H.K. Versteeg and W. Malalasekera Intro to CFD II An introduction to computational fluid dynamics; the finite volume method H.K. Versteeg and W. Malalasekera

Difusión div(Г grad(φ))+Sφ=0 La divergencia del gradiente  la viscosidad “difunde” cantidad de movimiento. div(Г grad(φ))+Sφ=0

Difusión en 1D En 1D la difusión es Se puede representar un volumen de control

Discretización 1D Se discretiza alrededor del pto. P

El truco en volúmenes finitos Se usa el teorema de la divergencia

Discretización Si el coeff. de difusión no es cte. -> interp Y los términos se discretizan como

Discretización Términos fuente pueden depender de (x,y,z) Sustituyendo Se puede expresar como

Discretización Identificando coeficientes Se tiene

Ejemplo Conducción de calor en una barra de área A La ec. a resolver es k=1000W/m/K A=10E-03m2

Ejemplo Discretizamos en 5 elementos Cada elemento (no frontera) tiene

Ejemplo De modo que Donde

Ejemplo Los nodos de los extremos se tratan diferente: Rearreglando

Ejemplo Para el nodo 1 De igual manera

Ejemplo

Ejemplo Sistema de ecuaciones Es decir: 

Ejemplo Arreglando el sistema queda

Ejemplo Resolviendo

Ejemplo 2 (fuente) Ahora un ejemplo con fuente de calor: L=2cm; k=0.5W/m/K; q=1000kW/m3; TA=100oC; TB=200oC;

Ejemplo 2 Malla y discretización Se trata la fuente con un promedio 

Ejemplo 2 La discretización queda (nodos 2,3 y 4) Rearreglando queda

Ejemplo 2 Para los nodos 1 (fronteras) Usando el mismo esquema ( )

Ejemplo 2 Para el nodo 5 Procediendo de forma similar se llega a

Ejemplo 2 El sistema de ecuaciones queda

Y en 3D? Es lo mismo en las tres direcciones: Con más vecinos

En 3D… Misma idea Discretizando

En 3D Mismo manejo para los coeficientes Mismas consideraciones para las condiciones de frontera (que en 1D y 2D)

En resumen Para problemas de difusión en general:

En resumen En la frontera (boundary) se hace cero el coeficiente de la frontera B (y tamaño ) para introducir las condiciones de frontera fijo: fijo:

Convección-difusión Un término más en términos de un volumen de control

Caso 1D Convección-difusión 1D Y continuidad Dominio numérico:

Caso 1D Discretizando, queda Continuidad Definiendo el flujo convectivo y la conductancia (difusiva) Ojo: estamos suponiendo que conocemos u por el momento

Caso 1D Los valores en las celdas quedan ( ) Empleando de nuevo diferencias centradas: Ojo: continuidad queda

Caso 1D Interpolando los valores para las caras Queda

Caso 1D Rearreglando:

Caso 1D Los coeficientes quedan (esquema central differencing) donde Igual que en difusión, agregando los flujos. Hablar sobre precisión centr. Diff.

Ejemplo 1D Flujo de calor 1D. Caso 1: u=0.1 m/s. Discretizando: Ojo: la sol. exacta es

Ejemplo Caso 1 Para el nodo 1 queda Para el nodo 5 queda Considerando difusión y advección como

Ejemplo Caso 1 Las ecuaciones en el mismo formato Con coeficientes Los demás:

Ejemplo Caso 1 Valores: 

Ejemplo Caso 1 Comparación con sol. analítica

Ejemplo Caso 2 u=2.5 m/s

Ejemplo Caso 3 u=2.5 m/s con 20 nodos

Propiedades de la discretización Conservatividad Considérese la discretización central difference:

Propiedades Hágase un balance global de flujos Es consistente por construcción

Propiedades Ejemplo de inconsistencias en flujos (esquema de 2º orden no muy bien pensado) Diferencias en las Ф’s

Propiedades Cond. suficiente para convergencia (Scarborough, J.B. 1958) Diagonal dominante (ej. ver caso 2). Acotada: los coeficientes deben ser del mismo signo (compare caso 2 con demás ejs.)

Propiedades Transportivenes (=transportabilidad?): debe tomar en cuenta la dirección del flujo.

Propiedades Central Differencing Conservativo OK Acotado: Continuidad   cumple criterio de Scarborough Suponiendo flujos >0, coeffs. positivos  Transportividad: no tiene (why?)

Precisión Central Differences: 2º orden

Upwind differencing Usando diferencias centradas y sustituyendo, queda (u<0) 

Upwind differencing Cuando u es negativa Queda En forma general Donde los coeffs son

Ejemplo Mismo ejemplo, caso 2 (Pe=5) Nodo 1 Nodo 5 Los coefs

Ejemplo Mejor, no es así?

Upwind differencing Conservativo OK Acotado OK Transportiveness OK Precisión de orden uno False diffusion

False diffusion

Hybrid Combinar central y upwind differences de modo que upwind entre cuando Pe>=2 Si refinamos la malla, Pe se hace pequeño y podemos tener precisión adicional de orden dos.

QUICK orden 2 Discretización consistente de orden 2 

QUICK fronteras En las fronteras se suele hacer una imagen extrapolada del último punto

QUICK Conservativo OK Error orden 3 Transporte OK Condicionalmente estable: para y Tridiagonal methods NO + costo cómputo Hay manera de rearreglar los coefs. para garantizar estabilidad

¿Y si no conozco la velocidad? Acoplamiento entre presión y velocidad Y si sí conozco la presión?

Staggered grid Vel. y presión en el mismo punto no tiene sentido. Backward staggered grid

Discretización En la nueva notación Equivalentemente

Flujos Se promedian las densidades

Difusividades En las caras En los puntos de presión

SIMPLE Algoritmo recursivo para resolver las ecuaciones acopladas

SIMPLE, SIMPLEC, ETC No-linealidades y acoplamiento  iterativos Staggered grid: mejor adaptación a las variables y evita problemas con oscilaciones alta freq. Método basado en mejoras sucesivas hasta que se cumplen las ecuaciones acopladas. Un coeficiente llamado under-relaxation tiene que ser introducido en el cálculo de las correcciones para asegurar estabilidad.

Flujos No-estacionarios Lo mismo pero integrado en el tiempo Integrando el volumen de control:

Y el tiempo? Veamos en 1D cómo se hace Se puede escribir

No-estacionario 1D El lado izquierdo no es difícil El lado derecho queda

No estacionario 1D El término desconocido se puede tratar como una especie de promedio

No estacionario 1D Se puede arreglar de modo estándar como antes se ha hecho donde

Esquema explícito Aquí Queda del lado izq. la incógnita y del lado derecho todo en función de tiempo anterior Para que haya estabilidad se tiene una condición Ememplo 8.1