Taller Técnicas de Pronósticos Tema: Ejercicio de recopilación del modelo de descomposición Norman Giraldo Septiembre 22, 2005

Temas del Taller •Plantear y estimar un modelo de descomposicion para una serie de tiempo. •Utilizar los estadísticos Durbin-Watson y Ljung-Box para examinar la autocorrelación en los residuos. •Examinar la FAC y la FAC Parcial de los residuos. •Utilizar la opción “scan” del proc arima para plantear posibles modelos ARMA para los residuos •Estimar el modelo ARMA seleccionado •Calcular pronósticos con el modelo completo

Leer los datos (T= 350 observaciones). Generar observaciones adicionales para pronósticos. Examinar la gráfica de la serie dm 'output;clear'; dm 'log;clear'; options nocenter ps=800 ls=150 nodate nonumber; data uno; infile 'c:\datostaller1.dat'; input yt; t+1; t2 = t*t; run; data uno; set uno end = eof; fecha=intnx('day','01Dec75'd,t); format fecha DDMMYY.; output; if eof then do t = 351 to 380; yt =.; t2 = t*t; fecha = intnx('day',fecha,1); output; end; run; symbol1 c = red v = none i = j; proc gplot data = uno; plot yt*fecha; run; quit;

• Serie de tiempo diaria con T = 350 observaciones • Posible tendencia cuadrática • Valores negativos: no usar transformación logarítmica, luego no puede ser un modelo log-cuadrático. • Serie con fuerte autocorrelación • No parece tener componente estacional • Modelo propuesto :

Estimar el modelo cuadrático con proc autoreg, DW Examinar la FAC y la FACP de los residuos, y LB proc autoreg data = uno; model yt = t t2/dw=1 dwprob method=ml; output out = a1 p = pt r = et; run; quit; proc arima data = a1; identify var = et scan; run; quit;

Resultados de la Estimación de la parte estructural con el proc autoreg Ordinary Least Squares Estimates Standard Approx Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept t <.0001 t <.0001 SSE DFE 347 MSE 1261 Root MSE SBC AIC Regress R-Square Total R-Square Durbin-Watson Pr < DW <.0001 Pr > DW CONCLUSIONES : se detecta tendencia cuadrática y autocorrelación de por lo menos orden 1, es decir et puede ser por lo menos AR(1)

Resultados de la FAC, FACP y prueba LB con el proc arima Autocorrelations Lag Covariance Correlation Std Error | |********************| |. |*************** | |. |***** | | *******|. | | **************|. | | ****************|. | | ***********|. | |. **|. | |. |******* | |. |************* | |. |************ | |. |****** | |. **|. | | ********|. | | ***********|. | | *********|. | |. ***|. | |. |***. | |. |******** | |. |********* | |. |******. | |. |*. | |. ****|. | | *******|. | |.******|. | CONCLUSION: es posible un modelo autorregresivo porque el patrón es sinusoidal amortiguado decreciente a cero

Resultados de la FAC Parcial Partial Autocorrelations Lag Correlation |. |*************** | | *****************|. | | *****|. | | **|. | |. |. | |.*|. | |. |*. | |. |*. | |.*|. | |.*|. | |.*|. | |. |. | |. |*. | |. |. | |.*|. | |.*|. | |.*|. | |. |*. | |.*|. | |. |. | |.*|. | |. |** | |. |. | |. |. | Conclusiones: posiblemente es un AR(3)

Resultado de la Prueba Ljung-Box Autocorrelation Check for White Noise To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq Autocorrelations < < < < Conclusiones: la prueba rechaza la hipótesis nula de incorrelación en los rezagos 6,12,18,24, luego, se detecta autocorrelaciones Significativas en la serie de los residuos.

Resultado de la opción “scan” del proc arima SCAN Chi-Square[1] Probability Values Lags MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 AR 0 < <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 AR 1 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 AR 2 < AR AR AR ARMA(p+d,q) Tentative Order Selection Tests ----SCAN--- p+d q Conclusion: Dos posibles modelos para los residuales: ARMA(2,1) AR(3)

Estimación del Modelo ARMA(2,1) con el proc arima proc arima data = a1; identify var = et; estimate p = 2 q = 1 noconstant method=ml; forecast out = a2 lead = 30 id = t; run; quit; Nótese la opción “noconstant”. Se incluyó porque se sabe que los residuos et tienen media cero y por tanto el modelo arma(2,1) es un modelo sin constante. Nótese que el archivo de salida tiene los 350 datos de la serie mas 30 de pronosticos

Resultados de el Estimación del arma(2,1) Maximum Likelihood Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MA1, < AR1, < AR1, < Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals 350

Examen con la prueba Ljung-Box de los residuos del modelo arma(2,1), at Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq Autocorrelations Conclusion: los residuos at del modelo arma(2,1) son ruido blanco. Luego, el modelo se puede aceptar.

El Modelo Ajustado arma(2,1) Model for variable et No mean term in this model. Autoregressive Factors Factor 1: B**(1) B**(2) Moving Average Factors Factor 1: B**(1)

Modelo Final para la Serie Original: tendencia cuadrática y errores tipo arma(2,1)

Cálculo de los Pronósticos data total; merge a1 a2; by t; pyt = pt + FORECAST; l95 = pt + l95; u95 = pt + u95; run; symbol2 c = blue v = none i = j; symbol3 c = black v = none i = j; proc gplot data = total; plot yt*fecha=1 pyt*fecha = 2 pt*fecha=3/overlay; run; quit; proc gplot data = total; plot yt*fecha=1 pyt*fecha = 2 pt*fecha=3/overlay; where( fecha > '01Sep1976'd); run; quit;

Resultados de los Pronósticos (1): pronóstico estructural versus pronóstico con arma(2,1).

Resultados de los Pronósticos (1): pronóstico estructural versus pronóstico con arma(2,1): ultimos períodos

Valores de los pronósticos Obs fecha yt pyt /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/

Próximo Trabajo •Realizar estos análisis con la serie de licencias de viviendas nuevas para Medellín, •utilizando el modelo para tendencia que se encontró, •analizando la estructura de los residuos •proponiendo un posible modelo arma(p,q) •realizar pronósticos con el nuevo modelo