5. Integración

Falacias, falacias, ...

Integrales de línea, de camino o de contorno reales

Camino Otra manera: El signo debe tomarse de modo que ds0 para los valores x e y en juego. En este caso +.

Podemos definir las integrales con dx y dy: Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos). Interpretación física de las integrales de línea:

Ejemplo: Camino Camino: ¿Negativo? Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso.

Calculemos de nuevo de otra forma: Repetir para dx y dx/dy.

La integral depende del sentido en los que recorramos el camino C en los casos de dx y dy: Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el módulo del vector:

Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo Observa que la integral NO es el área bajo la curva. El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”. Los Δz actúan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?

Conexión entre integrales de línea reales y complejas Con C indicamos el camino de la integral de línea.

Integración de funciones complejas parametrizadas Arco suave C de A a B: Parametrización continua con t(A)  t  t(B) y con derivadas x’(t) e y’(t) continuas.

Ejemplo:

Evalúa donde C es el contorno de la figura C1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it, con 0  t  1, z’(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2 + it2 : La curva C2 está definida por x = 1, y = t con 1  y  2. Entonces: z(t) = 1 + it, z’(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2:

Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente. Calcular la integral Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente. Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

Camino o contorno simple cerrado Es un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera.

Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulación. Para no recargar con símbolos Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario. Se cumple que:

Propiedades de las integrales de contorno

Ejemplo Integrar la función a lo largo de la circunferencia: |z| = r. Introducimos un parámetro t variando entre Nota: podríamos haber usado Ejercicio: repetir con esta forma.

Ejemplo Integrar la función a lo largo del cuadrado Introducir un parámetro t variando entre

0 (integrando impar en intervalo de integración par)

Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración. Integrar la función a lo largo del cuadrado Introducir un parámetro t variando entre

Donde C ahora es el “cuadrado unitario” anterior desplazado Usando las relaciones obtenemos Donde C ahora es el “cuadrado unitario” anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.

Observa que:

Teorema integral de Cauchy Si f (z) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: Ejemplos: f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 f (z) es analítica en todo punto

Teorema de Green (1828) Sean continuas en en todos Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el Teorema de Green (1828) Sean continuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces: George Green (1793-1841). Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.

Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la figura. Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:

Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3 y C1 no tienen variación en y, obtendremos: Y eso completa la demostración para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.

Podemos usar infinitos rectángulos para recubrir “exáctamente” el área de R. Recorriéndolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos “horizontales”...

Demostración del teorema integral de Cauchy: Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C: (Como f(z) es analítica cumple las ECR)

Edouard Jean-Baptiste Goursat Teorema integral de Cauchy-Goursat Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z). Edouard Jean-Baptiste Goursat (1838 – 1936)

Ejemplos f (z) es no analítica en z =  /2, 3/2, ... 2i C No es analítica en los puntos z = 0, 1,  2,... f (z) es no analítica en z = 3 -2 -1 1 2

Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML: longitud de C Cotas para integrales de línea. cualquier número tal que sobre C Demostración:

Observemos que si |f(z)|=1, entonces: Por la desigualdad triangular, tenemos:

Supongamos que: si z es un punto de C. Entonces: Desigualdad ML

Ejemplo: donde C es el círculo |z| = 4. Encuentra una cota superior para el valor absoluto de: donde C es el círculo |z| = 4. Puesto que |z +1|  |z| − 1 = 3, entonces: Además, |ez| = ex, con |z| = 4, y tenemos que el máximo valor de x es 4. Así:

Demostrar la siguiente desigualdad: Im (z)‏ Demostrar la siguiente desigualdad: Re (z)‏ Respuesta. 1 L: longitud del arco: M: max |Log z|Γ

Demostración del teorema de Cauchy-Goursat para camino triangular cualquiera: Sea el camino triangular ABCA. Trazamos un triángulo auxiliar EFD a partir de los puntos medios de los lados del triángulo ABC. Entonces: E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2 A B C D E F

Aplicando la desigualdad triangular: Sea Entonces: Repitiendo el proceso con el triángulo

Después de n pasos, tendremos: Hemos construido una sucesión de triángulos encajados: gracias al principio de Cantor de compactos encajados: existe un punto z0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z0 está dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z0. Entonces: recordemos que (z) depende de z y que (z)0 cuando z z0; es decir, que para todo  podemos encontrar un  tal que (z) siempre quez - z0.

Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.

Si P es el perímetro de ABC , entonces el perímetro n será: Usando la desigualdad ML:

Teníamos: Y como  se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:

Puesto que todo polígono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cada triángulo podemos demostrar el teorema para un polígono cerrado arbitrario. Intentaremos aproximar una curva arbitraria a través de un polígono cerrado P de vértices z0, z1, z2, ... zn-1, zn= z0, tal y como hicimos para definir la integral de línea compleja.

cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro Sn. Recordemos que: Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro Sn. Obviamente: Usando la desigualdad triangular: 2 1 Acotaremos y 1 2

Entonces, dado cualquier  > 0 existe un número N() tal que Comencemos con 1 Entonces, dado cualquier  > 0 existe un número N() tal que para n > N():

Sigamos con acotemos: 2

Multiplicando por –1 y cambiando el signo de los integrandos: Utilizando la desigualdad triangular:

Para cada una de las k integrales (k=1,2, ..., n) usaremos la desigualdad ML. Observemos que la “longitud” de cada integral es: Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N() de lo suficientemente grande como para que con n > N() la distancia entre f(zk) y f(z) esté por debajo de /2P, para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos acotar todos los integrandos: 1

Teníamos: De modo que:

Recopilando: Puesto que  es arbitrario, entonces:

Ejercicio

Principio de deformación de contornos (Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo). Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente conexo D así como en las curvas que lo limitan. Entonces: Sentido negativo Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera). Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ...

A B Sentido positivo Como: Nota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...

Ejemplo 1: (¡obvio!) Ejemplo 2: (no tan obvio)

Otra demostración Introduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen los dos contornos. Sean C* y C** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4) y (5-6-7-8), respectivamente. Inicio 5 8 4 6 x 7 3 1 2 Ahora f (z) es analítica sobre y dentro de C* y C** . Por el teorema Integral de Cauchy:

Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así: y Inicio 5 8 4 6 x 7 3 1 2 Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan Pero como las integrales a lo largo de C* y C** son cero, entonces: con lo que se demuestra el enunciado.

¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos? Si uno de los contornos puede transformarse en el otro mediante una deformación continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces: Recordemos:

Ejemplo Así que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un círculo de radio r es 2i: A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexos vemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este círculo es también 2i. es analítica aquí

Ejemplo Evaluar la integral donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo. 1 2 -3i f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así:

Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos Supongamos que C, C1, …, Cn son curvas cerradas simples con orientación positiva, tales que C1, C2, …, Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck, k = 1, 2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es analítica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los Ck, k = 1, 2, …, n, entonces:

No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo: Imaginemos que f(z) es analítica en todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C2 como C3 forman anillos con C1. Por deformación de contornos:

Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo. Calcular , siendo Γi cada uno de los siguientes contornos orientados positivamente: (1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1 Respuesta: Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos:

Independencia del camino de integración Integremos la función a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i. (1) Representar C en la forma z(t): (2) Integramos:

Ejemplo Integrar la función a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura: A lo largo de C1: A lo largo de C2:

¿El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?

Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i. (1) Representar C en la forma z(t): (2) Integramos:

Ejemplo Repitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i: A lo largo de C1: A lo largo de C2:

Ahora el valor de la integral no depende del camino. ¿Qué diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?

Otro ejemplo Integrar la función a lo largo del camino C uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Otro ejemplo Integrar la función a lo largo del camino C = C1+ C2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura A lo largo de C1: A lo largo de C2: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

El valor de la integral a lo largo de los dos caminos es el mismo. ¿Coincidencia? 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Independencia del camino Supongamos que f (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D (por el teorema integral de Cauchy) 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Recuerda el potencial gravitatorio: masa m altura h La energía potencial gravitatoria = m g h es independiente del camino...

y Ejemplo: f(z)=|z|2 1+i i L0 L2 x L1 1 Observa que L0  L1+L2

y Ejemplo: f(z)=z2 1+i i L0 L2 x L1 1 Observa que L0=L1+L2

Ejemplo: calcular A lo largo del camino C1: Como f(z) = 1/z es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino más sencillo C2 (|z| = 1).

Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de intersección.

Si f es analítica en D entonces:

Independencia del camino Consideremos la integral Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 están en D, entonces la integral de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D. De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real: donde 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus p.ej.

Ejemplos (1) (2) (3) ( f (z) es no analítica en todo punto - todo el plano complejo (1) (2) ( f (z) es no analítica en todo punto - depende del camino) (3) 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus f (z) analítica en este dominio (ambas 1/z2 y 1/z son no analíticas en z = 0 - el camino de integración C debe eludir el punto)

¿Por qué en este caso la integral depende del camino?

Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es: Punto de ramificación Corte

Intentemos definir una primitiva para este caso. Punto de ramificación Corte Intentemos definir una primitiva para este caso. Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior: Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.

Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular? 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Fórmula Integral de Cauchy Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Ejemplo Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z0 = 0 La fórmula integral de Cauchy se convierte en 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus f (z) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0.

Ejemplo Evaluar la integral donde C es z = 2 es un punto singular en el interior a C. La fórmula integral de Cauchy f (z) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2. se convierte en: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: Cambio de variable:

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: ¿Qué no es riguroso aquí?

Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos:

Vamos a encontrar una cota ML para Tenemos: Y necesitamos M tal que: Para todo z en C0 : Como f(z) es continua en z0: Si tomamos para todo z sobre C0.

Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r0. Así que:

Ejemplos Evaluar las siguientes integrales: (1) donde C es el círculo |z |=2 f (z) es analítica en D y C incluye z0

donde C es el círculo |z+i |=1 (2) donde C es el círculo |z+i |=1 En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presenta puntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

1. We need to be able to take the derivative in complex analysis 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Evaluar donde C es el círculo |z – 2i | = 4. Solución Solo z = 3i está dentro de C, y

Otro ejemplo Evaluar donde C es cualquier contorno cerrado conteniendo z = -i Fórmula integral de Cauchy: se convierte en f (z) es analítica en todo punto

donde C es el círculo |z+i |=1 Tenemos que El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula donde Ahora 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

donde C es el círculo |z |=3/2 tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración C incluye dos puntos singulares, z = 1. Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z0 dentro de C. Usaremos fracciones parciales: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

1. We need to be able to take the derivative in complex analysis 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

Generalización de la fórmula integral de Cauchy Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z0, con la fórmula: f analítica en y dentro de C, z0 dentro de C Por ejemplo, 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus Esta fórmula también es conocida como la “formula para las derivadas de una función analítica.” Nota: cuando n=0 tenemos la Fórmula Integral de Cauchy:

Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy Partamos de la fórmula integral de Cauchy: Tomando f(z0) como una función de variable z0. Derivando con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz: Usar el mismo procedimiento para demostrar por inducción:

La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional: Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio. Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z) no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z0: una contradicción.

Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica en D, y C incluye z0

Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica in D, y C incluye z0

donde C es la circunferencia con sentido positivo. Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo. Examen JUNIO 02/03: P-1

Resumen: (1) F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, donde F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D. (2) con f (z) analítica dentro y sobre C. ( Teorema integral de Cauchy-Goursat ) (3) con f (z) analítica dentro y sobre C (Fórmula integral de Cauchy ) con f (z) analítica dentro y sobre C (4) ( Fórmula para derivadas )

Ejercicios: Demostrar (1) El teorema de Morera: “Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D” (2) La desigualdad de Cauchy: (Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analítica y la desigualdad ML) (3) El teorema de Liouville “Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entonces f (z) debe ser constante” – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.

Desigualdad de Cauchy Si tomamos el contorno circular C: |z – z0| = r, utilizando la generalización de la fórmula integral de Cauchy y la desigualdad ML: donde |f(z)|  M para todos los puntos de C.

Teorema de Liouville Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |f ’(z0)|  M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f ’(z0)| sea tan pequeño como queramos: |f ’(z0)| = 0. De modo que f es una función constante.

Ejercicio. Sea la función entera tal que: Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z). Respuesta. Por el teorema de Liouville: Por tanto