Espacios de dimensión infinita El espacio de Hilbert Espacios de Funciones Espacios L2 Bases de espacios L2 Bases ortogonales Series de Fourier Aproximación de Funciones Polinomios de Legendre Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIE M. C. José Juan Rincón Pasaye

El Espacio de Hilbert El espacio R contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo: [0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética) [1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica) [1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica) [1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci) [0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc.. Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.

El Espacio de Hilbert Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2. Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el espacio de Hilbert si ||x||2=x12+x22+x32,+... Es un número finito.

El Espacio de Hilbert Ejemplo: Averiguar si la sucesión geométrica de razón q: [q0,q1,q2,q3,...,] pertenece al espacio de Hilbert: Solución: Sea S = 1+q2+q4+q6+...+q2n Es fácil ver que q2S = S-1+q2n+2, despejando S Tomando el límite cuando n  , la suma es finita si y sólo si |q|<1.

El Espacio de Hilbert Tarea: Averiguar si la sucesión siguiente: [p,2p,3p,4p,...] pertenece al espacio de Hilbert. Para ello, Sea S = p2+2p2+3p2+...+np2. Encontrar una expresión compacta para S. Tomar el límite de S cuando n . Concluir para diferentes casos de p.

<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... < El Espacio de Hilbert El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito). Así, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio: <x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <

|<x,y>|  ||x|| ||y|| El Espacio de Hilbert De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy: |<x,y>|  ||x|| ||y|| Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.

|x1y1+x2y2+x3y3|2  (x12+x22+x32)(y12+y22+y32) El Espacio de Hilbert Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R3? Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad de Schwartz garantiza que: |x1y1+x2y2+x3y3|2  (x12+x22+x32)(y12+y22+y32) Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024  (14)(77)=1078

|x1+x2+...+xn|2  n (x12+x22+...+xn2) El Espacio de Hilbert Tarea: Usando la desigualdad de Schwartz en Rn, demostrar que para cualesqiera n números x1,x2,...,xn, se cumple que: |x1+x2+...+xn|2  n (x12+x22+...+xn2) Dar un ejemplo en R3. 2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se convierte en igualdad cuando los vectores son Linealmente Dependientes en Rn. Dar un ejemplo en R3.

Espacios de Funciones Los vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica [1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, valuada en x=0,1,2,3,... En forma similar, la sucesión aritmética [2, 4, 6, 8, 10,...] Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,... ¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Espacios de Funciones Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo. Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita. ¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

Espacios de Funciones La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]: De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

Espacios de Funciones Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2] Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales. Normas: =  =  Normalización: las siguientes funciones son ortonormales:

Espacios de Funciones Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo q entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir, q=90° ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+q) sobre sin(x)? =cos(q) sin(x) Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

Espacios de Funciones Tarea: ¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+q), respecto a f(x)=sin(x)? ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f? ¿y sobre g(x)=cos(x)? ¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios L2 Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

Espacios L2 Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L2 considerando el intervalo [0,1]? f(x) = xr Solución: como Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo si r > -1/2

Espacios L2 La siguiente gráfica representa la función f(x)=xr para diferentes valores de r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r=-1 r=-1/2 r=-1/5

Bases de Espacios L2 Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base. Algunas bases comúnmente utilizadas son: {1,x,x2,x3,...}  Series de Taylor {1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier {1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Bases Ortogonales Dada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie: f= c1f1+c2f2+c3f3+... Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple. De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

<x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn> Bases Ortogonales Sea por ejemplo {b1,b2,b3,...bn} una base de Rn, y sea x=[x1,x2,x3,...,xn] un vector arbitrario en Rn, entonces: x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b1 tenemos <x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn> De donde

Bases Ortogonales En forma similar: Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

Bases Ortogonales Ejemplo: En R2, sea la base Verificar que es una base ortonormal Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en esta base. Solución: En efecto, <b1,b1>=<b2,b2>=1 y <b1,b2>=0. c1 = <x,b1> = (x1-x2)/2 c2 = <x,b2> = (x1+x2)/2

Bases Ortogonales Tarea: En R2, proponer una base ortonormal diferente a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en dicha base. Sea {b1,b2,...bn} una base no ortogonal de Rn, y sea x=[x1,x2,...,xn] un vector arbitrario en Rn, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c1,c2,...,cn de x la base dada

{1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...} Series de Fourier Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario. Una base ortogonal en el intervalo [0,2p] para L2 es la siguiente {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...} Ya que:

Series de Fourier Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2p], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como: f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+... +b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+... Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,... Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

Series de Fourier Para k=0,1,2,3,4,... La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2p] si f(x) está en L2. Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

Series de Fourier Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

Series de Fourier Solución: Calculamos los coeficientes ak: en forma similar para los coeficientes bk: Por lo cual, la serie de fourier queda:

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fourier Series In the same way a vector can be decomposed and represented in a basis of vectors, a function can be represented in a basis of functions. Similarly to geometry or linear algebra, an appropriate basis can make the problem easier. For harmonic problems, which compose many, if not most, mathematical and physical problems the Fourier Series is an invaluable tool. In the following, we will consider only the 2π periodic functions. First, let us consider the representation of the function in some orthonormal basis: Orthonormality of the basis means that the scalar product of different basis functions equals 0, and of the function with itself equals 1: (1) Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans. (2) Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fourier Series How to find cn in (1) ? Let us multiply (1) by φn(x): Here we used the orthonormality of the basis {φn(x)}. If the basis functions are ,then the series With an and bn generated by (3) is called a Fourier series, generated by f. (3) Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans. Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier Vamos a obtener una base ortogonal en el espacio vectorial de Hilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) a partir de las siguientes funciones: donde el índice l toma valores enteros y k debe ser determinado para que se cumpla la ortogonalidad de las funciones: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Para que se cumplan las anteriores relaciones de ortogonalidad: la condición que debe verificarse es: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Luego la siguiente familia de funciones constituye una base ortogonal: y las respectivas normas son: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b) se puede descomponer en esta base ortogonal. A ese desarrollo se le da el nombre de “serie de Fourier” de la función f(x): Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) es idéntica a su desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo en serie cumple una propiedad de periodicidad (que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)), porque las funciones de la base ortogonal son periódicas. Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE La base {exp(iklx)}: Teniendo en cuenta la fórmula de Euler: se ve que los elementos de la base ortogonal de senos y cosenos se pueden escribir en función de exponenciales complejas: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Además puede comprobarse que estas exponenciales complejas cumplen la condición de ortogonalidad: Luego, efectivamente: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Además el producto de una exponencial compleja por sí misma; es decir, la norma al cuadrado de una exponencial compleja es: Luego el conjunto de las exponenciales complejas {exp(iknx)} con k=2p/(b-a) y n un número entero es una base ortogonal del espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) : Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b) se puede descomponer en esta base ortogonal: Hay que tener en cuenta que, ahora, los escalares del desarrollo, es decir, los al serán, en general, números complejos. Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) será idéntica a su desarrollo en función de las exponenciales. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo cumple una propiedad de periodicidad porque las funciones de la base ortogonal son periódicas, (periodicidad que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)) Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Si queremos calcular los al del desarrollo de una función , f(x), haciendo uso de la ortogonalidad tendremos lo siguiente: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Si la función f(x) es una función real, se cumplirá lo siguiente: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Por tanto, si la función f(x) es una función real, tenemos: Pero, para cualquier función: Por tanto, si la función f(x) es una función real, se cumple que: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Vamos a utilizar lo anterior para ver cómo podemos, para el caso de una función real, encontrar la relación entre los coeficientes de la base ortogonal de las exponenciales complejas y los coeficientes de la serie de Fourier , es decir, de la base ortogonal de senos y cosenos: Si la función f(x) es una función real: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Si escribimos los al del siguiente modo: que es equiparable a la serie de Fourier de la función real, f(x): Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Propedéutico de Matemáticas DEPFIE donde: o, equivalentemente: Propedéutico de Matemáticas DEPFIE

Aproximación de Funciones En ocasiones se busca expresar una función f(x) en términos de otra función, o funciones más sencillas, esto es especialmente útil para simplificar cálculos o modelar comportamientos en forma aproximada. En este caso es posible simplemente truncar una serie a partir de algún término, o bien, obtener la aproximación mediante proyección ortogonal.

Aproximación de Funciones Sea una función f que se desea aproximar como la C. L. finita siguiente: f =c1g1+c2g2+...+cngn Donde g1,g2,...,gn son n funciones arbitrarias, mediante las cuales se desea expresar f. Tomando el producto interno con cada función g, obtenemos: <f,g1> = c1<g1,g1>+c2<g2,g1>+...+cn<gn,g1> <f,g2> = c1<g1,g2>+c2<g2,g2>+...+cn<gn,g2> . . . <f,gn> = c1<g1,gn>+c2<g2,gn>+...+cn<gn,gn>

Aproximación de Funciones Lo cual puede ser expresado en forma matricial como:

Aproximación de Funciones Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que pasa por el origen en el intervalo [0,1]? Solución: sea g(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=cg(x), donde c=<f,g>/<g,g>, es decir:

Aproximación de Funciones Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que no pasa por el origen en el intervalo [0,1]? Solución: sea g1(x)=1, g2(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=c1g1(x)+c2g2(x), resolvemos el sistema de ecuaciones: Es decir, De donde c1=4/15 c2=4/5

Aproximación de Funciones Con lo cual, la recta obtenida es f(x)=0.26666 +0.8x

Aproximación de Funciones Tarea: Obtener el polinomio de grado 2 que aproxima a f(x)= x en el intervalo [0,1] y dibujar las dos gráficas juntas

Polinomios de Legendre Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente: La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.

Polinomios de Legendre Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1] Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1] Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

Polinomios de Legendre Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre n Pn(x) 1 x 2 ½(3x2-1) 3 ½(5x3-3x) 4 1/8(35x4-30x2+3) 5 1/8(63x5-70x3+15)

Polinomios de Legendre Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales. n Pn(x) 1 x 2 ½(3x2-1) 3 ½(5x3-3x)

Polinomios de Legendre Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(p/2x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre. Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(p/2x)c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):

Polinomios de Legendre Con lo cual, la aproximación obtenida es cos(p/2x)  f(x) = 2/p + 10/p3 P2(x)

Polinomios de Legendre Tarea: Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(p/2x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre. Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.