Cantidad de líneas de campo que atraviesa la superficie ds. 6. FLUJO ELÉCTRICO Cantidad de líneas de campo que atraviesa la superficie ds. E ds θ ds La definición general de flujo eléctrico es:

El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o sale de la superficie. Campo eléctrico n1 n2 S2 S1 El flujo eléctrico en la superficie S2 es positivo, las líneas de campo salen de la superficie El flujo eléctrico en la superficie S1 es negativo, las líneas de campo entran a la superficie

En general, el flujo neto para una superficie cerrada será: ds El flujo neto es cero si no hay cargas dentro de la superficie (Figura N°1). Figura N° 1

Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la carga neta Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la carga neta. Mire las cuatro superficies en la figura N° 2 y es fácil entender por qué esto es así. Figura N° 2

Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie. q ds R El campo eléctrico creado por una carga puntual viene dado por En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego

Flujo total Independiente de R Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada punto, por lo tanto El área de una superficie esférica viene dada por S =4pR2, luego Independiente de R Flujo total

Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada. El flujo total es la suma de tres términos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) mas el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya que los vectores superficie y campo son perpendiculares. Así El flujo sólo es proporcional a la carga que encierra una superficie, no a la forma de dicha superficie.

7. LEY DE GAUSS Esta ley da una relación general entre el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por ella. Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie esférica viene dado por Vamos a comprobar que este flujo es independiente de la forma de la distribución. Sólo depende de la carga que haya en el interior.

Consideremos varias superficies centradas en una esférica que contiene una carga q. El flujo a través de la superficie esférica es Como el número de líneas que atraviesan las tres superficies es el mismo, se cumple que Por lo tanto el flujo es independiente de la forma de la superficie.

II Supongamos ahora una carga q próxima a una superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso el número neto de líneas de campo que atraviesa la superficie es cero (entran el mismo número de líneas que salen), por lo tanto q El flujo a través de una superficie que no encierra carga es nulo.

Generalización de los resultados Para distribuciones de carga, ya sean discretas o continuas, podemos aplicar el principio de superposición. Ejemplo: S’ q1 q2 q3 S S’’

en todos los puntos de la superficie Enunciado de la ley de Gauss El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío. Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con gran simetría. Procedimiento para aplicar la ley de Gauss Dada una distribución de carga, buscar una superficie gaussiana que cumpla estas condiciones paralelo a en todos los puntos de la superficie constante

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dado por Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos condiciones anteriores S es el área de la superficie gaussiana Por lo tanto qint es la carga encerrada en dicha superficie

Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito de carga. Φtotal = EA cos 0° + EA cos 0°

Un caso importantísimo – Placas Paralelas Uniforme – Independiente de la Posición. Esta estructura se usa mucho en la práctica.

Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme λ.

Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza esférica uniformemente cargada.

Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera uniformemente cargada. ds

Conductores en equilibrio electrostático Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no se tiene movimiento neto de la carga dentro del conductor. PROPIEDADES: E=0 en el interior del conductor. La carga está localizada en la superficie (si es sólido) o las superficies (si es hueco). El campo electrico afuera del conductor es σ/ϵo. En un conductor de forma irregular la carga tiende a acumularse en regiones donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeño, es decir, en las puntas.

Para un conductor, E=0 en el interior del conductor. Un conductor hueco la carga está en las superficies ya sea externa o interna o ambas.

Definición operacional de trabajo Fuerza aplicada a la partícula Trabajo realizado por la fuerza F, cuando la partícula viaja desde a hacia b. Elemento infinitesimal de la trayectoria seguida por la partícula.

¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico generado por una carga puntual q, cuando una partícula q0 se desplaza desde a hacia b, por la trayectoria T1? T1

f es el ángulo entre la fuerza F y la tangente a la trayectoria dlcosf es la proyección de dl en la dirección de la fuerza F

resultado sólo depende del estado inicial y final de la distribución de cargas trabajo realizado por el campo eléctrico (trabajo interno) es independiente de la trayectoria seguida por la carga q0 en su viaje desde a hacia b La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, esto permite definir la función energía potencial eléctrica:

Para un desplazamiento finito de la carga de prueba entre los puntos a y b el cambio en energía potencial es La cantidad U / q0 se llama potencial eléctrico, de este modo el potencial es

La diferencia de potencial, DV = Vb – Va, entre los puntos a y b se define como el cambio en la energía potencial dividida entre la carga de prueba q0: Si elegimos el potencial como cero en el infinito, el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual al trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto, o sea Definimos una superficie equipotencial como los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico.

Líneas de campo y superficies equipotenciales de una carga puntual

Líneas de campo y superficies equipotenciales para planos paralelos cargados

Líneas de campo y superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico

Líneas de campo y superficies equipotenciales para dos cargas iguales

Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme Si E es constante, podemos escribir: b a c E El cambio en la energía potencial es

Potencial de una carga puntual Para una carga puntual se tiene q dr ds b r a rb La diferencia de potencial entre a y b es: ^ ra r q Si tomamos V = 0 en r = :

Considere un sistema de dos cargas puntuales, la energía potencial esta dada por: q2 q1 Para un sistema de tres cargas puntuales tenemos: r12 q2 r23 q1 r13 q3