Modelación y Estructuras Matemáticas Carlos Mario Jaramillo López Departamento de matemáticas Carlos Mario Jaramillo López Departamento de Matemáticas Universidad de Antioquia

Aspectos específicos de las Matemáticas Los objetos matemáticos Los materiales concretos utilizados en el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática Los nombres las palabras o símbolos de cualquier tipo, utilizados para referirnos a los objetos Los seres humanos difieren de los animales por su capacidad y su deseo de crear símbolos y sistemas de símbolos, la simbolización matemática. El empleo de técnicas matemáticas requiere del cultivo de unas aptitudes determinadas para el razonamiento e incluso de desplegar los propios procesos de pensamiento. El lenguaje representa un aspecto importante desde el punto de vista del desarrollo de las matemáticas: su capacidad para conectar el discurso de maneras ricas y variadas, además permite señalar la unidad que subyace en la variedad de estructuras. Desde el punto de vista de la EM, se ha dedicado mucha atención a los “conectores lógicos” de un lenguaje que permiten combinar proposiciones y oponerlas, extenderlas, restringirlas, ejemplificarlas, desarrollarlas, etc. Estos conectores permiten la formación de proposiciones complejas y enlazarlas para obtener cadenas de proposiciones. Estos conectores permiten elaborar las demostraciones que son una serie de afirmaciones vinculadas entre sí y que proporcinan la explicación potente y especial de teoremas, definiciones, etc. El lenguaje ha permitido crear la tecnolgía simbólica de que se valen las matemáticas para representar los conceptos matemáticos, es así como hasta el momento las matemáticas han desarrollado su propia tecnología simbólica para continuar desarrollándose. El racionalismo es el interés por el razonamiento deductivo como único método válido para alcanzar explicaciones y conclusiones. Racionalizar es intentar fraguar una conexión lógica entre ideas que hasta el momento pueden haber estado desconectadas o conectadas mediante una incongruencia. Las matemáticas se ocupan de las abstracciones y dedican un esfuerzo enorme por desarrollar el pensamiento abstracto.

MODELACIÓN MATEMÁTICA Muchas situaciones del mundo real pueden presentar problemas que requieran soluciones y decisiones. Algunos de estos problemas tienen un aspecto matemático relativamente simple, e involucran una matemática elemental, entre otros: El interés que cobra una institución financiera por un determinado préstamo. La velocidad y la posición de un automóvil que va a 40 km/h al ser observado durante 10 minutos.

MODELACIÓN MATEMÁTICA Ahora bien, otros fenómenos que están inmersos en otras ciencias o disciplinas pueden no ser tan sencillos de analizar y necesitan de un análisis de las variables que intervienen en él. Veamos: La manera más precisa de predecir el comportamiento del dólar La cantidad permitida de ruido que puede generar una fábrica sin que ello dañe el medio ambiente

ENTONCES, ¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO? Bajo las anteriores acepciones de modelación, podríamos llamar modelo al conjunto de representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen, de alguna manera, un fenómeno a estudiar o un problema de alguna manifestación de la realidad.

¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN? 1. EXPERIMENTACIÓN Obtención y análisis de los datos del fenómeno

¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN? Abstracción. Selección de variables Establecimiento de conjeturas Formulación de hipótesis

¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN? 3. Resolución - Se simbolizan las hipótesis y conjeturas por medio de un lenguaje matemático coherente. - Se utilizan las herramientas matemáticas para resolver el problema

¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN? 4. Validación - Es el momento donde se acepta o no el Modelo. - Confrontación de los datos con los resultados del modelo

(MEN, 2000, Lineamientos Curriculares, p. 70)

La matematización se puede concebir como el proceso desde el problema enunciado matemáticamente hasta las matemáticas y la modelación o la construcción de modelos como el proceso completo que conduce desde la situación problemática real original hasta un modelo matemático.

Orientar a los alumnos a hacer un trabajo de modelación Elección del tema Familiarización con el tema que va a ser modelado Delimitación del problema y formulación Elaboración de un modelo matemático, resolución y validación Organización del trabajo escrito y exposición oral

Creencias, Actitudes y Emociones La modelación pretende proveer a los estudiantes con una mejor aprehensión de los conceptos matemáticos, y de esta manera influir en las actitudes y creencias de los estudiantes hacia las matemáticas. ¿Pueden la modelación y las aplicaciones proveer un entorno que ayude a estudiantes y profesores en su desarrollo de creencias apropiadas acerca de, y actitudes hacia, las matemáticas?

Hallar dos números cuya suma sea diez y su producto sea máximo

¿De cuántas maneras puedo dividir el cuadrado para obtener dos figuras geométrica de igual área?

Repartir tres pizzas entre cuatro personas

ax= F Acortar (a-x)x=F Exceso (a+x)x=F Aplicación de áreas para describir funciones cuadráticas: un rectángulo de área dada F ax= F Acortar (a-x)x=F Exceso (a+x)x=F F a X X X2 a F X X2 a F

Si F es un cuadrado de lado y, entonces las ecuaciones anteriores quedan: ax= y2 (a-x)x= y2 (a+x)x= y2 respectivamente son las ecuaciones de la parábola, la elipse y la hipérbola.

Propiedades de una estructura LAMAGIA de los números.ppt Es posible extender una estructura. Una estructura puede ser vista como parte de una estructura más fina. Una estructura puede ser vista como una parte de una estructura más inclusive. Una estructura puede ser isomorfa con otra estructura. Propiedades de una estructura   Van Hiele afirma que: Es muy importante que una estructura pueda ser vista como una totalidad; una estructura es más que la suma de sus elementos. En la sicología estructural (sicología Gestalt) existen cuatro propiedades importantes que gobiernan la estructura: 1.      Es posible extender una estructura. Quienquiera que conozca una parte de la estructura, también conoce la extensión de ella. La extensión de una estructura está sujeta a la mismas reglas dadas para una parte de ella. 2.      Una estructura puede ser vista como parte de una estructura más fina. La estructura original no se afecta por esto: las reglas de juego no son cambiadas, solamente son ampliadas. De esta manera, es posible tener más detalles que toman parte en la construcción de la estructura. 3.      Una estructura puede ser vista como una parte de una estructura más- inclusive. Esta estructura más-inclusive también tiene más reglas. Algunas de ellas definen la estructura original. 4.      Una estructura puede ser isomorfa con otra estructura. En este caso las dos estructuras se definen mediante reglas que corresponden a cada una de ellas. Por lo tanto, si uno ha estudiado la estructura dada, uno también sabe cómo la otra estructura está construida.

Van Hiele usa el concepto de “esqueleto humano” para ilustrar lo que se quiere decir con las cuatro propiedades de una estructura. La primera regla: el proceso de pensamiento de tal extensión es fácil: No existen nuevos elementos en él. La segunda regla, la construción de una estructura más fina. Obtenemos una estructura dando nombres a las partes del esqueleto. La construcción del lenguaje nos capacita para reconocer estas partes y despues es posible estudiar la posición de las partes y su función. La tercera regla se usa para empezar a estudiar los esqueletos de los animales y compararlos con el de los humanos. La regla de isomorfismo de las estructuras es también usada cuando comparamos el esqueleto del hombre con el esqueleto de un animal. Generalmente usamos los mismos nombres.

Teorema de Pitágoras Generalizado ¿Seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?”

Sin s no hay paraíso X2 + Y2 = 1 Cos2 + Sen2 =1 X Y P(X,Y) 1

Ejemplo de Isomorfismo La adición en el conjunto de números reales se definen por cinco reglas: 1.      Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a + b es un numero real. 2.      Elemento neutro: a + 0 = a 3.      Elemento inverso: a + (-a) = 0 4.      Conmutativa: a + b = b + a 5.      Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c La multiplicación en el conjunto de los número reales está definida, con excepción del cero, por las siguiente cinco reglas:   1.       Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a x b es un numero real. 2.       Elemento neutro: a x 1 = a 3.       Elemento inverso: a x a-1 = 1 4.       Conmutativa: a x b = b x a 5.       Asociativa: a x (b x c) = (a x b) x c   Como puede constatarse las dos estructuras son las mismas. Una estructura más amplia sería la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) La segunda y la tercera propiedad necesitan ser estudiadas, y tienen una alta relación con el desarrollo del insight. Estructura e Insight están estrechamente relacionadas. Algunas veces ocurre que las estructuras mentales llegan a tener existencia por la acción (Piaget-Montesori) Las estructuras de la acción son tan importantes como las estructuras de la mente. El lenguaje está directamente conectado con la mente. Isomorfismo: Correspondencia biunívoca entre dos conjuntos que conservan las operaciones.

Un ejemplo de isomorfismo es el trbajo de M.C Escher

Este, sí es un clásico... pero me encanta   Aquí se ven las dos caras de una mujer... Según como las mires, o ves una chica guapa de espaldas, o una bruja fea de perfil... ;-)

Una cinta que no tiene la otra cara: CINTA DE MÖBIUS (Augustin Ferdinand Möbius, 1790-1868) Es posible construir una hoja de papel con una sola superficie.

Escalera de Schroder: Si la miramos desde otro ángulo (por ejemplo girando la cabeza hacia el hombro derecho) se intercambian el fondo y el primer plano y la parte convexa de los escalones pasa a ser cóncava y viceversa. 

Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit) ¡¡¡¡GRACIAS!!! Grupo de Investigación en Educación Matemática e Historia (UdeA-Eafit)