Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP) Contenidos: Definición del problema de satisfacción de restricciones (CSP). Áreas de aplicación. Especificación de un problema CSP: variables, dominios y restricciones. Tipología de restricciones (discretas y continuas, fuertes y débiles, restricciones lineales, disyuntivas, etc.).

“Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea” CSP “Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea” Rina Dechter, In 'Constraint Processing' Morgan Kaufmann Pub. (2003)

El Problema de las 8 Reinas… EJEMPLOS 1 s e n d + m o r e m o n e y Variables: s,e,n,d,m,o,r,y Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y{0,…,9} Restricciones 103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y Objetivos Consistencia Soluciones El Problema de las 8 Reinas… Coloreado de Mapas Variables: x,y,z,w Dominios: x,y,z,w :{r,v,a} Restricciones: binarias x  y, yz, z  w, ... x y z w Hoy en día muchos problemas de la vida real se pueden modelar mediante problemas de satisfacción de restricciones. Los CSPs representan un metodología de resolución de problemas que constan de un conjunto de variables, cada una de ellas acotada en un dominio y un conjunto de restricciones que la solución debe satisfacer. Por ejemplo un problema de cripto-aritmética, donde las variables son (sendmory) cada una de ellas puede tomar valores entre 0 y 9 y se tiene que satisfacer que todas ellas toman valores distintos y que se cumpla esta suma (send+more=money). Los CSPs se pueden aplicar en muchas áreas tales como: EL DISEÑO EN LA INGENIERIA LA PLANIFICACION, SCHEDULING EN DIAGNOSIS ETC…

EJEMPLOS 2 Donde nació y vive cada uno? Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació. Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra. Por ejemplo aquí presentamos un problema real de diseño de plantas en los edificios, donde las variables son las dimensiones de las vigas (longitud, altura, etc), el canto de forjado (grosor del suelo), etc, algunas de ellas acotadas en dominios discretos y otras en dominios continuos, sujetas a una serie de restricciones como pueden ser vibraciones, refuerzos, conexiones, etc. En este tipo de problemas, el objetivo, además de la consistencia del problema, pueden ser, la generación de un conjunto de soluciones, incluso las soluciones extremas y los intervalos de tolerancia, donde pueden oscilar las variables. Donde nació y vive cada uno?

EJEMPLOS 3 "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos). Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa“ Cuestiones: ¿Esta información es consistente? ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro? ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido de casa?, etc.

EJEMPLOS 4 Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10] Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc. Consistencia Intervalos de tolerancia Soluciones etc Objetivos

CSP Problemas de Satisfacción de Restricciones CSP Metodología de Resolución de problemas INTELIGENCIA ARTIFICIAL

Definición de CSP Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP) se puede representar como: Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn} Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> ) para las variables: xiÎDi Un Conjunto de Restricciones entre las variables: C ={c1, c2, ..., cm}

1) 2) Modelización CSP Variables MODELACIÓN Dominios CSP Restricciones (EXPRESIVIDAD) 1) RESOLUCIÓN CSP Técnicas Resolución (EFICICIENCIA) 2)

Modelización 1 Especificación CSP Variables: s, e, n, d, m, o, r, y Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9} Restricciones s e n d + m o r e m o n e y Especificación CSP Variables: s, e, n, d, m, o, r, y Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} Restricciones: Todas Diferentes, 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y

Modelización 2 Variables: s, e, n, d, m, o, r, y Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} Restricciones: se, sn, sd, sm, so, sr, sy, en, ed, em,….. d+e = y+10c1 c1+n+r = e+10c2 c2+e+o = n+10c3 c3+s+m = 10m+o s e n d + m o r e m o n e y

Resolución MODELACIÓN CSP RESOLUCIÓN CSP s e n d + m o r e m o n e y

Objetivos CSP es NP-completo, NP-duro Consistencia del problema (existe solución). Obtener una o todas las soluciones del problema. Obtener los dominios mínimos. La solución que optimiza una función objetivo o multi-objetivo. CSP es NP-completo, NP-duro

Objetivos Objetivo de un CSP: Algoritmos para CSP: Tiene solución? Þ Consistencia. Obtener una solución. Obtener todas las soluciones. Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo (función de evaluación). Algoritmos para CSP: Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas. Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del problema.

Conceptos básicos Dado un CSP (X, Di, C), Una instanciación (o asignación) de las variables X es una asignación de valores a las variables en sus dominios: x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn / viÎD Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema. Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación xi=v. Un CSP es consistente sii tiene al menos una solución.

Conceptos básicos Variables Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son discretas, es decir, toman valores en dominios discretos. Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos. Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas. Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente. Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones tienen más de dos variables.

Conceptos básicos Restricciones Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos. Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos. Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables. N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2). Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible. Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible. Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia. Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.

N-reinas Definición: posicionar n reinas en un tablero de ajedrez n x n, de forma que no se ataquen. Formulación: 1 reina por fila • variables: reinas, Xi reina en la fila i-ésima • dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n} • restricciones: no colocar dos reinas en – la misma columna – la misma diagonal Características: • CSP binario, discreto y finito

Coloreado de Grafos Definición: Dado un grafo, • n nodos • m colores, asignar un color a cada nodo de forma que no haya dos nodos adyacentes con el mismo color. Formulación: • variables: nodos • dominios: colores posibles • restricciones:  nodos adyacentes Características: • CSP binario, discreto y finito

Crucigrama Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir un crucigrama compatible. Formulación: • variables: grupo de casillas para una palabra (slots) • dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada • restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras Características: • CSP binario, discreto y finito (dominios grandes)

Restricciones Temporales Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal consistente. Formulación: • variables: sucesos • dominios: intervalo temporal para cada suceso • restricciones: distancia temporal permitida entre sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc. Características: • CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos). Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa"

Problema de diseño Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos posibles. Formulación: • variables: partes y elementos del diseño • dominios: valores permitidos para cada parte y elemento • restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer. Características: • CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas.

CSPs binarios & n-arios Binario Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, donde: Nodos: Variables Arcos: Relaciones binarias entre las variables. X2 X4 X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4 R45 x5 x2 R25 x5 X1 X5 X3

CSPs binarios & n-arios No Binario Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde: Nodos: Variables Arcos: Relaciones binarias entre las variables. X1 X2 X3 X5 X4 X7 X6 C123 C24567

"xiÎCSP, $viÎD / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: DÇci0¹{Æ}) Consistencia: Niveles 1-consistencia Consistencia de nodo (1-consistencia) Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo: 10xi 15, D(Xi):{0, 10} Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes: "xiÎCSP, $viÎD / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: DÇci0¹{Æ})

"cij ÍCSP, "viÎdi $vjÎdj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj Consistencia: Niveles 2-consistencia Consistencia de arco (2-consistencia): Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface. Por ejemplo el arco: Cij xi xj £ [3,6] [8,10] es consistente, pero no lo sería si cij en vez de £ fuese ³ Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes. "cij ÍCSP, "viÎdi $vjÎdj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj

Backtracking: ejemplo

Backtracking: ejemplo

Backtracking: ejemplo

Backtracking: ejemplo