Grafos

Concepto: Un Grafo no es más que un conjunto de nodos o vértices que se encuentran relacionados con unas aristas. Además, los vértices tienen un valor y en ocasiones las aristas también y se le conoce como el costo. Para identificar un grafo se suele utilizar la notación : Un grafo G= (V, E) a la vez consiste en un conjunto V de nodos (vértices) y un conjunto E de aristas (arcos). Ejemplo : Tenemos G = (V, A). La Figura 1.1 muestra un grafo formado por los vértices V = {1,4,5,7,9} y el conjunto de arcos A = {(1,4), (4,1), (5,1), (1, 5), (7,9), (9,7), (7,5), (5,7), (4,9), (9,4)}. Grafo no dirigido

Grafo Dirigido(Dígrafo) El grafo es dirigido si los pares de nodos que forman las aristas son ordenados. Se representa con una flecha que indica la dirección de la relación, u w  Consta de los vértices V = {1, 2, 3, 4} y de los arcos A = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2)} forma el grafo dirigido G = {V, A}.

Grafo no dirigido El grafo es no dirigido si las aristas están formadas por pares de nodos no ordenados (no apuntados), se representa con un segmento uniendo los nodos u-w. G = (V, A) La Figura 1.1 muestra un grafo formado por los vértices V = {1, 2, 3, 4} y el conjunto de arcos A = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3,2 )(4, 2)}.

PESO Dato que se utiliza para determinar el peso de recorrer el camino, distancia que hay de un vértice a otro. Donde se dice que es un grafo valorado. Ejemplo

Camino: Secuencia de vértices dentro de un grafo tal que exista una arista entre cada vértice y el siguiente. Se dice que dos vértices están conectados si existe un camino que vaya de uno al otro, de lo contrario estarán desconectados.  Por lo tanto, se decimos que la longitud de un camino es el número de arcos del camino. En un grafo valorado, la longitud del camino con pesos es la suma de los pesos de los arcos en el camino.

MATRIZ ADYACENTE Y LISTA DE ADYACENCIA  Los grafos se implementan de dos formas: matriz de adyacencia y listas de adyacencia.  La matriz de adyacencia representa los arcos, relaciones entre un par de nodos de un grafo. Es una matriz de unos y ceros, que indican si dos vértices son adyacentes o no. En un grafo valorado, cada elemento representa el peso de la arista, y por ello se la denomina matriz de pesos.

LISTA DE ADYACENCIA  Las listas de adyacencia son una estructura múltienlazada formada por una tabla directorio en la que cada elemento representa un vértice del grafo.  No es eficiente cuando el grafo es poco denso (disperso), es decir, tiene pocos arcos, y por tanto la matriz de adyacencia tiene muchos ceros.  Si el grafo es no dirigido, cada entrada es un conjunto o multiconjunto de dos vértices conteniendo los dos extremos de la arista correspondiente.  Si el grafo es dirigido, cada entrada es una tupla(es una secuencia ordenada de objetos) de dos nodos, uno denotando el nodofuente y el otro denotando el nodo destino del arco correspondiente.

LISTA DE ADYACENCIA cada lista representa los arcos con el vértice origen del nodo de la lista directorio.  NO DIRIGIDO  DIRIGIDO

RECORRIDO DE UN GRAFO  Recorrer una estructura consiste en visitar (procesar) cada uno de los nodos a partir de uno dado. Se puede recorrer una lista, o un árbol en, por ejemplo, preorden partiendo del nodo raíz. De igual forma, recorrer un grafo consiste en visitar todos los vértices alcanzables a partir de uno dado. Muchos de los problemas que se plantean con los grafos exigen examinar las aristas o arcos de que consta y procesar los vértices.  Existen dos formas de recorrer un grafo: recorrido en profundidad y recorrido en anchura.

RECORRIDO EN PROFUNDIDAD  El recorrido empieza por un vértice v del grafo, se marca como visitado y se mete en la pila. Después se recorre en profundidad cada vértice adyacente a v no visitado; hasta que no haya más vértices adyacentes no visitados.

RECORRIDO EN ANCHURA  El recorrido en anchura visita los vértices por niveles, al igual que el recorrido por anchura de un árbol y permite encontrar el número mínimo de aristas para alcanzar un vértice cualquiera desde un vértice de partida.  El orden en que se visitan los nodos en el recorrido en anchura se expresa de manera más concisa en los siguientes pasos: 1. Marcar el vértice de partida v. 2. Meter en la cola el vértice de partida v. 3. Repetir los pasos 4 y 5 hasta que se cumpla la condición cola vacía. 4. Quitar el nodo frente de la cola, w, visitar w. 5. Meter en la cola todos los vértices adyacentes a w que no estén marcados y, a continuación, marcar esos vértices. 6. Fin del recorrido.

CONEXIONES DE UN GRAFO  COMPONENTES CONEXAS DE UN GRAFO Son subconjuntos de vértices que mutuamente están conectados; es decir, las componentes conexas del mismo  COMPONENTES FUERTEMENTE CONEXAS DE UN GRAFO: Un grafo dirigido fuertemente conexo es aquel en el cual existe un camino entre cualquier par de vértices del grafo.

Del grafo de requisitos de la se obtienen estas ordenaciones topológicas: E11 - T12 - M21 - C22 - R23 - S31 - S32 - T41 T12 - E11 - R23 - C22 - M21 - S31 - S32 - T41 ORDENACIÓN TOPOLÓGICA -Es un sistema de ordenamiento de un grafo acíclico(no tiene ciclos). Consiste en organizar de una forma lineal\lista(ascendente\descendente), una serie de vértices en desorden, primero se debe empezar de un “ vértice Padre” (sin predecesores), y después visitar todos sus vecinos, después de que haya visitado a todos vecinos pasa a analizar otro vértice, Identifica sus vecinos y así recursivamente, hasta que haya visitado a todo los vértices

Es un algoritmo de análisis sobre grafos para encontrar el camino mínimo en grafos dirigidos ponderados. El algoritmo encuentra el camino entre todos los pares de vértices en una única ejecución. El algoritmo de Floyd- Warshall es un ejemplo de programación dinámica, teniendo en cuenta que este tipo de programación tiene como fin encontrar una solución optima a dicho problema recursivamente. ALGORITMO DE FLOYD

AC E D B ABCDE A048∞∞ B4012∞ C8∞042 D∞2407 E∞∞270 ABCDE AABCDE BABCDE CABCDE DABCDE EABCDE

ABCDE A04567 B40123 C86042 D62305 E ABCDE A_BBBC BA_CDC CAD_DE DBBB_C ECDCC_

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