POLIGONOS

¿Qué es un Polígono? El Polígono es la figura geométrica cerrada que resulta de unir, mediante segmentos de recta y en forma consecutiva, tres o más puntos no colineales.

Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones C D Frontera Región exterior Región interior B E A F

    B    A  C   E D Vértice Medida del ángulo central Diagonal  A    C  Centro Medida del ángulo interno Medida del ángulo externo     E D Lado

NOMBRES DE LOS POLIGONOS NÚMERO DE LADOS NOMBRE DEL 3 POLÍGONO TRIÁNGULOS 4 CUADRILÁTERO 5 PENTÁGONO 6 HEXÁGONO o EXÁGONO 7 H EPTÁGONO o EPTÁGONO 8 OCTÁGONO o OCTÓGONO 9 NONÁGONO o ENEAGÓNO 10 DECÁGONO 11 ENDECÁGONO 12 DODECÁGONO 15 PENTADECÁGON 20 O ICOSÁGONO Los demás polígonos se nombra diciendo polígonos de “n” lados

CLASIFICACION DE LOS POLÍGONOS De acuerdo a sus medidas de sus elementos los polígonos pueden ser: Polígonos Cuando ángulos Convexos.- A Q todos sus B interiores de 180º, P miden menos o cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos. D C Recta secante

CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS Polígono Cóncavo: Al menos uno de sus ángulos D interiores mas de miden 180°;  C también se le reconoce, cuando al trazar una B A secante lo corta en mas de dos puntos. 180º    360º

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Polígonos Equiláteros .- Cuando todos sus lados son de la misma longitud. Ejemplos: El triangulo equilátero, el cuadrado y el octágono.

Polígono Equiángulo.- Sus ángulos interiores son de igual medida. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Polígono Equiángulo.- Sus ángulos interiores son de igual medida. Ejemplo: El triángulo equilátero, el el cuadrado , el rectángulo, hexágono.              

CLASIFICACION DE LOS POLIGÓNOS Polígonos Regulares: Si los lados y los ángulos interiores son congruentes A    B C Polígonos Irregulares: Son aquellos que tienen uno o mas lados que no miden lo mismo, o que sus ángulos no tienen la misma medida    

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS En un polígono se cumple; el número de lados, número de vértices, número de ángulos interiores y número de ángulos exteriores (uno por vértice) son iguales. Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Ángulos centrales

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 1.- La suma de las medidas de los ángulos internos (Sint) es donde: Sint 180º (n  2) Sint = Suma de los ángulos internos n = Números de lados del polígono

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 2.- En un polígono regular todos sus ángulos interiores entonces la medida ángulos interiores es son congruentes, de uno de sus 180º (n  2) donde:    int  n    

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS  3.- La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º    Se = 360°   +  +  +  +  = 360º

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 4.- En un polígono regular todos sus ángulos exteriores son congruentes, luego la medida de uno de sus ángulos exteriores es  360º  ext n 5.- El valor de un solo ángulo central (  ) de un polígono regular convexo de “n” lados es   360º n

7.- El número total de diagonales de un polígono de “n” lados es PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 6.- El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono esta dado por la siguiente relación d = n – 3 7.- El número total de diagonales de un polígono de “n” lados es D  n(n  3) 2 n= número de lados

7.- Las diagonales que se trazan de un PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 7.- Las diagonales que se trazan de un vértice, descomponen al polígono convexo, en tantos triángulos como lados tienen menos 2 Ns  n  2 Ns  8  2 Ns  6

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 8.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra sobre uno de sus lados, el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como lados tenga menos uno Ns  n 1 Ns  8 1 Ns  7

descompuesto en como lados tenga tantos triángulos PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 9.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra en su interior, el polígono queda descompuesto en como lados tenga Ns  n tantos triángulos n  6 Ns  6

Calcula la suma de las medidas de los Problema Nº 01 Calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y hexágono RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180°( n – 2) n = RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180°( n – 2) n=

Como se llama el polígono convexo, cuya Problema Nº 02 Como se llama el polígono convexo, cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 1620º RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180 ( n – 2 )

Calcula la medida de cada ángulo interior de un octágono regular Problema Nº 03 Calcula la medida de cada ángulo interior de un octágono regular RESOLUCIÓN Del enunciado: int  180(n  2) n

Cuantas diagonales icoságono Problema Nº 04 Cuantas diagonales icoságono en total tiene un RESOLUCIÓN Del enunciado: D  n(n  3) 2

360° + 180°( n - 2 ) = 1980°  n(n  3) Problema Nº 01 En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono. RESOLUCIÓN Del enunciado: Se + Si = 1980° Luego, reemplazando por las propiedades: 360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Resolviendo: n = 11 lados Número de diagonales:  n(n  3) 11 ( 11 3 ) N ND = 44 ND  D 2 2

Reemplazando por las propiedades: Polígono es regular: Problema Nº 02 ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo RESOLUCIÓN Del enunciado: mi = 8(me ) Reemplazando por las propiedades: Polígono es regular: 180 ( n  2 ) 8 (360)  n n Resolviendo: n = 18 lados Luego polígono es regular se denomina: Polígono de 18 lados

Problema Nº 03 Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75. RESOLUCIÓN Del enunciado: ND = n + 75 Reemplazando la propiedad: n ( n  3 ) = n + 75 2 n2 - 5n - 150 = 0 Resolviendo: n = 15 lados Luego, el número total de diagonales:  n(n  3)  15 ( 15  3 ) ND = 90 N N D D 2 2

Polígono es regular: Del enunciado: Problema Nº 04 Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es: Polígono es regular: Del enunciado: Polígono original: n lados RESOLUCIÓN Polígono modificado: (n+1) lados Reemplazando por la propiedad: 180( n  2 )  12  180( n  1 2 ) n n  1 Resolviendo: n = 5 lados Número de lados = Número de vértices NV= 5 vértices

mc  360 mc  360 Problema Nº 05 El número regular es total de diagonales de un polígono igual al triple del número de sus vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono. Polígono es regular: Del enunciado: ND = 3n RESOLUCIÓN Reemplazando por la propiedad: n ( n  3 ) = 3n Resolviendo: n = 9 lados 2 Luego, la medida de un ángulo central: mc  360 mc  360 mc = 40° n 9

EVALUACION MARCA LA RESPUESTA CORRECTA 1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es cinco veces el numero de lados a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de 900..Hallar su numero de diagonales a)10 b) 12 c) 13 d) 14 3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene 170 diagonales a)10º b) 12º c) 13º d) 18º 4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados, la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5