 ; EY = 0 q x dEx = dE Cosq i ^ q dEy dE dEx Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a varia entre 2p y 0 Ex = K * Q * x / (x2+ R2) 3/2 dEx = (K dq / r2) Cosq ; dq = l dl = l (R da) r = (x2+ R2)½ ; Cosq = x / r Y Z X El campo eléctrico de un elemento dq es. dEx = K (l R da) x / (x2+ R2)3/2 + dl r Ex da q x El campo eléctrico de la contribución de todos los elementos dq es. Ex = ò(K l R x / (x2+ R2)3/2 da) Ex = K Q x / (x2+ R2)3/2 Ex = K l R x / (x2+ R2)3/2 ò da a varia entre 2p y 0 Ex = K * Q * x / (x2+ R2) 3/2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.14 Campo eléctrico de una placa carga uniformemente Z Tenemos el campo eléctrico de un hilo a una distancia z. Ez = l/(2pe0z). Dividimos la placa en hilos luego sumamos todos los hilos y encontramos el campo eléctrico de la placa. Ejemplo 2.14 Campo eléctrico de una placa carga uniformemente Encontrar la intensidad del campo eléctrico de una placa no conductora sobre el eje central en un punto z, la placa tiene una densidad superficial de carga s uniformemente distribuida. Y x y Q + X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z La tira tiene un área dA, el elemento de carga dq genera un elemento de campo dE, y se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el campo eléctrico. dE dEz a q dEx r a q a q Ey = 0 ; Ex = 0 dA = y dx Y dq + + + X dx y Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Å Vista en dos dimensiones Z dE dEz q q dEx q q r Ey = 0 ; Ex = 0 Y a dx Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La distribución superficial de carga para la placa s = Q / A para un elemento infinitesimal s = dq / dA = dq / (y dx) Þ s dx = dq / y = l Este dA tiene un elemento infinitesimal de carga dq, entonces, la densidad lineal de carga es: l = dq / y + + + y dq l = dq / y Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

dEz = (l /(2pe0 r)) Cosq l = sdx ; Cosq = z / r r = (x2+z2)1/2 dEz = dE Cosq k ^ dEz = (l /(2pe0 r)) Cosq l = sdx ; Cosq = z / r r = (x2+z2)1/2 Ez dEz = (sz /(2pe0)) (dx/r2) dEz = (sz/(2pe0))(dx/(x2+ z2)) Tenemos el campo eléctrico de una tira, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos para encontrar el campo eléctrico X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

dEz = (sz /(2pe0)) (dx / (x2+z2)) Ez = (sz/(2pe0))(1/z Artan(x/z)) Ez = s / (2e0) Z Y X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente Q Q R El elemento infinitesimal de área dA esta a una distancia a del centro. Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno de estos dA tiene un elemento de carga dq. Encontrar la intensidad del campo eléctrico sobre el eje central de un disco de radio R con una densidad superficial de carga s uniformemente distribuida. a da 2pa 2p a da Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Y Z X Y Z +++++++++++ dq +++++++++++ a r Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del disco Escogemos un elemento de área dA, de radio a, que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y que genera un elemento de campo dE. Ez = 0 ; Ey = 0 q x q dEy dE dA = 2pada dEx Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+++++++++++ a Ex x ^ dEx = dE Cosq i Ex = ò Kxs2pada / (x2+ a2)3/2 sea u = (x2+a2) Þ du = 2 a da Ex = Kxsp ò du / u3/2 x = R ; x = 0 dEx = (Kdq/r2) Cosq dq = s dA= s (2pada) r = (x2+a2)1/2 Cosq = x / r dEx = Kxs2pada / (x2+a2) 3/2 Campo eléctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos. Ex = (s /(2e0))*{1- x / (x2+ R2)1/2} Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.16 Una pequeña esfera de masa (m) de 2 gr tiene una carga q de 20*10-9 C y esta sujeto al extremo de un hilo de seda de 10 cm longitud. El otro extremo del hilo esta sujeto a una gran placa conductora vertical que tiene una carga superficial s de 10*10-6 C/m2. Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical. s l + a T Tana = (sq) / (W 2e0) a = Artan{(sq) / (W 2e0)} = 30° Tana = q (s/2e0) / W Tana = Fe / W Tana = (qE) / W Fe W Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En su trabajo más importante determinó, junto con Kohlrausch, la relación entre las unidades de carga electrostáticas y electromagnéticas (constante de Weber). Esta relación resultó ser igual a la velocidad de la luz, y fue utilizada más tarde por James Clerk Maxwell para defender su teoría electromagnética. La unidad SI del flujo magnético se denominó weber. Wilhelm Eduard Weber Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891), físico alemán especializado en electrodinámica. Weber escribió en 1824 un tratado sobre el movimiento ondulatorio junto con su hermano, colaboró con Gauss en el estudio del geomagnetismo, durante ese tiempo conectó con dos laboratorios mediante el telégrafo eléctrico desarrolló varios instrumentos para medir la corriente eléctrica, en especial el electro-dinamómetro para mediciones absolutas. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.13 Flujo eléctrico El flujo F es una propiedad de cualquier campo vectorial, resulta conveniente considerar el flujo de un campo vectorial determinado como si fuese una medida del flujo o intensidad de penetración de los vectores de campo a través de una superficie fija imaginaria en el campo. Carl Gauss expreso el concepto de líneas de campo en forma cuantitativa e introdujo una cantidad llamada flujo para elaborar la imagen de las líneas que “fluyen” a través de una superficie cerrada. El campo electrostático debido a una distribución continua de carga siempre puede encontrarse usando la ley de Coulomb aunque el calculo requerido pueda ser complicado. La ley de Gauss es una afirmación general sobre las propiedades de los campos eléctricos y no esta restringida a los campos electrostáticos como la ley de Coulomb. Cuando una distribución de carga tiene suficiente simetría, la ley de Gauss puede proporcionar un camino elegante para determinar el campo electrostático en unos pocos pasos simples. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El flujo eléctrico F se representa por medio de líneas de campo eléctrico N que atraviesan algunas superficies (F = N). Cuando la superficie que se esta cruzando encierra una carga neta. el numero de líneas que traspasan la superficie es directamente proporcional a la carga dentro de la superficie F a Q El flujo eléctrico es directamente proporcional al campo eléctrico y al área normal An de la superficie atravesada por las líneas de un campo eléctrico uniforme.. F a E An = En A = E A Cosq = A E · Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo. Consideremos una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme E. Colocamos dentro del campo una superficie plana en distintas posiciones para observar cual es el flujo eléctrico neto que atraviesa la superficie. A E A q q F = E An = En A = E A Cosq = A E · El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Área dA E Se tiene una superficie regular de área cerrada, dividida en elementos infinitesimales dA inmersa dentro de un campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo neto que atraviesa la superficie. q Fe » SFi = SEn dA = SEn dA= SE dA Cosq Fe = SE · dA Fe = E · dA ò El flujo eléctrico Fe que atraviesa la superficie cerrada A es : Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Fe » SFi = SEn dA = SEn dA= SE dA Cosq Fe = SE · dA Fe = E · dA Considere una superficie irregular de área cerrada, dividida en elementos infinitesimales dA colocada en un campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo neto que atraviesa la superficie. dA E A q Fe » SFi = SEn dA = SEn dA= SE dA Cosq Fe = SE · dA Fe = E · dA ò El flujo eléctrico Fe que atraviesa la superficie cerrada irregular A es: Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Supongamos que tenemos una carga positiva Q con sus líneas de campo Supongamos que tenemos una carga positiva Q con sus líneas de campo. Cerramos la carga en diferentes superficies cerradas. El flujo eléctrico Fe que atraviesa cualquier superficie cerrada es independiente de la superficie que encierra a la carga. + Fe = ò E · dA Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

A Consideremos un cilindro cerrado hipotético de radio R inmerso en un campo eléctrico uniforme E, siendo el eje del cilindro paralelo al campo. ¿cuál es el valor del en esta superficie cerrada? Ejemplo 2.17 E F = E An + E An + E A^ F = E A Cos 180° + E A Cos 0° + E A Cos 90° F = -E A + E A + 0 = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Una superficie cerrada tiene dimensiones a = b = 0. 4 m y c = 0 Una superficie cerrada tiene dimensiones a = b = 0.4 m y c = 0.6 m el campo eléctrico por toda la región no es uniforme y esta dado por E = (3 + 2x2)i N/C donde x esta metros. ¿cuál es la carga neta encerrada por la superficie? Ejemplo 2.18 X Y Z a c b a Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Flujo eléctrico que entra F = òs E · dA = E A Fe = (3. 0 + 2 Flujo eléctrico que entra F = òs E · dA = E A Fe = (3.0 + 2.0x2) (ab) Fe = {3.0 + 2.0 (0.4)2} (0.4*0.4) Fe = 0.5312 (N/C)m2 X Y Z a b Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Flujo eléctrico que sale F = òs E · dA = E A Fs = (3. 0 + 2 Flujo eléctrico que sale F = òs E · dA = E A Fs = (3.0 + 2.0x2) (ab) Fs = {3.0 + 2.0(0.4 + 0.6)2} (0.4*0.4) Fs = 0.8 (N/C) m2 a c Y a X b Z Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Fn = Fs - Fe = 0.2688 (N/C)m2 Fn = Q / eo Þ Q = eo Fn = 2.38 PC X Y Z a c b a Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Seleccionamos un elemento de área dA = 2pada Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico (F/4) de la carga pasa por el disco entonces R = 3Öb. Ejemplo 2.19 E a Seleccionamos un elemento de área dA = 2pada R R a b dA = 2pada r Cos a = b/r r = (b2+a2)1/2 Fe = ò E · dA = Q/eo + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Fe = ò (KQ / r2)· (2pa da) ; r = (b2+a2)1/2 Fe = ò (KQ / (b2+a2)) (2pa da) Cosa; Cosa = b / r = b / (b2+a2)1/2 Fe = ò (KQ / (b2+a2)) (2pada) (b / (b2+a2)1/2) Fe = (KQp b) ò (2a da) / (b2+a2)3/2 sea u = a2+b2 Þ du = 2ada Fe = (KQp b) ò (du/u3/2)) ; a = R y a = 0 Fe = (2KQp b) {1 / b – 1 / (R2+b2)1/2} Como (Fe / 4) = (Q / eo) (1/4) Þ 4Q / eo = (2KQpb)(1 / b – 1 / (R2+b2)1/2) (1 / 4eo) = (2Kp){1- b / (R2+b2)1/2} {1- b / (R2+b2)1/2} = 1/2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

b /(R2+b2)½ = ½ : b2 /(R2+b2) = 1/4 4b2 = R2+b2 ; R = 3Öb Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Johann Karl Friederich Gauss Descubrió el método de los mínimos cuadrados, lo que le permitió calcular la órbita de Ceres; formulo métodos de calculo que sirvieron a Leverrier y Adams en el descubrimiento de Neptuno. Trabajo en el magnetismo terrestre; calculo la ubicación de los polos magnéticos y diseño una escala de unidades para medir esta clase de fenómenos y contribuyo al progreso de la telegrafía electromagnética. Gauss, Carl Friedrich (1777-1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico E. 2.14 Ley Gauss + Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico E. Encerramos la carga Q en una esfera (superficie hipotética cerrada) de radio r y de elementos infinitesimales dA dA Fe = ò E · dA = E(r) A Fe = (1/(4peo))(Q / r2)*(4p r2) Fe = Q / eo Fe = ò E · dA = Q / eo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ley de Gauss ò E · dA = Q / eo. El producto E A = Q / eo, es independiente de la superficie que encierra a la carga neta, entonces el flujo depende únicamente de la carga neta encerrada. Se selecciona el elemento infinitesimal de área (dA) paralelo al campo eléctrico (E) para que la magnitud de este sea constante sobre esa parte de la superficie. El campo eléctrico (E) de una partícula puntual es inversamente proporcional a la distancia (r) al cuadrado. E µ 1/ r2 Þ E = (1 / 4p eo) (Q / r2) El área (A) de una esfera es directamente proporcional a su radio r al cuadrado. A µ r2 Þ A = 4p r22 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.20 Campo eléctrico de una partícula puntual + La ley de Gauss es: Ejemplo 2.20 Campo eléctrico de una partícula puntual ò E · dA = Q / eo dA El campo eléctrico E esta dirigido en todas direcciones, encerramos la carga (Q) en una superficie hipotética cerrada de tal manera que el campo eléctrico sea el mismo en cualquier punto de la superficie. ò E · dA = ò E Cosq dA = E(r) A = Q / eo E(r) (4p r2) = Q / eo E(r) = Q / (4p r2eo) = KQ / r2 E(r) = KQ / r2 r ^ Donde E es el campo debido a la carga puntual Q u objeto cargado, dA es un elemento de la superficie hipotética y Q es la carga neta encerrada en la superficie. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Encontramos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss + Si colocamos una carga de prueba q positiva dentro del campo generado por la carga Q a una distancia r. + E(r) = (KQ / r2) r ^ E(r) q = (KQ q / r2) r = F ^ Encontramos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.21 Campo eléctrico debido a una hilo cargado dA Envolvemos el hilo en una superficie (gaussiana hipotética) cilíndrica de radio r, longitud L, de tal manera que el área transversal sea perpendicular a las líneas de campo. Sea un hilo que tiene una densidad lineal de carga l, que produce un campo eléctrico perpendicular al eje del hilo. En las tapas transversales el flujo es cero, puesto que, E ^ A, únicamente hay flujo eléctrico por el área lateral. Queremos encontrar el campo eléctrico de un hilo que tiene una densidad lineal de carga l a una distancia r. E = l / (2p eo r) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ò E · dA = Q / eo Þ E A = Q/eo Þ E(2p r L) = l L / eo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 2.22 Campo eléctrico de una placa cargada uniformemente Construimos superficies (cilindros hipotéticos) a lado y lado de la placa, de tal manera que el área transversal sea paralelo a las líneas de campo. Se desea encontrar el campo eléctrico producido por una placa plana no conductora que tiene una densidad superficial de carga uniforme s. Consideremos una placa plana con una distribución uniforme de carga s que engendra un campo eléctrico E y unas líneas de campo perpendiculares a la superficie. E S. hipotética 1 S. Gaussiana 2 ò E · dA = Q / eo. = E 2 A = s A / eo s E = s / 2eo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Prueba experimental de la ley de Gauss + + + Prueba experimental de la ley de Gauss Supongamos que tenemos un balón de cobre eléctricamente neutro con un orificio en la parte superior y aislado de tierra. Colocamos cerca de la superficie del balón dos esferas conductoras descargadas e introducimos una tercera esfera conductora cargada positivamente. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ + + A medida que la esfera cargada se introduce en el balón. las esferas conductoras y el balón permanecen eléctricamente neutros. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Cuando la esfera cargada hace contacto con el balón, se transfieren electrones del balón hacia la esfera quedando este con defecto de electrones y la esfera eléctricamente neutra, en tanto que, en las esferas conductoras se produce una inducción de carga. + -- + + Esto muestra que cualquier carga transferida a un conductor reside en su superficie en equilibrio electroestático. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ Retiramos la esfera, la carga en el balón se distribuyo inmediatamente en su superficie y las esferas permanecen con carga inducida. -- + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ -- + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ahora podemos llevar el balón y cada una de las esferas por separado a un electroscopio para constatar efectivamente la presencia de carga eléctrica. + -- + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Colocamos las esferas en el interior del balón y luego las retiramos A hora con el balón cargado y aislado de tierra, vamos a introducir dos pequeñas esferas conductoras descargadas Colocamos las esferas en el interior del balón y luego las retiramos Si llevamos las esferas a un electroscopio podemos observar que estas permanecen descargadas, es decir, en el interior del balón conductor no hay carga neta para inducir carga en las esferas conductoras. + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

CONCLUSION Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor, esta se distribuye por si sola sobre la superficie de una manera tal, que el campo eléctrico interior es cero, entonces dentro de un conductor en equilibrio electrostático la ley de Gauss indica que no puede haber carga neta dentro del conductor. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

b) E = s / (2eo) + s / (2 eo) = s / eo Ejemplo 2.23 Se tienen dos laminas conductoras con densidad superficial s de cargas iguales pero de diferente signo. Calcule el campo eléctrico a) a la derecha de las placas b) en el centro de las placas c) a la izquierda de las placas. + + + + + - - - - - E = s /eo E = 0 E = 0 b) E = s / (2eo) + s / (2 eo) = s / eo a) E = s / (2eo) - s / (2eo) = 0 c) E = s / (2eo) – s / (2eo) = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.15 Auto-evaluación Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.1 Dibuje la suma vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.2 Dos cargas positivas de igual magnitud están en los puntos (-a,0) y (a,0). Encuentre la magnitud y la dirección del campo en el punto (0,a ). Si las cargas son de +5 mC, y a es 50 cm. Cual es la magnitud y la dirección del campo R) 63639.6 N/C y 90° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.3 Se tienen tres cargas de igual magnitud Q que forman un triángulo equilátero de lado L. Si Q1 es negativa y esta en el punto (0,0), Q2 es positiva y se encuentra en (L,0) m y Q3 es negativa y esta en (L/2,LÖ3/2) m. Encuentre a) La magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. b) Si Q = 2 mC y L = 50 cm Cual es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. R) 4.32*105 N/C y – 30° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.4 Se tienen tres cargas Q1 es positiva y esta en el origen, Q2 es negativa y esta en el punto (0,a). Q3 es negativa y esta en el punto (a,0) a) ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo en el punto (a,a)? b) Si Q1 es +1 nC, Q2 es -2 nC y Q3 es -3 nC si a es 2 cm. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto (2,2) m? R) 70128.02 N/C y a = 58.11° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.5 Una carga Q1 negativa esta en el punto (-a,0) mientras Q2 es positiva y esta en el punto (a,0). Encuentre a) La intensidad del campo eléctrico la dirección en el punto (2a,a) y b) Si a es 10 cm, Q1 es 20 nC, Q2 es 10 nC ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto (20,10) cm. R) 3000.05 N/C y a = 60.56° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.6 Se tienen dos cargas puntuales negativas separadas una distancia r. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une las cargas el campo neto es cero. Si q1 = -1 nC, q2 = -16 nC y la separación de las cargas es un metro. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une las cargas el campo neto es cero?¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico? E1 =(Kq1/r12) i = 225 i N/C ; E2 = (Kq2/r22) i = -225 i N/C ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.7 Una esfera conductora de masa m, carga +Q, se suspende de una cuerda de masa despreciable y longitud l. Se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido en la dirección –i y forma un ángulo q con la vertical cuando esta en equilibrio. ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?. Si la masa es de 10 gramos, el campo eléctrico es de 2000 N/C y el ángulo cuando esta en equilibrio es de 37° ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?. R) Q = 3.69*10-6 C y T = 0.123 N Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.8 Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signo opuesto existe un campo eléctrico uniforme de 2000 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y de 2 cm y de longitud x de 3 cm. Se lanza un protón en un punto equidistante entre las placas con una velocidad inicial de 6*104 m/s. ¿Sale de las placas, en que posición y con que velocidad o pega en la placa, en que posición y con que velocidad? Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Una hilo aislante cargado uniformemente, de longitud l de 50 cm se dobla en forma de semicírculo, si el hilo tiene la mitad de carga positiva de +50 nC y la mitad de carga negativa de –50 nC, encuentre la magnitud del campo en el centro del semicírculo. Ejercicio 2.9 R) E = 11309.7 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Una barra aislante como la figura tiene una longitud de 70 cm de largo, una carga negativa de –50 nC distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. a)¿cuál es la densidad lineal de carga? b) ¿calcule el campo eléctrico en un punto a una distancia de 5 cm del extremo de la barra? Ejercicio 2.10 d L - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - R) Ex = –12000 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En la figura, la barra aislante tiene una longitud de 70 cm de longitud, a una distancia de 20 cm del eje que pasa por el centro de la barra se genera un campo eléctrico de 12000 N/C. a) ¿cuál es la densidad superficial de carga? b) ¿cuál es la carga? Ejercicio 2.11 ++++++++++++++++ x R) Q = 93.33 nC Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un anillo tiene una densidad lineal de carga l de –25 nC/m y un radio R de 10 cm. ¿Encuentre el valor del campo a una distancia R de 10 cm del eje que pasa por el centro del anillo?. Ejercicio 2.12 R) Ex = -4998.89 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un pedazo de 10 gr de estireno tiene una carga neta q de –0 Un pedazo de 10 gr de estireno tiene una carga neta q de –0.700 mC y flota sobre el centro de una lamina horizontal de caucho que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿cuál es la carga en la unidad de área de la lamina de caucho?. Si la carga Q de la lamina es de 5 mC ¿cuál es el área de la lamina? Ejercicio 2.13 R) s = -2.48 mC/m2 y A = = 2.02 m2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.14 Un disco cargado uniformemente tiene una densidad superficial de carga s de 10*10-9 C/m2 y un radio R. ¿calcule el campo eléctrico a una distancia R sobre el eje central del disco?. R) Ex = 165.63 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

R) a) Fe = -20 Nm2/C b) Fs = 20 Nm2/C c) DF = = 0 Ejercicio 2.15 E a h x H q Considérese una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud de 2000N/C como en la figura si h = a =10 cm, q = 60°. Calcule el flujo eléctrico a través a) del cuadrado ( superficie vertical) b) la superficie inclinada c) toda la caja. R) a) Fe = -20 Nm2/C b) Fs = 20 Nm2/C c) DF = = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.16 R h Un cono de radio R = .10 cm y altura h = 50 cm, esta en un campo eléctrico uniforme E de 2000 N/C horizontal penetra el cono como en la figura. Determine el flujo eléctrico que penetra el cono. R) F = - 100 Nm2/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 2.17 4Q -3Q 2Q Cuatro superficies cerradas una roja, una verde, una amarilla y una azul, como aparece en la figura si Q es 2 nC. Encuentre el flujo neto. Fv = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2.16 Solucionario Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.1 + - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.2 Ey S Ey = 2(KQ/r2) Sena r = (a2+a2)1/2 = aÖ2 Sena = a/r = a / (21/2 a) = Ö2/2 SEy = 2 (KQ / 2a2) (Ö2/2) SEy = Ö2 KQ / (2a2) Sey = 63639.6 N/C f = Artan (0/63939.6) = 90° E Ey y a SEx = 0 + a r Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

r1 = r2 = r3 = r Cosf = (L/2) / r r = L / (2 Cosf) r = L / Ö3 - Q1 + Q2 Q3 S 2.3 SEx = – E1x – E2x Ex = –2(KQ /r2) Cos 30 Ex = –2(3KQ / L2) (Ö3 / 2) Ex = –(3Ö3 KQ) / L2 Ex = –3.7412*105 N/C f r1 r3 r2 L r1 = r2 = r3 = r Cosf = (L/2) / r r = L / (2 Cosf) r = L / Ö3 E3 SEy = – E1y + E2y + E3 SEy = E3 = KQ/r2 SEy = 3 KQ/ L2 SEy = 2.16*105 N/C E2 E2y E2x f E1x E1y f L/2 f E1 E = 4.32*105 N/C : a = -30° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.4 SEx = E1x – E2 SEx = (KQ1 / r12) Cosq – KQ2 / r22 SEx = (KQ1 / 2a2)(Ö2 /2) – KQ2 /a2 SEx = – 37045 N/C SEy = E1y – E3 SEy = KQ1 / r12 Senq – KQ3 / r22 SEy = (KQ1 / 2a2)(Ö2 /2) – KQ3 /a2 SEy = – 59545 N/C Cosq = Ö2 /2 Senq = Ö2 /2 E1 E1y E2y a q + - a aÖ2 q aÖ2 E2 a E3 La magnitud y la dirección del campo eléctrico son; E = 70128.02 N/C y a = 58.11° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

SEx = E2x – E1x = (KQ2/ r2^2) Cosa – (KQ1 / r1^2) Cosq SEx = KQ2 / (2a^2) (1/Ö2) – KQ1 / (10a^2) (3/Ö10) SEx = 1474.35 N/C r2 = Ö((2a-a)2+a2)1/2 = aÖ2 = 0.14 cm Cosa = a/(a Ö2) = 1/Ö2 ) ; Sena = a/(aÖ2) = 1/Ö2) Þ a = 45° S 2.5 r1 = Ö((2a-(-a))^2+a2)1/2 = aÖ10 = 0.32 cm Cosq = 3a/(aÖ10) = 3/Ö10); q = 18.43° Senq = a/(a Ö10) = 1/Ö10); q =18.43° SEy = E2y – E1y = (KQ2/ r22) Sena – (KQ1 / r12) Senq SEy = KQ2 / (2 a2) (1/Ö2) – KQ1 / (10a2) (1/Ö10) SEy = 2612.77 N/C La magnitud y la dirección del campo eléctrico es; E = 3000.05 N/C y f = 60.56° E2 E2x E2y E1y E1x a q r1 E1 r2 - + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ r1 - - q1 E2 E1 r2 r2 S 2.6 Si q1 < q2 q2 r r1 r E1 = 225 i N/C ; E2 = -225 i N/C ^ E2 = E1 r2 = r – r1 = 0.80 m r1 = r Öq1 / (Öq2 + Öq1) = 0.20 m r = r2 + r1 q1 / r12 = q2 / r22 Öq1 / r1 = Öq2 / (r - r1) r Öq1 - r1 Öq1 = r1 Öq2 q1 / r12 = q2 / (r - r1)2 r Öq1 = r1 Öq2 + r1 Öq1 Kq1 / r12 = Kq2 / r22 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.7 T Senq – EQ = 0 \ T Senq = EQ T Cosq – W = 0 \ T Cosq = mg Tanq = EQ / mg, entonces, Q = mg Tanq / E = 3.69 mC T = EQ / Senq = 0.123 N m,Q l q -E i ^ m,Q l T Tx Ty q F = EQ W Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La velocidad al pegar en la placa es v = (6*104 i – 6.19 104 j ) m/s y - - - - - - - - - - x + + + + + + + + + + x = vo t, entonces, t = x / vo = 500 ns y(500ns) = ½(Eqp/mp) t2 y(500ns) = -2.4 cm pega en la placa ya que; 2.4 cm > 1.0 cm (y/2) = ½(Eqp/mp) t2, entonces t = Ö(2(y/2) mp / Eqp) t = 323.1 ns x(323.1 ns) = vo t x(323.1 ns ) = 1.94 cm vo pega en la placa en; r = (1.94 i - 1 j ) cm ^ Como la velocidad inicial en y (voy) es cero Þ la velocidad vertical al incidir en la placa es: vy(323.2 ns) = voy – (Eq/mp) t = –(Eq/mp) t = – 61911.4 m/s Vamos a encontrar el tiempo que emplea el protón en recorrer los 3 cm horizontalmente, si para este tiempo y < 1 cm sale de las placas Como pega en la placa, vamos a encontrar el tiempo que emplea el protón en recorrer 1 cm verticalmente, con ese tiempo hallamos lo que avanza horizontalmente. La velocidad al pegar en la placa es v = (6*104 i – 6.19 104 j ) m/s ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a varia entre p/2 y 0 Ey = -2K (Q/l)/r) Sena + - S 2.9 dq+ Ey = -ò(2K(lrda)/r2) Cosa ^ j Ey = -(2Kl /r) ò Cosa da a varia entre p/2 y 0 Ey = -2K (Q/l)/r) Sena l = p r;a varia entre p/2 y 0 ^ j dEy = -2(Kdq/r2) Cosa dq = l dl = l (rda) ^ j + dEy = (- dE Cosa - dE Cosa) ^ j dEy = -2 dE Cosa r Ey = -(2KQ/(pr2)) ^ j E = 11309.7 N/C dEx dEy dEx dEy dEx = (dEx - dEx) = 0 ^ i dE- dE+ a dq- - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.10 a) La densidad lineal de carga es; l = Q / L = -71.43*10-9 C/m. b) El campo eléctrico es; Ex = – K Q / (d (L+d )) i = –12000 N/C i ^ E d L - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ x S 2.11 El campo eléctrico es; Ex = l / (2pe0 x) i ++++++++++++++++ x Por tanto; l = E (2pe0 x) = 133.33*10-9 C/m l = Q / L, entonces, Q = l L = 93.33 nC E Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.12 r Como la densidad lineal de carga l = Q / L, entonces, Q = l L = l (2pR) = -15.71 nC Ex La magnitud del campo a una distancia x es; :Ex = KQx / (x2 + R2)3/2, para x = R: Ex = KQR / (R2+ R2)3/2 = KQR / (2R2)3/2, Ex = KQ / (23/2)* R2) = -4998.89 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.13 Fg = mg FE = Eq El pedazo de estireno flota cuando: Fg = FE, entonces, mg = Eq mg = (s/2eo)q s = 2eo mg / q = -2.48 mC/m2 La densidad superficial de área es: s = Q /A, entonces, A = Q / s = 2.02 m2 +s Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.14 El campo eléctrico a una distancia x es; Ex = (s /(2e0)) * {1 - x/(x2+R2)1/2} Cuando x = R , tenemos; Ex = (s /(2e0))*{1 - R/(2R2)1/2} Ex = (s /(2e0))*{1 - R/((2^½)(R2)1/2)} Ex = (s /(2e0))*{1 - (1/2)1/2} = 165.63 N/C s R E Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

x = h*tan q = 0.1732 m ; H = Ö(x2+ h2) = 0.20 m S 2.15 E a h x H q A1 El flujo viene dado por; F = E A = E A Cosq · x = h*tan q = 0.1732 m ; H = Ö(x2+ h2) = 0.20 m a) El flujo que entra es; Fe = E (a*h)1 *Cos180°= -20 Nm2/C b) El flujo que sale es; Fs = E (a * H)2 *Cos60° = 20 Nm2/C c) DF = Fe = Fs = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

F = E A cos q = E (2(½ Rh)) cos 180° = - 100 Nm2/C F = E An = E A= E A Cosq · F = E A cos q = E (2(½ Rh)) cos 180° = - 100 Nm2/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 2.17 4Q -3Q 2Q FR = SQ/e0 = (4Q–3Q+2Q) / e0 = 3Q / e0 = 678.58 Nm2/C FAm = SQ/e0 = (–3Q+2Q) / e0 = –Q / e0 = –226.19 Nm22/C FAz = SQ/e0 = (–3Q+2Q) / e0 = –Q / e0 = –226.19 Nm2/C Fv = SQ/e0 = 0 / e0 = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA