Itahisa Nesoya González Álvarez Maruxa Yurena Suárez Lorenzo ELECTROMAGNETISMO II Problemas 4, 5 y 6 Hoja 5 Itahisa Nesoya González Álvarez Maruxa Yurena Suárez Lorenzo

PROBLEMA 4 Figura 1 ENUNCIADO: Calcula las intensidades de corriente e que circulan a través de las bobinas en el circuito de la Fig. 1 si el generador produce un escalón de tensión de valor en . Figura 1

Transformar el circuito al dominio de s Resistencia: Bobina: PROBLEMA 4 SOLUCIÓN: Planteamiento: Para resolver el problema se calculan las intensidades que pasan por cada una de las mallas, , y con estas, se obtienen las intensidades que pasan por la bobina 1 y la 2, que es lo que se pide en el problema. La relación entre las intensidades de las mallas y las de las bobinas es la siguiente: Resolución: A partir del enunciado del problema podemos deducir que las condiciones iniciales son: PROBLEMA 4 Para la resolución del problema se aplica la transformada de Laplace, y para ello se realiza en tres pasos: Transformar el circuito al dominio de s Resistencia: Bobina:

El circuito equivalente sería el de la figura 2. PROBLEMA 4 PROBLEMA 4 El circuito equivalente sería el de la figura 2. 2. Resolver el circuito usando las leyes de Kirchoff El sistema de ecuaciones lo resolvemos con la regla de Cramer: Figura 2

Para poder antitransformar descomponemos en fracciones simples, PROBLEMA 4 3. Aplicar la antitransformada para obtener el resultado en el dominio del tiempo Para poder antitransformar descomponemos en fracciones simples,

PROBLEMA 4 Para obtener las intensidades en el dominio del tiempo, sólo resta calcular las transformadas inversas.

PROBLEMA 4 Para terminar se calculan las intensidades correspondientes a cada bobina.

PROBLEMA 5 Figura 1 ENUNCIADO: El interruptor S del circuito de la figura 1 se considera abierto desde . Si se cierra en y vuelve a abrirse en , calcula las tensiones del condensador, , y de la resistencia de . Figura 1

o cerrado. Dichas etapas se muestran a continuación: PROBLEMA 5 SOLUCIÓN Planteamiento: El problema se puede dividir en distintas etapas dependiendo de que el interruptor este abierto o cerrado. Dichas etapas se muestran a continuación: Para la resolución de la segunda y tercera etapa se va a utilizar la transformada de Laplace.

Figura 2 Figura 3 Dado que el interruptor esta abierto en esta etapa PROBLEMA 5 Dado que el interruptor esta abierto en esta etapa el circuito es el de la figura 2. Debido a que el intervalo de tiempo en esta etapa es muy largo la corriente que pasa por el condensador se hace cero (el condensador se carga), y éste se comporta como un circuito abierto (Figura 3). Por tanto, la caída de potencial entre los puntos 1 y 2, y los puntos 1 y 4 es la misma que entre los puntos 1 y 3, que tiene de valor: Finalmente, en esta etapa se tiene los siguientes resultados: Figura 2 Figura 3

Figura 4 Figura 5 En esta etapa se tiene el circuito de la figura 4. PROBLEMA 5 En esta etapa se tiene el circuito de la figura 4. Dado que las dos resistencias de están en paralelo se puede escribir el circuito de la figura 4 de un modo más simplificado, tal como se muestra en la figura 5. Las condiciones iniciales son los resultados que se obtuvo en la etapa anterior. Para la resolución del problema se aplica la transformada de Laplace, y para ello se realiza en tres pasos. 1. Transformar el circuito al dominio de s. Resistencia: Condensador: Figura 4 Figura 5

2. Resolver el circuito usando las leyes de Kirchoff. PROBLEMA 5 El circuito equivalente sería el de la figura 6. 2. Resolver el circuito usando las leyes de Kirchoff. Se aplica la 2ª ley de Kirchoff a la primera y segunda malla (Figura 7). 1ª Malla: 2ª Malla: Figura 6 Figura 7

Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas: PROBLEMA 5 Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas: Para resolverlo se utiliza la regla de Cramer:

3. Aplicar la antitransformada para obtener el resultado en el dominio del tiempo Para poder antitransformar hay que separa en fracciones simples el segundo sumando de Así, es: PROBLEMA 5

Ahora ya podemos aplicar la transformada inversa a e . PROBLEMA 5 Ahora ya podemos aplicar la transformada inversa a e . Para terminar se calculan las tensiones en el condensador y en la resistencia 3, que es lo que se pide en el problema. La tensión del condensador viene dada por la expresión siguiente:

PROBLEMA 5 En este caso, se tiene

En esta etapa se tiene el circuito de la figura 8. PROBLEMA 5 En esta etapa se tiene el circuito de la figura 8. Las condiciones iniciales son los resultados que se obtuvo en la etapa anterior para . 1. Transformar el circuito al dominio de s. Resistencia: Condensador: El circuito equivalente sería el de la figura 9. Figura 8 Figura 9

Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas: PROBLEMA 5 2. Resolver el circuito usando las leyes de Kirchoff. 1ª Malla: 2ª Malla: Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolverlo se utiliza la regla de Cramer: PROBLEMA 5 Para resolverlo se utiliza la regla de Cramer:

Ahora ya podemos aplicar la transformada inversa a e . PROBLEMA 5 3. Aplicar la antitransformada para obtener el resultado en el dominio del tiempo Para poder antitransformar hay que separa en fracciones simples el segundo sumando de Ahora ya podemos aplicar la transformada inversa a e .

PROBLEMA 5 Para terminar se calculan las tensiones en el condensador y en la resistencia.

PROBLEMA 6 ENUNCIADO: Estudiar la intensidad de corriente que aparece en un circuito RC en serie en respuesta a la aplicación en de un generador de tensión sinusoidal.

La condición inicial es: PROBLEMA 6 SOLUCIÓN: Planteamiento: En este problema se va a estudiar un circuito formado por condensador y resistencia conectados en serie con un generador de tensión sinusoidal, Para calcular la intensidad que circula por el circuito se utilizará la transformada de Laplace. De este modo se obtiene la respuesta transitoria y permanente. La condición inicial es: Figura 1

Se aplica la 2ª ley de Kirchoff al circuito: PROBLEMA 6 Resolución: Se aplica la 2ª ley de Kirchoff al circuito: Transformando al dominio de s: Figura 2

Para poder antitransformar hay que separar en fracciones simples. PROBLEMA 6 Para poder antitransformar hay que separar en fracciones simples. La intensidad en el dominio s queda como:

la respuesta permanente. PROBLEMA 6 Usando la transformada de Laplace inversa ya se puede obtener la intensidad en el dominio del tiempo. Esta última ecuación es la solución completa y se puede diferenciar la respuesta transitoria y la respuesta permanente. A continuación se va a trabajar trigonométricamente la solución completa para obtener una forma más explícita para la componente de la respuesta permanente.

PROBLEMA 6 Sustituyendo:

BIBLIOGRAFÍA F. Lahoz, Apuntes de Electromagnetismo II, La Laguna 2006 A. Papoulis, M. Bertran, Sistemas y Circuitos, Boixareu editores V. López Rodríguez, Electromagnetismo, Unidades didácticas de la UNED V. López Rodríguez, Problemas resueltos de electromagnetismo, editorial Centro de Estudios Ramón Areces, Madrid.