SISTEMAS DE NUMERACIÓN, SENTIDO NÚMERICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO 1ª Jornada SISTEMAS DE NUMERACIÓN, SENTIDO NÚMERICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá Landeta Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses. Prof. Fortino Del Carmen Cervantes Enero 2011

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Egipcio Babilonio Maya Romano Multiplicación y división

La matemática babilónica 1800-1900  a. C

Actividad1: ¿Podrías descifrar la siguiente tableta matemática?

Actividad1: Desciframiento y análisis de una tableta numérica babilónica. Observa las figuras. ¿Existe algún valor numérico asociado a cada figura? ¿Qué patrón de numeración sigue la tabla? ¿Qué competencias se desarrollan?

Sabías que …. Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900  a. C. También se piensa que es el primer sistema de numeración posicional Los babilonios usaban “cuñas” para representar los números

Su sistema numérico era de base 60 Convirtiendo a su equivalente en decimal: 1x603= 216000 57x602= 205200 46x601= 2760 40+600= 40 424000 +

Sabías que …. Se cree que adoptaron el número 60 como base debido a que el 60, es un número compuesto de muchos factores fue elegido como base debido a su factorización 2×2×3×5, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. y esto hace que trabajar con fracciones sea mucho más sencillo. De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6

Calcularon la raíz de 2

Conocían el “Teorema de Pitágoras” mil años antes que el lo redescubriera Tablilla Plimpton 322 Interpretación decimal

La matemática egipcia 3100 a. C. – 332 a. C. Consultado en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto

Los matemáticos egipcios usaron símbolos para representar números

Los símbolos se podían repetir para representar números más grandes Cálculos Matemáticos

Fue un sistema decimal por yuxtaposición

Tableta con números

El sistema egipcio no era posicional

Sabías que …. Las operaciones de multiplicación y división de los egipcios están basadas en el hecho de que cualquier número natural se puede representar por medio de una suma de potencias de 2.

“Cualquier número natural se puede expresar por medio de una suma de potencias de 2” 1 20 2 21 3 21+20 2+1 4 22 5 22+20 4+1 6 22+21 4+2 7 22+21+20 4+2+1 8 23 9 23+20 8+1 10 23+21 8+2 11 23+21+20 8+2+1 12 23+22 8+4 13 23+22+20 8+4+1 14 23+22+21 8+4+2 15 23+22+21+20 8+4+2+1

Tenían un método para multiplicar 39 × 26 26(20) 26×1 1 52 26(21) 26×2 2 104 26(22) 26×4 4 208 26(23) 26×8 416 26(24) 26×16 832 26(25) 26×32 32 1014 39 × 26 = 1014

Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto Ejemplo: 15 x 85= 1275 85  1 170 2 340 4 680 8 85 170 340 680 1275 + 15

Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto Otro ejemplo: 44 x 16= 16  1 32 2 64 4 128 8 256 16 512 32 64 128 512 704 + 44

Tenían un método para dividir 1014 / 39 39(20) 39×1 1 78 39(21) 39×2 2 156 39(22) 39×4 4 312 39(23) 39×8 8 624 39(24) 39×16 16 26 Esto es: 39x2 + 39x8 + 39x16 = 39 x (2 + 8 + 16) = 39 x 26 =1014 De donde: 1014 ÷ 39 = 26

Actividad3: División en el Antiguo Egipto. Ejemplo 2 133 ÷ 19 19(1) 1 38 19(2) 2 76 19(4) 4 7 + + Esto es: 19x1 + 19x2 + 19x4 = 19 x (1 +2 + 4) = 19 x 7 =133 De donde: 133 ÷ 19 = 7

Utilizaban algunas fracciones

Sabemos sobre su matemática por el Papiro de Rhind

Calcularon el valor de π con una buena aproximación El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro.

Calcularon el valor de π con una buena aproximación Este cálculo se encuentra descrito en el papiro de Rhind, donde el escriba egipcio Ahmes, afirma que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro. Se trata de un círculo de 9 khet de diámetro. Ahmes lo resuelve así: Resta al diámetro1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplica 8 veces 8, que es 64, que es el área del círculo. Este método podemos compararlo con nuestras fórmulas actuales de la siguiente manera: De esta ecuación se puede deducir por comparación con la conocida formula del área de un círculo (S=πr2) que π se puede aproximar a un valor racional:

La matemática maya 1000 a. C. – 1687 d. C.

Los matemáticos mayas usaron punto, rayas y un símbolo para el cero

Inventaron un símbolo para representar el cero

Con solo puntos y rayas representaban grandes números

Podían representar grandes cantidades

Actividad4: Aritmética Maya (Aspectos a considerar) Solo utilizaban 3 símbolos (un punto, una barra y una concha para el cero). Utilizaban varias posiciones para expandir y expresar cantidades grandes. Los valores se colocaban verticalmente. Es un sistema base 20. (20)4 (20)3 (20)2 (20)1 (20)0 = 3 x 160,000 = 480,000 = 10 x 8,000 = 80,000 = 6 x 400 = 2,400 + = 13 x 20 = 260 = 17 x 1 = 17 562,677

— Su sistema era posicional De base 20 ••• •••• — • • ← Lugar de los “jbok`s” 1 jbok = 202 = 400 De base 20 ← Lugar de los “vinik`s” 1 vink = 201 = 20 ← Lugar de las unidades 1 unidad = 200 ¿Qué número representa la imagen de arriba? R= 1387

+ ― — Su sistema era posicional ¿Cuánto es la suma? R= 4886d 3499d ••• + •••• ― — • • 202=400 ¿Cuánto es la suma? 201=20 R= 4886d 200=1 3499d 1387d

Usaron su matemática para hacer cálculos complicados

Los sacerdotes mayas podían predecir fenómenos astronómicos

Diseñaron la rueda calendárica La rueda calendárica tenia 52 años (18,980 días)

La matemática Romana 750 a.C. – 476 d. C.

Los matemáticos Romanos usaron letras en su sistema de numeración

Los matemáticos romanos no usaron el cero

Numeración romana hasta el 100

Sumas y restas con números romanos Para sumar con números romanos sigamos las siguientes reglas: Debemos descomponer números como IX en VIIII Agrupamos los números de igual valor X con X, V con V etcétera. Hacemos sumas internas. Por ejemplo si aparece IIIII lo reemplazamos por V. Una vez que hemos calculado, ya sea sumando o restando símbolos volvemos a respetar las reglas , esto es , por ejemplo cambiamos VIIII por IX, XXXX por XL etcétera.

Actividad5: Reflexión sistemas de numeración Completa la siguiente tabla. Sistema numérico ¿Es posicional? Base del sistema Representa el número 25d Babilónico Egipcio Maya Romano ¿Cuándo un sistema numérico se considera posicional?

Significado geométrico de los algoritmos de las operaciones con fracciones.

Significado geométrico de las sumas con fracciones. Si a un medio le agregamos un tercio tenemos cinco sextos.

Significado geométrico de las sumas con fracciones. Si a dos tercios le agregamos un quinto tenemos trece quinceavos.

Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones. x = Se interpreta: De un tercio dame un medio, obteniéndose un sexto (que es la intersección de las dos figuras)

Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones. X = Se interpreta: De un tercio dame dos quintos, obteniéndose dos quinceavos (que es la intersección de las dos figuras).

Actividad6: Realiza las siguientes operaciones geométricamente. f) d) i) b) g) j) e) h) c)

Actividad7: Elaboración de un plan de clase por parte de los profesores. En equipo de 5 personas. El plan de clase debe ser entregado digitalmente. Se expondrá el último sábado. Se compartirán con el resto del grupo; favor de traer memoria USB.