UNIDAD 2 MCD Y MCM

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El máximo común divisor (MCD) de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Ejemplo: Analizamos los divisores de 18 y 24. Divisores de 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18 Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 Se observa que los divisores comunes de 18 y 24 son: 1; 2; 3; 6. El mayor común divisor es 6. Luego, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6. Es decir: MCD(18; 24) = 6. Propiedades: 1. Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores de su MCD. 2. Si A, B y C son PESI (primos entre sí), entonces: MCD(A, B, C) = 1 3. Si A = B y C = B, entonces: MCD(A, B, C) = B oo

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD 1. Método de intersección de divisores Se determinan los divisores de cada número, para luego hallar la intersección de los divisores de todos los números, el MCD será el mayor divisor común de la intersección. Ejemplo: Calcula el MCD de 24; 36 y 48. Solución: Determinamos los divisores de 24; 36 y 48: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36} D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48} Tenemos que: D(24) ∩ D(36) ∩ D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Luego: MCD(24; 36; 48) = 12

4. Método del algoritmo de Euclides También se le conoce con el nombre de divisiones sucesivas. Luego: MCD(A, B) = r3 Ejemplo: Calcula el MCD de 580 y 320. Solución: Luego: MCD(580; 320) = 20 Cocientes q1q2q3q4 ABr1r2r3 Residuos r1r2r30 Cocientes Residuos

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números, es el menor múltiplo común de dichos números. Ejemplo: Analizamos los múltiplos de 18 y 24. Múltiplos de 18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; … Múltiplos de 24: 24; 48; 72; 96; 120; … Se observa que el menor múltiplo de 18 y 24 es: 72. Luego, el mínimo común múltiplo de 18 y 24 es 72. Es decir: MCM(18; 24) = 72.

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCM

EJERCICIOS 1. Si el MCD de 6m, 8m y 12m es 72, calcula el valor de «3m – 2». Solución: Descomponemos en forma simultánea: 6m - 8m - 12m 2 3m - 4m - 6m m MCD(6m; 8m; 12m) = 2m Por dato MCD(6m, 8m, 12m) = 72 Entonces: 2m = 72 → m = 36 Luego: 3m – 2 = 3.36 – 2 = 106 Rpta.: 106

3. El doctor de Manuel le ha indicado que para curarse la gripe tiene que tomar un jarabe cada 6 horas y una pastilla cada 8 horas. Si acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿Dentro de cuantas horas volverá a tomárselos ambos Solución: Calculamos el MCM de los tiempos en que debe tomar cada medicamento Jarabe: M(6) = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; …} Pastilla: M(8) = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 54; …} MCM(6; 8) = 24 Rpta.: Volverán a tomar ambas medicinas dentro de 24 horas (un día)

5. Un niño cuenta sus figuritas, primero por grupos de 3, luego por grupos de 4 y finalmente por grupos de 5, pero siempre le quedan 2 sin contar. ¿Cuántas figuritas tiene, si sabemos que no llega a 130, pero exceden las 110 figuritas? Solución: Sea N el número total de figuritas. Por dato, tenemos: N = ; N = ; N = Por propiedad: N = MCM(3; 4; 5) + 2 N = → N = 60k + 2 Además: 110 < N < 130 Luego: N = = 122 Rpta.: El niño tiene 122 figuritas. ooo o o 6. Los cocientes sucesivos que se obtienen al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides son 1; 3; 1 y 7. Determina la suma de ambos números, si el MCD es igual a 10. Solución: Sean A y B los números a encontrar. Aplicamos el algoritmo de Euclides: Los números son: 390 y 310. Luego: = 700 Rpta.: 700. Cocientes Residuos