Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia

Conjuntos difusos Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B: - Entonces la unión de A y B será un conjunto C = A  B, que contendrá tanto los elementos de A como los de B. - La intersección de A y B , será un conjunto D = A  B, que contendrá los elementos comunes entre A y B. - El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A.

Conjuntos difusos Ejemplo (conjuntos clásicos): Sean los conjuntos A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y U = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto universal. Entonces: C = A  B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = A  B = {4, 5, 6 } A = {0, 7, 8, 9, 10, 11}

Conjuntos difusos Propiedad Conmutativa AB = BA, AB = BA Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos: Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementos Sea X el conjunto universo y  el conjunto vacío Propiedad Conmutativa AB = BA, AB = BA Asociativa (AB)  C = A(B  C) (AB)  C = A(B  C) Distributiva A(BC) = (AB)  (A C) A (BC) = (AB)  (AC)

Conjuntos difusos Propiedad Contradicción A  A =  Tercero excluido A  A = X ley de Morgan A B = A  B A  B = A  B

Conjuntos difusos Operadores para el complemento de conjuntos difusos: Un operador de complemento para un conjunto difuso es una función N: [0,1] -> [0,1], la cual cumple los siguientes requerimientos axiomáticos: N(0) = 1 y N(1) = 0 (condiciones de frontera) N(a) >= N(b) si a=< b La funciones que cumplen estas condiciones forman una clase general de complementos difusos. Otro requerimiento es: N(N(a)) = a ( involución)

Conjuntos difusos Complemento de conjuntos difusos: Ejemplo: N(x) = 1 – x es el complemento clásico con x  [0, 1] En este caso: si tenemos el conjunto A con función de pertenencia μA(x), la función de pertenencia del complemento sería: μA(x) = 1 - μA(x) Observe que también cumple con la propiedad: μA(x1) - μA(x2) = μA(x2) - μA(x1) Otro ejemplo es el complemento de Yaguer: Ns(a) = (1 – a)/ (1 + sa), s es un parámetro mayor que 1,

Conjuntos difusos Operadores para la unión de conjuntos difusos: La unión del conjunto difuso A (que pose función de pertenencia μA (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μB (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador S:[0,1]x[0,1] ->[0,1] denominado S-norma (T-conorm). O sea: μC = μAB (u) = S(μA (u), μB (u))

Conjuntos difusos Unión de conjuntos difusos: Un operadores para la unión debe satisfacer los siguientes requerimientos: 1. S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a (Cond. de frontera) 2. S(a, b) ≤ S(c, d) si a ≤ c y b ≤ d 3. S(a, b) = S(b, a) conmutativa 4. S(a, S(b, c)) = S(S(a,b), c) asociativa.

Conjuntos difusos Unión de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión: - Máximo: S(a, b) = max(a,b) - Suma algebraica: S(a, b) = a + b - ab - Suma drástica: S(a, b) = a, si b = 0. b, si a = 0. 1, si a, b > 0.

Conjuntos difusos Intersección de conjuntos difusos: La intersección de el conjunto difuso A (con función de pertenencia μA (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μB (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador (T-norma) T:[0,1]x[0,1] ->[0,1]. De esta forma: μC = μA∩B (u) = T(μA (u), μB (u))

Conjuntos difusos Intersección de conjuntos difusos: Un operador para la intersección debe satisfacer los siguientes requerimientos: 1. T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a (Cond. de frontera) 2. T(a, b) ≤ T(c, d) si a ≤ c y b ≤ d 3. T(a, b) = T(b, a) conmutativa 4. T(a, T(b, c)) = T(T(a,b), c) asociativa.

Conjuntos difusos Intersección de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión: - Mínimo: T(a, b) = min(a,b) - Producto algebraico: T(a, b) = a.b - Producto drástico: T(a, b) = a, si b = 1. b, si a = 1. 0, si a, b < 1.

Conjuntos difusos El operador más utilizado para intersección es el “min” y para para la unión el “max”: Función de pertenencia del conjunto resultado Se realizan con base a las funciones de pertenencia Operador Unión: AB  μAB (u) = max(μA (u), μB (u)) Intersección: AB  μAB (u) = min(μA (u), μB (u)) complemento: A  μA (u) = 1 - μA (u) Además del max y min otros comúnmente usados son: Unión: AB  μAB (u) = μA (u) + μB (u) - μA (u) μB (u) Intersección: AB  μAB (u) = μA (u) μB (u)

Conjuntos difusos Nota importante: la ley de la contradicción y la del tercero excluido no se cumplen para conjuntos difusos. De esta forma: A  A   A  A  X

Conjuntos difusos Ejercicio para realizar en clase: - Verificar las propiedades con dos conjuntos difusos. - Verificar que se cumplen las leyes de Morgan. - Qué pasa con la propiedad de del tercero excluido y de la contradicción.

Variables lingüísticas Variables lingüísticas: Son variables cuyos valores son palabras o frases de un lenguaje natural Ejemplo: la variable “voltaje” puede ser descom- puesta en varios términos lingüísticos : T(voltaje)= {muy alto, alto, medio, bajo, muy bajo} Nota: Cada término es caracterizado por un conjunto difuso dentro de un conjunto universo de los posibles valores del voltaje.

Variables lingüísticas Continuación del ejemplo:. Si el voltaje es entre 0 y 100.000 voltios, los conjuntos asociados a los términos se definen dentro del conjunto universo U= [0,100 Kv]. Muy bajo bajo medio alto muy alto 1 10 20 30 50 60 80 100 voltaje (KV)

Variables lingüísticas Variables lingüísticas: Una variable lingüística está caracterizada por una “quintumpla” (x,T(x),X,G,M) en el cual: x: es el nombre de la variable lingüística. T(x) es el conjunto de términos lingüísticos o valores lingüísticos. X es el conjunto universo. G es una regla sintáctica por la cual se generan los términos lingüísticos en T(x). M es una regla semántica la cual asociada con cada término lingüístico A su significado M(A) donde M(A) denota un conjunto difuso en X

Variables lingüísticas Ejemplo: sea la variable lingüística “edad”. Podemos definir un conjunto de términos: T(edad) = { joven, muy joven, no muy joven,..... Viejo, no viejo, muy viejo, ........ ...........} Cada término en T(edad) es caracterizado por un conjunto difuso en el universo [0,120] La regla sintáctica se refiere a la forma en que los valores lingüísticos, en el conjunto de términos, son generados. La regla semántica define la función de pertenencia de cada valor lingüístico del conjunto de términos.

Relaciones difusas El concepto de relación difusa es similar al de la matemática clásica. La diferencia radica en el grado de pertenencia Asociado a cada elemento de la relación. Relación Clásica Relación Difusa A R B A R B a b c 1 2 3 a b c 1 2 3 0.9 1 0.8 R = (a,3),(b,2),(c,1)} R = 0.9/(a,3),1/(b,2),0.8/(c,1)}

Relaciones difusas Relaciones difusas Sean dos conjuntos universales U y W. Una relación R(U,W) es un conjunto difuso definido en el producto cartesiano UxW. Una relación R es caracterizada por su función de pertenencia μR (u,w) donde u  U y w  W R(U,W) = { ((u,w),μR(u,w)), / u  U y w  W} con μR(u,w)  [0,1]

Relaciones difusas Operaciones entre relaciones: la composición Caso clásico: Composición Max-min de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w), : μP o Q(u,w) = { (u,w), maxv [min(μP(u,v), μQ(v,w) ] donde u  U, v V y w  W Composición Max-producto de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w), : μP o Q(u,w) = { (u,w), maxv [μP(u,v) . μQ(v,w) ]

Relaciones difusas P(u,v) o Q(v,w), Ejercicio: Dadas dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) calcular : P(u,v) o Q(v,w), v1 v2 v3 v4 w1 w2 w3 w4 u1 0 1 0 1 v1 1 0 0 0 P (u,v) = u2 1 0 0 0 Q (v,w) = v2 0 0 0 1 u3 0 0 1 1 v3 1 1 0 0 v4 0 0 1 0 Calcular μP o Q(u,z)

Relaciones difusas

μP o Q(u,w) = { (u,w), SUPv [μP(u,v) * μQ(v,w) ] Relaciones difusas Composición sup-star de dos relaciones difusas P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w)  [0,1] dada por: μP o Q(u,w) = { (u,w), SUPv [μP(u,v) * μQ(v,w) ] donde u  U, v V , w  W , μP(u,v)  [0,1] y μQ(v,w)  [0,1] Donde SUP es el operador “max” y “*” es una T-norm, generalmente se usa el “min” o el “producto”.

Relaciones difusas Operación de composición de forma gráfica u  U w  W u  U v V μP(u,v) μQ(v,w) μP o Q(u,w) P Q Cuando son tres relaciones: μP o Q o M(u,m) w  W u  U v V μP(u,v) μQ(v,w) μM(w,m) m  M P Q M

Relaciones difusas Caso especial: cuando la relación de partida es un conjunto difuso o sea que μP(u,v) tiene la forma μP(u), el resultado de la composi- ción con una relación μQ(u,w) será: SUPu [μP(u) * μQ(u,w)] = μPoQ(w) Observe en este caso que U = V. El resultado es un conjunto definido en W

Relaciones difusas P(u,v) o Q(v,w), Ejercicio: Dadas dos relaciones difusas P(u,v) y Q(v,w) calcular : P(u,v) o Q(v,w), v1 v2 v3 v4 w1 w2 w3 u1 0.8 1 0.1 0.7 v1 0.4 0.9 0.3 P(u,v) = u2 0 0.8 0 0 Q(v,w) = v2 0 0.4 0 u3 0.9 1 0.7 0.8 v3 0.9 0.5 0.8 v4 0.6 0.7 0.5 Calcular μP o Q(u,w)

Relaciones difusas A(u) o P(u,w), Ejercicio: Dado el conjunto A definido en u y la relación P(U,V) calcular : A(u) o P(u,w), Si w1 w2 w3 w4 u1 0.1 1 0.6 0.7 P(u,w) = u2 0 0.5 0.4 0.3 A = { (u1,0.5), (u2,0.6),(u3,0.7)} u3 0.2 0.3 0.5 0.9 Calcular μA o P(w)

Relaciones difusas