UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Potencial eléctrico Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3. 1 Introducción 3. 2 Objetivo general 3. 3 Objetivos específicos 3 3.1 Introducción 3.2 Objetivo general 3.3 Objetivos específicos 3.4 Fuerza conservativa y energía potencial 3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico 3.6 Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme 3.7 Superficies equipotenciales 3.8 Conservación de la energía Unidad III Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3. 9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales 3 3 .9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales 3.10 Energía potencial generada por cargas puntuales 3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de carga 3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial 3.13 Auto-evaluación 3.14 Solucionario Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.1 Introducción En mecánica se introduce el concepto de energía (cantidad escalar), esta se utiliza para formular la ley de la conservación de la energía. Al emplear la ley de la conservación de la energía, podemos evitar trabajar directamente con fuerzas cuando se resuelven problemas mecánicos. La fuerza eléctrica al igual que la fuerza gravitacional, es consecuencia de las leyes fundamentales de la naturaleza. En este capitulo introducimos el método de energía para el estudio de la electrostática. La fuerza eléctrica es conservativa, y así, una particula con carga o una colección de particulas cargadas tiene energía potencial. Esa energía potencial puede transformarse en energía cinética Comenzamos con la energía potencial eléctrica, un escalar que caracteriza a una fuerza electrostática. Luego, generalizamos hasta el potencial eléctrico, calculamos el potencial para distribuciones continuas y discretas de cargas y demostraremos que el campo eléctrico y el potencial eléctrico están relacionados estrechamente. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Desarrollar en el alumno la capacidad de utilizar el concepto de energía potencial de un sistema continuo o discreto de cargas para ser aplicado en problemas de conservación de la energía y así calcular la diferencia de potencial entre dos puntos dado el campo eléctrico en la región. 3.2 Objetivo general Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.3 Objetivos específicos Integrar conceptualmente la relación entre el potencial eléctrico y la intensidad del campo eléctrico. Enfrentar con buenos fundamentos el estudio de los problemas técnicos y científicos de la energía eléctrica que origina fenómenos, como las chispas o descargas eléctricas. 3.3 Objetivos específicos Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.4 Fuerza conservativa y energía potencial Supongamos que tenemos un campo gravitacional g, (el campo apunta hacia los potenciales decrecientes) y colocamos dentro del campo un cuerpo de masa m. 3.4 Fuerza conservativa y energía potencial Una fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) efectuado por la fuerza, sobre una partícula que se mueve bajo su influencia entre dos puntos es independiente de la trayectoria, solo depende de la posición inicial y final del cuerpo y no de los detalles de cómo paso de su posición inicial a la final, es decir, una fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) realizado a lo largo de una trayectoria cerrada es a cero. g Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

g La energía potencial se presenta en conexión con fuerzas conservativas como la fuerza de gravedad y la fuerza elástica de un resorte. Cuando un cuerpo se desplaza en sentido contrario al campo gravitacional realiza un trabajo negativo. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El movimiento de una partícula de masa m en un campo gravitacional (g), es análogo al movimiento de una partícula de carga q positiva en un campo eléctrico (E). Cuando una partícula de carga positiva se desplaza en sentido contrario al campo eléctrico realiza un trabajo negativo. Supongamos que tenemos un campo eléctrico E y colocamos dentro del campo una partícula de carga positiva. + E Para mover una partícula en sentido contrario al campo (gravitacional o eléctrico) se requiere del trabajo de un agente externo. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energía cinética (K) de la partícula no cambia. En este caso todo el trabajo externo se almacena como energía potencial (U) del sistema. + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

+ La fuerza gravitacional (mg) es una fuerza conservativa, como la fuerza eléctrica (EQ) tiene la misma forma de la fuerza gravitacional, por analogía, la fuerza eléctrica es también una fuerza conservativa, por tanto los fenómenos electrostáticos pueden describirse convenientemente en términos de una energía potencial eléctrica y de un potencial eléctrico. E + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La energía potencial gravitacional cerca de la tierra viene dada por: Ug = mgy. Se puede obtener una función que no dependa de la masa (m), definiendo el potencial gravitacional como la energía potencial en la unidad de masa. Vg = Ug / m. También se puede obtener un potencial eléctrico que no dependa de la carga (q). V = U / q, entonces, Voltio = (Julio / Columbio). El potencial gravitacional o eléctrico en un punto, es el trabajo externo necesario para desplazar una unidad de masa m o de carga q desde el nivel inicial yi hasta una altura final yf dada sin cambiar su rapidez. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

W = – DU = – (Uf – Uí) yf Uf E El trabajo es igual a la variación negativa de la energía potencial. El signo menos indica que el trabajo positivo realizado por la fuerza conservativa disminuye la energía potencial. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energía cinética (K) de la partícula no cambia. yi Uí Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico Para un desplazamiento infinitesimal ds, el trabajo se define: W = ò F · ds y W = – DU Cuando una carga de prueba (q) se coloca dentro de un campo electrostático (E) se genera una fuerza eléctrica conservativa (F) tal que F = E * q : W = ò E * q · ds = – DU DU / q = – ò E · ds = DV. La diferencia de energía potencial eléctrica (DU) o energía potencial (U) reside en el campo eléctrico. La diferencia de potencial (DV) o potencial eléctrico (V) es una característica escalar e independiente de las cargas que se puedan colocar en el campo eléctrico. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

DV = DU / q = – ò E · ds = Vb – Va. La diferencia de potencial DV (Va - Vb) entre los puntos a y b se define: DV = DU / q = – ò E · ds = Vb – Va. Como la fuerza es conservativa, La integral (ò) es de línea, no depende de la trayectoria entre a y b sino de la posición inicial y la posición final, la integración se efectúa a lo largo de la trayectoria a y b por donde se mueve la carga. El cambio de energía potencial DU = (Ub – Ua) entre los puntos a y b se define: DU = - q ò E · ds = q DV = Ub – Ua DU = q DV (Julio = Columbio * Voltio) La variación de la energía potencial DU es directamente proporcional a la diferencia de potencial DV entre dos puntos (DU a DV), como la energía es un escalar el potencial también es escalar. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

DV = DU / q = – ò E · ds = Vb – Va El cambio de energía potencial DU = (Ub – Ua) entre dos puntos a y b se define: DU = - q ò E · ds = q DV = Ub - Ua DU = q DV (Julio = Columbio * Voltio) La DU es directamente proporcional a la DV (DU a DV), como la energía es un escalar el potencial también es escalar. La diferencia de potencial DV (Va - Vb) entre los puntos a y b se define: DV = DU / q = – ò E · ds = Vb – Va Como la fuerza es conservativa, La integral (ò) es de línea, no depende de la trayectoria entre a y b sino de la posición inicial y la posición final, y, la integración se efectúa a lo largo de la trayectoria por medio de la cual se mueve la carga (q) entre a y b. El potencial eléctrico en cualquier punto de un campo es: V = U / q Þ (Julio / Columbio = Voltio) U = V * q Þ (Julio = Voltio * Columbio) Es decir, 1 julio de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de un Columbio a través de una diferencia de potencial de un voltio. Electrón-voltio 1eV = 1.6*10–19 C * 1V = 1.6*10–19 Julios. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

¿Qué cambio de energía potencial experimenta una carga de 10 mC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de 50 voltios? Ejemplo 3.1 DU = q * DV, entonces, DU = 500 mJulios = 5*10-4 J DU = 5*10-4 J *(1 eV / 1.6*10-19 J) = 3.125*1015 eV eV = electrón-voltio = 1.6*10-19 julios Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

A través de que diferencia de potencial se necesitaría acelerar a) ¿Un electrón para que alcance el 30% de la velocidad de la luz? b) ¿Un protón para que alcance el 30% de la velocidad de la luz?¿Hacia donde se desplaza cada partícula? Ejemplo 3.2 Va Vb E Vb < Va a) V = C * 30%= 3*108 m/s * 30% = 90*106 m/s W = DK = ½ m v2 = 3.6855*10-15 J W = -q* DV \Vb – Va = W /-q = 23034.38 Voltios El electrón va hacia la izquierda, al potencial creciente b) W = DK = ½ m v2= 6.7635-12 J W = - q* DV \ Vb – Va = W /-q = - 42.276 Voltios El protón va hacia la derecha, al potencial decreciente Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un electrón que tiene una velocidad inicial de 2*106 m/s? Ejemplo 3.3 Va Vb Vb < Va E W = DK = ½ m vf2 - ½ m vi2 W = (0 - 1.82*10-18) J = -1.82*10-18 J W = -DU = q DV DV = -(-1.82 10-18 J)/q = 1.82 10-18/ -1.6 10-19 C DV = -11.375 V El electrón se desacelera hacia los potenciales decrecientes, es decir en el sentido del campo eléctrico. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.4 En un relámpago típico la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de 1.0*109 V y la cantidad de carga transferida es de 30 C. a) ¿cuánta energía se libera? b) ¿si toda la energía liberada pudiera emplearse para acelerar un automóvil de 1200 Kg desde el reposo ¿cuál seria su velocidad final? a) W = DU = q DV = 30 C * 109 V = 3*1010 J b) W = ½mvf2 – ½mvi2 , entonces, vi = Ö(2W/m) = 7071.07 m/s Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.6 Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme DV = – ò E · dx = – ò E dx Vb – Va = – E x ; evaluado entre xi = a y xf = b la longitud ab es l; Vb – Va = – El El signo menos significa que Vb < Va Þ V = Va – Vb = E l En un campo eléctrico uniforme hay dos puntos con potenciales Va y Vb. La diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la trayectoria, esto confirma que un campo eléctrico uniforme y estático es conservativo e independiente de la carga que se coloque en el campo. E Va Vb l Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Como: Va - Vc = Va – Vb Þ Vc = Vb El resultado muestra que todos los puntos en un plano perpendiculares al campo eléctrico uniforme están al mismo potencial. A una distribución continua de puntos que tienen el mismo potencial se le llama superficie equipotencial. DV = – ò E · dx = – ò E Cosa dx Vc – Va = – E Cosa x ; xi = a y xf = c longitud ac = d y Cosa = l / d Vc – Va = – E (l/d) d = – E l El signo menos significa que Vc < Va Þ V = DV = Va – Vc = E l Vc E d Va a Vb l Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.5 En dos puntos de un campo eléctrico. El potencial en a Va = -40 V, y el potencial en b Vb +120 V ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza externa al mover una carga q de –2*10-6 C y otra de 2*10-6 C de b a a? DV = V = Va – Vb = -40 V – 150 V= -190 V W1 = q DV = (-190 V)*(-2*10-6 C) = 5.8*10-4 J W2 = q DV = (-190 V)*(2*10-6 C) = -5.8*10-4 J Va Vb Vb > Va Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.6 Un electrón que se mueve verticalmente hacia arriba tiene una velocidad inicial de 4*106 m/s en el origen. Su velocidad se reduce a 2*106 m/s en el punto x = 0 y y = 2 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto. ¿cuál esta a mayor potencial? DK = - DU= -qDV \ ½mvf2 - ½mvi2 = -q(Vb – Va) ½m(vf2 - vi2 ) / -q = ½m(vf2 - vi2 ) / q = Vb – Va Vb – Va = -34.125 V como Va > Vb, entonces, Va – Vb = 34.125 V Como una partícula de carga negativa se desacelera en la dirección del campo eléctrico, entonces, el campo eléctrico esta dirigido verticalmente hacia arriba y el punto a (0,0) esta a mayor potencial que el punto b (0,2) cm. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.7 Superficies equipotenciales Cada placa es atravesada por un campo eléctrico uniforme que es perpendicular al plano de la placa, por tanto, cada placa esta al mismo potencial. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Las superficies esféricas son atravesada por un campo eléctrico perpendicular al plano de la placa, por tanto, las superficies de cada una de las esferas están al mismo potencial. + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Las superficies esféricas son atravesada por un campo eléctrico perpendicular, por tanto, las superficie de cada una de las esferas están al mismo potencial. - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.8 Conservación de la energía DU = -q ò E · dx ; Si q > 0 Þ –q (Va – Vb)= (–q) (+DV) = –DU Supongamos que tenemos un campo eléctrico uniforme E, una diferencia de potencial DV = V, donde, Va > Vb, una partícula positiva parte del punto a a b. Cuando una partícula positiva se desplaza en el sentido del campo eléctrico se acelera, gana energía cinética y cede energía potencial, puesto que el campo eléctrico a punta hacia los potenciales decrecientes. Esto significa que una partícula positiva que se mueve en la dirección del campo eléctrico pierde energía potencial. E Va Vb + + + + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

–q (Vb – Va)= (–q) (– DV) = DU DU = – q ò E · dx ; Si q > 0 Þ –q (Vb – Va)= (–q) (– DV) = DU Esto significa que una partícula positiva que se mueve en la dirección contraria al campo eléctrico gana energía potencial. Cuando una partícula positiva se desplaza en el sentido contrario al campo eléctrico se desacelera, gana energía potencial y cede energía cinética, E Va Vb + + + + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Supongamos que una carga positiva se mueve en un campo eléctrico uniforme entre los puntos a y b. Como la fuerza eléctrica es conservativa la energía se conserva W = -D U y W = D K -D U = D K Þ -q (Vb - Va) = Kb - Ka q Va - qVb = Kb - Ka Ka + qVa = Kb + qVb Ea = Eb Va E Vb + + = Ei Ef Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.7 Calcule la velocidad de un protón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 150 V. E + + + + Vb + Va DV = (Va – Vb) > 0 ; vi = 0 W = DK = – DU ½mvf2 – ½mvi2 = – q(Vb – Va) vf = (2*q (Va – Vb) /mp)½ vf = 169.54*103 m/s Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.8 Calcule la velocidad de un electrón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 150V. E Va Vb - - - - - DV = (Vb – Va) < 0 ; vi = 0 W = DK = – DU ½mvf2 - ½mvi2 = (– q) (Vb – Va) ½mvf2 = – q (Vb – Va) vf = (2q(Va – Vb) /me)½ vf = 7.26*106 m/s Una partícula de carga negativa se acelera en la dirección contraria el campo eléctrico, es decir, hacia los potenciales crecientes. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.9 Un bloque de masa m y carga q positiva esta unido a un resorte de constante k. El bloque esta en una superficie horizontal rugosa en su estado natural. De esta manera el sistema se coloca en un campo eléctrico uniforme horizontal. Si m = 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. mk = 0.2 ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ef – Wfr = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr m q E Ei = Ka + Uga + Uea + Ua E m q Ef – Wfr = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr m q E Ei = Ef – Wfr Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr Ua = Ueb +Ub – (– mk N x) qVa = ½kx2 + qVb – (– mk mg x) q (Va – Vb) = ½kx2 + mk mg x q (Ex) = ½kx2 + mk mg x q E = ½kx + mk mg (q E - mk mg) = ½kx x = 2 (q E - mk mg) / k x = 0.3432 m Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales + DV = - ò E · ds DV = - ò Er Cosa ds DV = - ò Er dr La diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual (q) depende únicamente de las coordenadas radial inicial ra y radial final rb. B rb ds dr a Cosa = dr / ds dr = ds Cosa Sea un campo eléctrico E generado por una carga positiva q ra E = (Kq/r2) ^ r DV = -ò (Kq/r2 ) dr : r varia entre rb y ra Vb - Va = -Kq(1/r) ; r = rb y r = ra Vb - Va = Kq(1/rb - 1/ra) Va = Kq/ra ; Vb = Kq/rb A Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Va - Vb = Kq (1/ra - 1/rb) = Vab Vb = Kq / rb rb B Va - Vb = Kq (1/ra - 1/rb) = Vab + ra A Va = Kq / ra Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Potencial de una carga puntual positiva a una distancia r de su centro. V = K q / r + NOTA: El potencial es un escalar debe tenerse en cuenta el signo de la carga. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Potencial de una carga puntual negativa a una distancia r de su centro. V = -K q / r - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

V = K å qi/ri ; V = K(- q1/r1 + q2/r2 - q3/r3) Potencial eléctrico generado por una serie de cargas puntuales (principio de superposición); V = V1 + V2 +......+ Vi +...........+ Vn ; V = K å qi/ri Supongamos que tenemos tres cargas puntuales q1, q2, q3 y se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto. r1 - q3 r3 r2 Sea r1, r2, r3 las distancias correspondientes de cada una de las cargas al punto. + q2 V = K å qi/ri ; V = K(- q1/r1 + q2/r2 - q3/r3) Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Se tienen cuatro cargas negativas iguales que forman un cuadrado de lado 2a. ¿cuál es el potencial eléctrico en el centro del cuadrado si a es 5 cm y q = -2 nC? Ejemplo 3.10 - 2a aÖ2 V = K å qi/ri ; V = K(- q1/aÖ2 - q2/aÖ2 - q3/aÖ2 – q4/aÖ2 ) V = -4K q / aÖ2 = -1018.23 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a) Escogemos un punto entre las cargas, cerca de la de menor magnitud. Una carga +q se encuentra en el origen y una carga –2q esta en el punto (3,0) cm. ¿Para que valor (es) finito(s) a lo largo de la recta que une las cargas el potencial eléctrico es cero? Ejemplo 3.11 + - r a) Escogemos un punto entre las cargas, cerca de la de menor magnitud. r1 r2 K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1 pero. r = r1 + r2 ; r2 = 2(r – r2) = 2r – 2r2\3r2 = 2r ; r2 = 2 cm y r1 = 1 cm \ V1 = Kq1/r1 = 1800 V y V2 = -Kq2/r2 = -1800 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

b) Escogemos un punto por fuera de las cargas y cerca de la de menor magnitud. + - r r r2 r1 K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1 pero. r2 = r1 + r ; r2 = 2 (r2 – r) = 2r2 – 2r\ r2 = 2r ; r2 = 6 cm y r1 = 3 cm \ V1 = Kq1/r1 = 600 V y V2 = -Kq2/r2 = -600 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V Ejemplo 3.12 Una carga q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga positiva parte del reposo un protón. ¿cuál es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga negativa?. ¿cuál es su energía cinética en electrón-voltio? r - q1 + q2 b a r1a r2a Va = K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 V r1b r2b Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V Ea = Eb ; Ua + Ka = Ub+ Kb Þ qpVa + 0 = ½mp vb2 + qp Vb vb = {2qp(Va - Vb) / mp}1/2 = 13.93*106 m/s Ek = ½mpv2 = 1.62*10-13 J = 1.01 *106 eV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Tres cargas puntuales forman un triangulo equilátero de lado a a) Encuentre el potencial en el centro del triangulo. b) si a = 50 cm. q1 = 1 mC q2 = 2 mC q3 = 3 mC ¿cuánto vale el potencial en el centro del triangulo? Ejemplo.3.13 r1 = r2 = r3 = r : a = 30° ; f = 120° + / q1 q2 q3 a Sena / r2 = Senf / a r2 = r = a * Sena / Senf r = (a*1/2) / (Ö3/2) r = a / Ö3 = 0.29 m a r1 r3 f V = K(q1/r1 - q2/r2 + q3/r3) V = (K / r)(q1 - q2 + q3) V = (Ö3 K / a)(q1 - q2 + q3) V = 62353.83 V r2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.10 Energía potencial generada por cargas puntuales Se tiene una carga q1 positiva que produce un potencial V1 a una distancia r. El trabajo requerido para llevar una carga q2 del infinito a la distancia r de q1 con velocidad constante es. U = -V1 q2 = - (Kq1/r) q2 q2 - V1 = Kq1/r + q1 r La energía potencial de una carga negativa y una positiva esta dado por U = V1(- q2) = (-V2) q1 = - Kq1q2 /r Se tiene una carga q2 negativa que produce un potencial V2 a una distancia r. El trabajo requerido para llevar una carga q1 del infinito a la distancia r de q2 sin acelerarla. q1 + U = -V2q1 = - (Kq2/r) q1 V2 = -Kq2/r q2 - r Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.14 El trabajo total que es necesario para mantener este sistema en equilibrio es: U = U13 + U12 + U23 U =K{q1q3 /r13 + q1q2 /r12 + q2q3 /r23}= 3Kq2 / r r1 = r2 = r3 = r = .10 m; q1 = q2 = q3 = q =5mC U = 6.75 Julios Calcule la energía requerida para agrupar tres cargas positivas formando un triangulo equilátero, si cada carga es de 5mC y los lados de 10 cm. ¿cuánto vale la energía para mantener las cargas agrupadas? + q1 q2 q3 r13 r23 r12 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo.3.15 El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un protón a un distancia r de 5.3*10–11 m. a) ¿cuál es el potencial eléctrico debido al protón en la posición del electrón? b) ¿cuál es la energía electrostática entre las dos partículas? a) V = K (+q) / r = +27.17 V r Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

b) U = Vp (-q) = (K q/r)(-q) = - K q2 / r U = -4.35*10-18 Julios Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.16. Dos placas paralelas que tiene carga igual pero de signos contrario están separadas 12 cm. Cada placa tiene una densidad superficial s de 36 nC/m2 Un protón se libera desde el reposo de la placa positiva determine a) la diferencia de potencial en las placas. b) la energía del protón cuando llega a la placa negativa. c) la velocidad del protón cuando llega ala placa negativa. d) la aceleración del protón. e) la fuerza sobre el protón f) El campo eléctrico. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a) El campo eléctrico entre una placas planas y paralelas viene dado por: E = s / e0 = 4071.5 V/m La diferencia de potencial entre las placas paralelas es: DV = Vb - Va = -E d = - 488.58 V V = Va - Vb = E d = 488.58 V b) El trabajo realizado es W = -qDV = 7.82*10-17 Julios, c) DK = - DU \ ½mvf2 - ½mvi2 = -q DV vf = (2(-q)(DV) / m )1/2 = 3.0597*103 m/s d) la aceleración a = Eq/m = 3.9*1011 m/s2 e) La magnitud de la fuerza sobre el protón F = ma = 6.51*10-16 N f) El campo eléctrico F = E q entonces E = F/q = 4071.63 N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de carga Sumando todas las contribuciones de los elementos infinitesimales dq. V = ò K dq / r 3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de carga Una colección de partículas puntuales cargadas representa una distribución continua de carga Q = åqi. El potencial eléctrico (dV) producido por (dq). dV = K dq / r Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto de donde se va a calcular el potencial eléctrico. Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto producido por una distribución continua de carga. Q = åDqi dq r Q = åDqi Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

l = Q/L = dq/dl Distribución lineal de carga Distribución superficial de carga s = Q/A = dq/dA Distribución volumétrica de carga r = Q/V = dq/dV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.17 Potencial eléctrico debido a una hilo cargado Se desea encontrar el potencial eléctrico de un hilo de longitud (L) y distribución uniforme de carga (l) en un punto a lo largo de su eje y a una distancia (d) de uno de sus extremos. X Y Dividimos al hilo en pequeños elementos infinitesimales. d + + + + + + + + + + + + + L Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

X Y Escogemos arbitrariamente un elemento que tiene carga dq y longitud dl. + + + + + + + + + + + + Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

X Y dV = K l dx / x Este es el potencial eléctrico de un elemento, sumamos la contribución de todos los elementos. dV = K dq / r ; dq = l dl = l dx Este elemento infinitesimal se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial eléctrico. r = x + + dl dq Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

d + + + + + + + + + + + + + Y V = K l ò dx /x x varia entre d y d + L V = K (Q/L) Ln ((L+d) / d) d + + + + + + + + + + + + + L Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.18 Potencial eléctrico de un hilo cargado Y Ejemplo 3.18 Potencial eléctrico de un hilo cargado +++++++++++++ Se tiene un hilo de longitud (L), con distribución uniforme de carga l y se desea encontrar el potencial eléctrico a una distancia x perpendicular a uno de sus extremos. Seleccionamos arbitrariamente un elemento dq, que tiene una longitud dy y se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial eléctrico. x X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Y dV = K dq / r ; dq = l dL = l dy ; r = (x2+ y2)1/2 dV = K l dy / (x2+ y2)1/2 Este es el potencial eléctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos. dq dy + r x X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

x Y V = Kl ò (dy / (x2 + y2)1/2) ; y varia de 0 a L V = Kl { Ln(y + Ö(x2+y2))} y varia de 0 a L + r x X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

V = Kl {Ln (L+Ö(x2+L2)) – Ln L)} V = K (Q/L) {Ln (L + Ö(x2+L2)/ x)} Y +++++++++++++ V = Kl {Ln (L+Ö(x2+L2)) – Ln L)} V = K (Q/L) {Ln (L + Ö(x2+L2)/ x)} x X Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.19 Potencial eléctrico de un aro a lo largo del eje central Q R Se tiene un anillo de radio R con una distribución continua de carga Q Potencial eléctrico de un aro a lo largo del eje central, y a una distancia x de su centro, el aro tiene un radio R y una distribución de carga (l). Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z dq + dl r Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo. X x q Y dV= K (l R da) / (x2+ R2)1/2 Tenemos el potencial eléctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos V = {K l R / (x2+ R2)1/2} ò da a = 2p ; a = 0 l = (Q/2pR) Þ V = K Q / (x2 + R2)1/2 dV = K dq / r ; dq = l dl = l (R da) r = (x2 + R2)^½ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.20 Potencial eléctrico sobre el eje central de un disco Q R R Q Ejemplo 3.20 Potencial eléctrico sobre el eje central de un disco Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno con carga dq. Potencial eléctrico a una distancia x en el eje central de un disco de radio R con una densidad superficial de carga s uniformemente distribuida. a El elemento infinitesimal de área dA y se encuentra a una distancia a del centro del disco. da 2pa 2p a da Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a 2pada Z V = (s/(2e0))*{(x2 + R2)½ - x} dq r x q X Y +++++++++++ x q X Y V = ò Ks2pada / (x2+a2)1/2 sea u = (x2+a2) Þ du = 2ada V = (1/4pe0) sp ò du/u1/2 x = R ; x = 0 dV = Kdq/r ; dq = s dA= s(2pada) r = (x2+a2)1/2 dV = K(s2pada) / (x2+a2)1/2 potencial eléctrico de un elemento, sumamos la contribución de todos los elementos. 2pada Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto a una distancia x del centro. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial DV = - ò E · ds Þ dV = - E · ds Si el campo eléctrico es radial E · ds = Er · dr \ dV = - Er · dr Er = - (dV/dr) r Si el campo eléctrico tiene solo componente en x, y o z dV = - Ex · dx Þ Ex = - (dV/dx) i dV = - Ey · dy Þ Ey = - (dV/dy) j dV = - Ez · dz Þ Ex = - (dV/dz) k ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El campo eléctrico es igual al negativo del gradiente del potencial. Si el campo eléctrico tiene componente en x, y, z ; ¶s = ¶x i + ¶y j + ¶z k Þ ¶V = - Ex · ¶x Þ Ex = - (¶V / ¶x) i ¶V = - Ey · ¶y Þ Ey = - (¶V / dy) j ¶V = - Ez · ¶z Þ Ez = - (¶V / ¶z) k E = - (¶/¶x i + ¶/¶y j + ¶/¶z k) V E = - ÑV El campo eléctrico es igual al negativo del gradiente del potencial. ^ Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ex = (10 x y3 z – y z2+ 6 x z2) i N/C Ey = (15 x2y2z – x z2) j N/C Ez = (5 x2y3– 2 x y z + 6 x2z) k N/C ^ Ejemplo 3.21 La componente del vector campo eléctrico es igual al negativo de la deriva del potencial con respecto a la coordenada. Sobre cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = 5 x2y3z – x y z2+ 3 x2z2 Encuentre las expresiones para las componentes x, y y z del campo eléctrico sobre esta región. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo en el punto p (2,1,-1)? E(2,1,-1) = (- 9 i - 62 j + 0 k ) N/C ^ La magnitud del campo eléctrico es E = Ö(Ex2 + Ey2 + Ez2) = 62.65 N/C La dirección del vector campo eléctrico con respecto a cada componente es Cosa = Ex / E Þ a = Arcos (Ex / E) = 98.26° Cosb = Ey / E Þ b = Arcos (Ey / E) = 171.74° Cosg = Ez / E Þ b = Arcos (Ez / E) = 90° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 3.22 + - Un dipolo se localiza en eje Y como en la figura a) Si el punto esta alejado del dipolo r >> a ¿cuál es el potencial en el punto? b) ¿cuál es la componente del campo eléctrico en Ex, Ey, Eq, Er? Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ea = - (¶V / ¶a) a Ea = - Kp/r2 ¶(Cosa / ¶a) a Ea = KP/r2Sena a Er + - r+ r- r a Ex = - (¶ V/ ¶ x) i Ex = - {KP ¶(x / (x2+y2)3/2) / ¶ x} i Ex = - KP(2x2- y2) / (x2+y2)5/2 i ^ Ea = - (¶V / ¶a) a Ea = - Kp/r2 ¶(Cosa / ¶a) a Ea = KP/r2Sena a ^ Ey = - (¶V/¶x) j Ey = - KPx¶(1/(x2+y2)3/2) /¶x j Ey = 3KPxy / (x2+y2)5/2 j ^ Er = - (¶ V/ ¶ r) r Er = -K P Cosa ¶(1/r2) / ¶ r r Er =2 K P Cosa / r3 r ^ V = K (q/r+ - q/r-) V = Kq (r- - r+) / (r-*r+) r+ = r - a Cosa ; r- = r + a Cosa r- - r+ = (r + a Cosa) - (r - a Cosa) r- - r+ = 2 a Cosa r-*r+ @ r2 V = K(q2 a) Cosa / r2 V = K (P) Cosa / r2 V = K (P) Cosa / r2 Como; r = (x2+y2)½ y Cosa = x /r = x / (x2+y2)½ entonces V = K P x / (x2+y2)3/2 a -a Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.13 Auto-evaluación Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.1 ¿Qué cambio de energía potencial experimenta una carga de +50 mC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de +150 voltios? R) DU = 4.6875*1016 eV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un protón que tiene una velocidad inicial de 12103 m/s? Ejercicio 3.2 R) Va – Vb = 75.15 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.3 ¿Cuánto trabajo se realiza al mover el numero de avogadro de electrones al moverse en línea recta a partir de un punto inicial (a) donde el potencial es 20 V hasta un punto final (b) donde el potencial es –20 V? R) W = -3.8528*106 Julios Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un positrón tiene la carga de un protón y masa de un electrón Un positrón tiene la carga de un protón y masa de un electrón. Suponga que un positrón se mueve 6 cm en la dirección de un campo eléctrico uniforme de 6000 V/m. a) ¿cuánta energía gana o pierde el positrón?. b) ¿cuánta energía cinética? Ejercicio 3.4 R) a) W = – 5.76*10-17 J y b) W = +5.76*10-17 J Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.5 + - 5 mC 2 mC -3 mC 10 cm x Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que el valor de la energía potencial eléctrica del sistema sea cero. R) x = 0.15 m Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Una gota esférica con una carga de 32 pF tiene un potencial de 512 V en su superficie. Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esférica ¿cuál es el potencial de la nueva gota así formada? Ejercicio 3.6 R) V2 = 812.75 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

m q Ejercicio 3.7 Un bloque de masa m y carga q positiva se encuentra en una superficie horizontal sin fricción y esta unido a un resorte de constante k. De esa manera el sistema se coloca en un campo eléctrico uniforme E horizontal. a) ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?. b) Si m = 4 Kg. q = 50.0 mC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?. R) a) x = 2q E/k y b) x = 0.5 m Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.8 Tres cargas iguales de +2 mC se encuentran formando un triangulo equilátero de lado a de 2 cm. Si se abastece de energía a razón de 600 Watios, ¿cuántas horas se necesitarían para mover a una de las cargas al punto medio de la línea que une las otras dos cargas? R) 6000 s = 1.67 h Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.9 Calcule la energía requerida para agrupar cuatro cargas negativas formando un rectángulo de lado 2a horizontal y a vertical. Si Q es –5 mC y a es 5 cm. ¿cuánto vale la energía para mantener las cargas agrupadas de esa manera?. - 2a a R) U = 17.52 J Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

A una distancia r de una carga puntual Q, el potencial eléctrico es de 500 V y la magnitud del campo eléctrico es 250 V/m. ¿Cuál es el valor del radio y de la carga? Ejercicio 3.10 R) r = 2 m y Q = 111.11 C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 3.11 Una partícula con carga de 4 mC y masa de 0.1 gr se mantiene en un posición fija, una segunda carga de 2 mC se encuentra inicialmente en reposo a 1 cm. Luego se suelta la segunda carga y es repelida por la primera. ¿Determine la velocidad en el instante que se encuentra a 1.5 cm? R) vb = 219.09 m/s Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

R) va = 5.97*108 m/s y Ek = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV Una carga q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga negativa parte del reposo un electrón ¿cuál es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga positiva? ¿Cuál es su energía cinética en electrón-voltio? Ejercicio 3.12 R) va = 5.97*108 m/s y Ek = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En cierta región del espacio el potencial eléctrico es V = 10x + 5x2y3z - 2xyz2. Encuentre las expresiones de las componentes del campo eléctrico sobre esta región. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto p de coordenadas (1,2.-1). Ejercicio 3.13 ^ R) E (1,2,-1); = (74 i + 62 j - 48 k ) N/C Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Dos placas planas y paralelas tienen cargas iguales pero de diferente signo, una diferencia de potencial de 500 V y están separadas 2.0 cm. Un electrón es proyectado de una placa hacia la segunda ¿cuál es la velocidad inicial del electrón si llega al reposo justo en la superficie de la segunda placa?. Ejercicio 3.14 R) vo = 13.26*106 m/s Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Una lamina infinita de carga tiene una densidad superficial de carga s = 20 mC/m2 ¿cuál es la separación entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren de 40 V? Ejercicio 3.15 R) V = 17.68 cm Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

¿cuántos electrones hay que extraerse de un conductor esférico de radio de 10 cm inicialmente descargado para producir un potencial de 10 KV? Ejercicio 3.16 R) N = 6.25*1011 electrones. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Dos anillos coaxiales de radio R están separados una distancia 2R Dos anillos coaxiales de radio R están separados una distancia 2R. a) ¿Calcule el potencial eléctrico en un punto sobre el eje común a una distancia R entre los dos anillo, suponiendo que cada anillo tiene una carga distribuida uniformemente? b) Si la carga distribuida uniformemente es de 10 nC y el radio de 10 cm ¿Calcule el potencial eléctrico en un punto sobre el eje común a una distancia R entre los dos anillo?. Ejercicio 3.17 R) a) Vt = 2½ KQ / r b) Vt = 1272.79 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

ra rb Ejercicio 3.18 Se tiene una arandela de radio interior ra, radio exterior rb y densidad superficial uniforme de carga s. Halle el potencial eléctrico a una distancia x de su eje central y a partir del potencial encuentre el campo eléctrico en ese punto. R) a) V = Ksp 2 {(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½} b) E = (s/(2e0)){x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½} Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3.16 Solucionarlo Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.1 Vb Va Va > Vb ; Va – Vb = DV E DU = q * DV, entonces, DU = 7500 mJ = 7500*10-6 J 1 eV = un electrón-voltio = 1.6*10-19 julios DU = 7500*10-6 J *( 1 eV / 1.6*10-19 J) = 4.6875*1016 eV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.2 Vb < Va Vb < Va Va Va Vb Vb E E + + – DU = DK \ – (QVb – QVa) = ½mp vb2 – ½mp va 2 – Q (Vb – Va) = ½mp vb2 Va – Vb = ½mp vb2/ Q Va – Vb = (1.2024*10-17) J / 1.6*10-19 C) = 75.15 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.3 Vb < Va E 20 V -20 V - Vb < Va E 20 V -20 V - Al mover una carga positiva en la dirección del campo eléctrico se hace un trabajo positivo, al mover una carga negativa en la dirección del campo eléctrico se realiza un trabajo negativo. W = – DU = – QDV = – Q (Vb – Va) W = –(6.02*1023 átomos/mol*–1.6*10-19 C/átomo)(–20– 20)V W = -3.8528*106 Julios Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.4 E Va Vb Vb < Va + E Va Vb Vb < Va + a) W = – DU = – QDV = – Q (Vb – Va) W = – Q (Va – Vb) = – Q (E x) W = – (1.6*10-19 C) * (6000 V/m * 0.06 m) = – 5.76*10-17 J b) W = DK = +5.76*10-17 J Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.5 + - 5 mC 2 mC -3 mC 10 cm x U = KQ1Q2 / r12 – KQ1Q3 / r13 – KQ2 Q3/ r32 = 0 Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.10+x) m – Q3 Q2/ x = 0 10 x2 – 1.1 x – 0.06 = 0 x = 0.15 m U = K (Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.25) m – Q3 Q2/ 0.15) = 0 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.6 1) V1 = KQ / r1 2) V2 = K2Q / r2 Dividiendo 1 en 2, V1/ V2 = r2 / 2r1 3) Volumen1 = 4/3 p r13 4) Volumen2 = 4/3 p r23 Dividiendo 3 en 4, entonces, Volumen1 / Volumen2 = r13/ r2 3 pero; 2 Volumen1 = Volumen2, entonces, Volumen1/ 2Volumen1 = r13/ r23 1 / 2 = r13/ r23; 1 / 2 = r13/ r23 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

r23= 2 r13\ r2 = 21/3 r1 V1/ V2 = 21/3 r1 / 2r1 V1/ V2 = 21/3 / 2 = 1 / 22/3 V2 = V1 * 22/3 = 812.75 V r1 = KQ / V1 = 5.625*10-4 m : 2) r2 = K2Q / V2 = 7.087*10-4 m r2 = 21/3 r1 = 7.087*10-4 m Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ei = Ef Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb + Ueb + Ub m q Ei = Ka + Uga + Uea + Ua S 3.7 m q E E m q Ef = Kb + Ugb+ Ueb + Ub Ei = Ef Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb + Ueb + Ub Ua = Ueb + Ub qVa = ½kx2 + qVb q (Va – Vb) = ½kx2 q (Ex) = ½kx2 q E = ½kx \2q E/k = x x = 0.5 m Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

U = KQ2 /a + KQ2/a + KQ2/a U = 3 KQ2/ a = 5.4 MJ + S 3.8 + U = KQ2 /a + KQ2/a + KQ2/a U = 3 KQ2/ a = 5.4 MJ + U = KQ2/ (a/2) + KQ2 / a + KQ2/ (a/2) U = 5KQ2/ a = 9 MJ + DU = 5KQ2 / a - 3KQ2/ a = 2KQ2/ a = 3.6 MJ t = DU / P = 3.6*106 J / (600 J/s) = 6000 s = 1.67 h Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.9 - 2a a U = k Q2 {1/2a + 1/(a Ö5) + 1/a + 1/a + 1/(a Ö5) + 1/2a} U = k Q2/a {1 + 2 / Ö5 + 2} U = KQ2/a {3 + 2 / Ö5} = 17.52 J Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.10 1) V = KQ / r 2) E = KQ / r2 Dividiendo 1 en 2 r = V / E = 500 V / 250 V/m = 2 m Q = r V / K = 111.11 nC Q = r2 E / K = 111.11 nC Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ei = Ef \ 7.2 J = 4.8 J + 5*10-5 Kg vb2, entonces vb = 219.09 m/s Q2 + rb=1.5 cm Ei = Ef \ 7.2 J = 4.8 J + 5*10-5 Kg vb2, entonces vb = 219.09 m/s Q2 + Q1 rb=1.5 cm Ef = Uf + Kf = Q2 Vb + Kf = Q2 (KQ1 /rb) + ½ m vb2 Ef = 4.8 J + 5*10-5 Kg vb2 Q2 + Q1 ra=1.0 cm Ei = Ua + Ka = Q2 Va + Ka = Q2 (KQ1 /ra) + ½ m va2 Ei = 7.2 J + 0 Q2 Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V a - q1 + q2 b r S 3.12 r1a r2a Va = K (-q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 V r1b r2b Vb = K (-q1 / r1b + q2 / r2b) = -2.25*105 V Ea = Eb ; Ub + Kb = Ua + Ka Þ qeVb + 0 = ½meva2+ qe Va va = {2qe(Vb - Va) / me}½ = 5.97*108 m/s Ek = ½mev2 = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.13 E = - ¶{10x + 5(x2)(y3)z - 2xy(z2)}/ ¶s Ex = - ¶V / ¶x = -{10 + 10x(y3)z - 2y(z2)} Ey = - ¶V / ¶y = -{15(x2)(y2)z - 2x(z2) } Ez = - ¶V / ¶z = -{5(x2)(y3) - 4xyz} ^ E (1,2,-1); = (74 i + 62 j - 48 k ) N/C La magnitud del campo es : E = (Ex + Ey + Ez )½ = 107.81 N/C La dirección del campo es: Cosa = Ex / E Þ a = Arcos (Ex / E) = 46.55° Cosb = Ey / E Þ b = Arcos (Ey / E) = 54.89° Cosc = Ez / E Þ c = Arcos (Ez / E) = 116.43° Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.14 - + - - vf2 = vo2+ 2(EQe/me) * d = 0 vo2= -2 (V/d)(Qe/me) * d vo = Ö(-2 (VQe/me) vo =Ö(-2*(500 V)(-1.6*10-19 C) / 9.1*10-31 Kg) vo = 13.26*106 m/s - Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

V = E d = (s /eo) d, entonces, d = V eo / s = 17.68 cm Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.16 r V = KQ / r, entonces, Qt = rV/K = 100 nC Qt = Nqe \ N = Qt /Qe = 6.25*1011 electrones. Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 3.17 R El potencial eléctrico de un anillo a una distancia x es; V = K Q / (x2+ R2)½ El potencial eléctrico neto a una distancia x = R; a) Vt = 2 (KQ / (2R2)½ ) = 2(K Q / (2½ R)) = 2½ KQ / r b) Vt = 1272.79 V Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

a) dV = KdQ / r = K (sdA) / (z2+x2)½ dV = Ks (2p z dz) / (z2+x2)½ ra rb a) dV = KdQ / r = K (sdA) / (z2+x2)½ dV = Ks (2p z dz) / (z2+x2)½ V = Ksp ò (2zdz)/ (z2+x2)½ z varia entre ra y rb V = Ksp ò du/ u½ V = Ksp 2 u½ V = Ksp 2 {(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½} S 3.18 z r x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

ra rb b) E = -¶V/¶x E = - Ksp 2 ¶{(rb2+x2)½ - (ra2+x2)½ }/¶x E = - Ksp 2 {x/(rb2+x2)½ - x/(ra2+x2)½} E = Ksp 2 {x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½} E = (s/(2e0)){x/(ra2+x2)½ - x/(rb2+x2)½} z r x Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA