Cálculo de Variaciones René J. Meziat y Jorge Villalobos Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes

Problemas Geométricos Braquistocrona: encontrar la curva que se recorre en el menor tiempo posible por una partícula que parte del reposo bajo la acción de la gravedad Catenaria: encontrar la curva (fija en dos extremos) que da la mínima superficie de revolución

Métodos del Cálculo de Variaciones (1) En su forma unidimensional el problema se puede ver como: Se tiene una función Definida en un camino y = y(t) entre dos valores t1 y t2 Se quiere encontrar un camino y(t) tal que la integral de línea I de f entre t1 y t2 tenga un valor estacionario Se consideran, solamente, variaciones entre caminos para los que y(t1) = y1 y y(t2) = y2

Métodos del Cálculo de Variaciones (2) f debe ser estacionario para el camino correcto relativo a cualquier camino vecino Tomamos un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal a: {y(x,a)} con y(x,0) el camino correcto, y se utiliza una función h(x) llamada variación, que toma el valor 0 en x = x1 y x = x2 Ahora I es un funcional de a

Métodos del Cálculo de Variaciones (3) La condición para obtener un punto estacionario es Que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial para y

Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1) La variación de I con respecto a a se puede escribir como:

Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2) Por lo tanto la variación de I con respecto a a es Puesto que h(x) es arbitrario obtenemos las ecuaciones diferenciales de Euler- Lagrange

Métodos del Cálculo de Variaciones Sistemas de Varias Variables f puede depender de varias variables independientes yi y sus derivadas Para este caso se debe cumplir el sistema de las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange Las soluciones de éstas ecuaciones representan curvas para las que la variación del integrando I es cero

Solución de Problemas Geométricos Braquistocrona (1) Si v es la velocidad de la partícula, el tiempo que le toma caer una longitud ds es ds/v El problema es, entonces, encontrar el mínimo de Si se mide x hacia abajo desde 1 podemos escribir Además

Solución de Problemas Geométricos Braquistocrona (2) Identificamos f como La ecuación de Euler-Lagrange es Que tiene como solución (parametrizada) la cicloide

Solución de Problemas Geométricos Catenaria (1) Tenemos una curva fija en dos extremos (x1,y1) y (x2,y2) queremos que el área que se genera al dar una revolución alrededor del eje y sea mínima El área del segmento sombreado de la figura es 2pxds = El área total está dada por la integral de la derecha, este es el integrando del problema variacional

Solución de Problemas Geométricos Catenaria (2) Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dan la ecuación diferencial Que tiene solución Esta es la ecuación de una catenaria La gráfica de la curva es (en el plano xy)

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1) Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir de un potencial escalar): El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento. T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto I se conoce como la acción o integral de acción

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2) El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas Este es un problema variacional

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3) En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Los momentos generali-zados se definen como

Ventajas de la Formulación Variacional Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas. El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo. Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva) Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría

Ejemplos Físicos Oscilador Armónico (1) Masa m conectada a un resorte de constante k. La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte La energía cinética T y la energía potencial U son El Lagrangiano del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es

Ejemplos Físicos Oscilador Armónico (2) La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es La amplitud A del movimiento y la fase f dependen de las con-diciones iniciales del sistema Para w = 1/s, A = 1m y f = p/2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2p s

Ejemplos Físicos Péndulo Simple Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy La coordenada generalizada es el ángulo q de l con respecto al eje y La energía cinética T y la energía potencial U son El Lagrangiano del sistema es La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico

Ejemplos Físicos Movimiento Dentro de un Cono (1) Masa m restringida a moverse en la superficie interior de un cono de ángulo medio a. La partícula está sujeta a una fuerza gravitacional. Las coordenadas generalizadas son: la distancia r al eje z y el ángulo q con el eje x. La altura z = r cot a La energía cinética T y la energía potencial U son El Lagrangiano del sistema es

Ejemplos Físicos Movimiento Dentro de un Cono (2) Para la coordenada q tenemos q es una coordenada cíclica mr2w es el momentum angular del sistema que debe conservarse Para la coordenada r tenemos La gráfica es para r2w=1 r(0)=1

Ejemplos Físicos Péndulo Soportado en un Aro (1) El punto de soporte de un péndulo simple de longitud b se mueve sobre un aro (sin masa) de radio a que rota con velocidad angular constante w. La coordenada generalizada es el ángulo q que hace el péndulo con el eje y La energía cinética T y la potencial U son (tomando U=0 en el centro del círculo) El Lagrangiano del sistema

Ejemplos Físicos Péndulo Soportado en un Aro (2) La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es Que se reduce a la ecuación del péndulo simple si tomamos w = 0 Tomando w = 1/s, b = 2a = 1m y g = 10 m/s2, q(0) = 0, q Vs. t x(t), y(t) (paramétrico)

Ejemplos Físicos Péndulos Acoplados (1) Dos masas iguales se ponen en una cuerda, una a a, la otra a 2a. El extremo O de la cuerda está fijo Las coordenadas generalizadas son los ángulos q y j de la figura La energía cinética y potencial del sistema son El Lagrangiano del sistema a q a j

Ejemplos Físicos Péndulos Acoplados (2) Las ecuaciones de Euler-Lagrange para q y j son Tomando: a = 0.5 m, g = 10 m/s2, q(0) = 0, q’(0) = 0, j(0) = 0.5 rad y j’(0) = 0 q Vs. t j Vs. t

Otras Áreas de la Física Teoría de Campos La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos. Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…

Principio Variacional en Elasticidad En elasticidad se puede aplicar un principio variacional sobre el siguiente planteamiento La energía de carga es, en general, un término no convexo que favorece la formación de microestructuras en el material Microestructura: estructura observada en un espécimen con una magnificación óptica ~ x25 a x1500 La energía de superficie es una función que penaliza cambios fuertes en la función que minimiza la energía total

Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (1) ¿Qué características debe tener el integrando (Lagrangiano) para que existan minimizadores para I en un espacio de funciones? D. Hilbert, 1900 I debe ser débil inferiormente semicontinuo Requisito: convexidad de f en la derivada de y(x). Tonelli, 1930. Si el integrando f no es convexo en la derivada no se puede garantizar la existencia de minimizadores de I. Dacorogna, 1980 Las ecuaciones de Euler-Lagrange no son un método efectivo para buscar estos minimizadores

Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (2) El principio variacional para la elasticidad es no convexo, el término de la energía de superficie hace que el problema tenga solución La no convexidad de la energía de carga es la responsable de la formación de la microestructura en el material Se presenta a continuación el método de los momentos Permite encontrar la solución de algunos problemas variacionales no convexos En caso que el problema no tenga solución, da información sobre el comportamiento de las sucesiones minimizantes

Problema de Bolza Balance de Energía Para una Barra Simplificación de un problema de balance energético para una barra unidimensional de longitud 1 Energía de superficie = 0 La barra está bajo el efecto de algunas cargas externas u(x) es la deformación que experimenta el punto x sobre la barra u’(x) la deformación unitaria

Problema de Bolza Dificultad y Motivación El balance energético que propone el problema de Bolza impone condiciones difíciles de cumplir I(u) ³ 0 u(x) » 0 u’(x) ±1 Estas condiciones no son compatibles La ecuación de Euler-Lagrange para u presenta soluciones inestables al utilizar los métodos numéricos convencionales Además esta ecuación no caracteriza el minimizador

Problema de Bolza Relajación Encuentra la solución o, en caso que esta no exista, da información sobre las sucesiones minimizantes de problemas no convexos Problema variacional ® problema de optimización No convexidad en la derivada ® se remplaza el integrando por su envolvente convexa Los minimizadores de esta relajación convexa son los límites débiles de las sucesiones minimizantes del problema original Relajación

Problemas Variacionales No Convexos Relajación Convexa La relación entre el problema original y el relajado es Sea un una sucesión minimizante de I, entonces ella converge débilmente a un minimizador de Teorema de Caratheodory: Dada una función f coerciva y continua f: Rn ® R su envolvente convexa está definida como el óptimo se obtendrá en una combinación convexa de n+1 puntos a lo sumo.

Problemas Variacionales No Convexos Relajación en Medidas (1) Para lograr la relajación convexa del funcional I se introduce un nuevo funcional Ĩ en medidas n es una familia de medidas de probabilidad mx parametrizada por los puntos x del dominio del problema (medida de Young) Cada medida parametrizada debe cumplir

Problemas Variacionales No Convexos Resultados de Relajación (Pedregal) El teorema de Caratedory implica que el mínimo de Ĩ se obtiene en las medidas óptimas mx* que determi-nan la envolvente convexa de f(y*,y’*;x) respecto a l y*(x) es minimizador de Ī Además se tiene que: Notación: * solución buscada

Problemas Variacionales No Convexos Relajación en Medidas (Pedregal) La medida de Young óptima n* contiene la información sobre el comportamiento límite de las sucesiones minimizantes de I Si todos los miembros mx* de n* están soportados en un único punto, I tiene minimizador en el espacio de funciones correspondientes y Si alguna de las medidas óptimas parametrizadas mx* tiene soporte en dos o más puntos, I no tiene solución. Pero el soporte de cada mx* nos indica los valores que puede tomar el gradiente y’*(x) en cada x Î W y para cualquier sucesión minimizante un de I

Problemas Variacionales No Convexos Relajación Semidefinida (Meziat) Problema variacional generalizado: f puede ser no convexo sobre l pero debe tener estructura polinomial Si f tiene esta estructura su envoltura convexa está dada por :

Problemas Variacionales No Convexos Relajación Semidefinida (Meziat) (2) Con m*(x) la solución al programa matemático: Las nuevas variables de diseño deben formar una matriz de Hankel, ya que mk(x) representa el momento de orden k de la medida parametrizada La matriz H(x) es cuadrada (n+1)´(n+1), simétrica y los elementos sobre las diagonales secundarias coinciden

Problemas Variacionales No Convexos Relajación Semidefinida (Meziat) (3) El problema variacional original se transforma en un problema de optimización (se ha discretizado x) Este problema se resuelve con métodos de optimización numérica De los momentos algebraicos mk(xi) se puede extraer la información sobre el soporte y los pesos en los que está soportada la medida en cada xi. Soporte unitario (l1 = 1 para todo x) implica que el problema original tiene solución Soporte doble (l1 < 1 para algún x) implica que el problema original no tiene solución

Problemas Variacionales No Convexos Relajación Semidefinida (Meziat) (4) Los puntos de soporte de la medida t1 y t2 se encuentran a partir de los tres primeros momentos; son las raíces del polinomio P(x) Soporte unitario (t1 = t2 para todo xi): el problema tiene solución Soporte doble: el problema no tiene solución Los pesos l1,2(xi) se encuentran con

Problemas Variacionales No Convexos Comportamiento de las Sucesiones Minimizantes Soporte unitario: Las sucesiones minimizantes {un} para I no presentan alternancia en la derivada Si esto se presenta para todo punto de la malla, I tiene minimizador yi* = u’*(xi) Soporte doble: Las sucesiones minimizantes presentan alternancia en la derivada entre los valores t1 y t2. El problema I carece de solución. La alternancia entre los valores t1 y t2 está regida por los pesos l1 y l2 respectivamente

Problema de Bolza Solución con Medidas (1) No convexo en u’(x) Tiene forma polinomial en la variable derivada El problema relajado en momentos es

Problema de Bolza Solución con Medidas (2) Los momentos que se encuentran son Que llevan a La sucesión minimizante tiene la forma m1 m2 m3 m4

Envolvente Convexa de una Función Una función es convexa si cumple la desigualdad de Jensen La envoltura convexa es la máxima función convexa que acota inferiormente a la función En la gráfica se ve, en rojo, la envoltura convexa de (1-u’(x)2)2. La línea azul muestra una violación de la desigualdad de Jensen