Unidad 2: DETERMINANTES 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013 Unidad 2: DETERMINANTES

ÍNDICE Introducción Determinantes. Definiciones. Propiedades de los determinantes. Matriz adjunta e inversa. Rango de matrices por determinantes. Matrices con parámetros.

Introducción Idea fundamental Un poco de historia

Introducción FUNDAMENTAL: El determinante es un número real

Introducción Un poco de historia: En 1693, Leibnizt usa la noción de determinantes en sistemas de ecuaciones En 1772, Vandermonde usa los determinantes de forma independiente a los sistemas de ecuaciones. En 1812, Cauchy inicia el desarrollo de la teoría de determinantes que actualmente conocemos. En 1855, Cayley hace notar que la noción de matriz es posterior a la de determinante en un siglo.

Determinantes. Definiciones De orden 1 De orden 2 De orden 3: Sarrus y desarrollo por una línea De orden superior a 3

1.a.- Determinante de orden 1 1.b.- Determinante de orden 2

1.c.- Determinante de orden 3 - Sarrus “Es la suma de todos los posibles productos de tres elementos de la matriz en los que haya: un elemento de cada fila y uno de cada columna con signo + ó – según el tipo de permutación de los segundos subíndices (j) respecto de los primeros (i)”

1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea

1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea Esto es el desarrollo por la primera fila, podría hacerse por cualquier fila y por cualquier columna

1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones Matriz complementaria del elemento Menor complementario del elemento Adjunto del elemento

1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones Matriz complementaria del elemento Menor complementario del elemento Adjunto del elemento

1.d.- Determinante de orden superior a 3 Para un determinante de orden n hay n! sumandos En la práctica no se usa esta definición, en su lugar se aplica “El determinante de una matriz es igual a la suma de todos los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos correspondientes”.

Propiedades de los determinantes Relativas a operaciones Relativas a la dependencia lineal Relativas al cálculo Cálculo práctico

2.a.- Relativas a operaciones

2.a.- Relativas a operaciones

2.a.- Relativas a operaciones

2.a.- Relativas a operaciones

2.b.- Relativas a dependencia lineal

2.c.- Relativas al cálculo

2.c.- Relativas al cálculo

2.d.- Cálculo práctico

Matriz adjunta e inversa Definición: matriz adjunta Propiedad: producto Propiedad: existencia de la inversa Calculo de la inversa por determinantes

Definición de matriz adjunta

Definición de matriz adjunta

Definición de matriz adjunta

Propiedad: producto por la adjunta traspuesta

Propiedad: producto por la adjunta traspuesta

Propiedad: Existencia de la inversa

Propiedad: Existencia de la inversa

Rango por determinantes Definición de rango Definición de menor de orden k Cálculo práctico (“orlar”) Propiedades del rango

Definición de rango Rango de una matriz cualquiera es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes. Rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas no nulas. AHORA Rango de una matriz cualquiera es el orden del mayor menor no nulo de la matriz

Definición de menor de orden k Definición: Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

Definición de menor de orden k Definición: Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

Definición de menor de orden k Definición: Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A. IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )

Cálculo práctico (“orlar”) Nota: ”Orlar” = “poner alrededor” Buscamos un menor de orden 2 no nulo, supongamos Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,…

Cálculo práctico (“orlar”) Si todos son nulos quiere decir que la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras y entonces pasaríamos a la 4ª fila Pero si alguno es distinto de cero, por ejemplo: Orlamos el menor anterior con la siguiente fila Continuamos el proceso hasta: Completar todas las filas Encontrar un menor de orden k = min( m, n ) no nulo

Cálculo práctico (“orlar”) Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,… Por tanto, la 3ª fila es linealmente dependiente de las dos primeras. Orlamos el menor de orden 2 anterior con la 4ª fila, y tenemos como primer menor de orden 3:

Cálculo práctico (“orlar”) con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 Cálculo práctico (“orlar”) Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 Pasamos a orlar este menor no nulo con la fila 4ª para ver si el menor de orden 4 es nulo o no…

Cálculo práctico (“orlar”) con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3 Cálculo práctico (“orlar”) Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3

Propiedades del rango Si el rango de A es k  todos los menores de orden mayor que k son nulos Si el rango de A es k  las k filas y las k columnas del menor no nulo de orden k son linealmente independientes (líneas principales) Todas las líneas no principales dependen linealmente de las líneas principales OBSERVACIÓN: las líneas principales de una misma matriz pueden ser diferentes, pero siempre serán iguales en número

Matrices con parámetros Página 45, actividad resuelta número 17. Página 51, actividad resuelta (PAU) número 6. Página 54, actividad número 22, que resolvemos a continuación: EJEMPLO: Halla el rango de la siguiente matriz en función de los valores del parámetro a. Halla, si existe, la matriz inversa de A en los casos a=0 y a=1

Matrices con parámetros - EJEMPLO Como es una matriz cuadrada, en vez de orlar, hacemos directamente

Matrices con parámetros - EJEMPLO Caso 1: Caso 2: Caso 3:

Matrices con parámetros - EJEMPLO En cuanto a la segunda parte sólo puede existir inversa en el caso de a=0