Prof. Esquivel, Karina Alicia LOS PROBLEMAS

Algunos problemas tipos: I-¿Cuál es el número cuyo duplo aumentado en 3 es igual a 25? II-Una caja de comida para gatos pesa 54 kg y contiene 18 bolsas, ¿cuánto pesa cada una, si todas contienen la misma cantidad?

Las tareas presentadas pueden resolverse con herramientas aritméticas, sin apelar el uso de ecuaciones. Esto trae como consecuencia, la pérdida del verdadero valor útil del álgebra, debido que se ajusta más a una necesidad de contrato y no como necesidad de la situación problemática.

Si se resta 8 al doble de cierto número se obtiene 20¿cuál es el número? El doble de cierto número se resta 8 se obtiene 20 ¿cuál es el número? El doble de la resta entre un número y 8 da 20, ¿cuál es el número?

Observemos que el problema a) y b) expresa la misma ecuación, la diferencia radica en la estructura lingüística de los problemas. Para avanzar en el campo del álgebra la docente presenta el problema c) que está asociada a una ecuación más compleja (uso del paréntesis) y trae consigo una estructura lingüística también compleja, donde los alumnos lo traducen en forma directa sin preocuparse en los fenómenos de congruencia

Caso a) caso b) caso c) 8 - 2x = 20 2x - 8 = 20 2x - 8 = 20 - 2x = 20 – 8 2x = 20 – 8 2x = 20 + 8 - 2x = 12 2x = 12 2x = 12 x = 12:(-2) x = 12: 2 x = 12:2 x = -6 x = 6 x = 6 Luego se le entregó las siguientes ecuaciones: 2(x – 8)= 20 2x – 1 = 14 x – 8 = 20:2 2x = 14 + 1 x – 8 = 10 2x = 15 x – 8 = 10 + 8 x = 15: 2 x = 18 x = 7  

El alumno al resolver los problemas anteriores desarrollas las siguientes competencias algebraicas: dominio de las técnicas capacidad de producir expresiones

También comprobamos que al ser compleja la estructura lingüística, el problema c), no tiene un dominio de relacionar lo algebraico con los fenómenos de congruencia asociado al problema. La docente preguntó a Francisco, ¿qué es una ecuación?. El alumno respondió diciendo: “Una ecuación es buscar el valor de x”. Podemos afirmar que la concepción que pone en juego, el alumno, seria la de ecuación como igualdad numérica con número a develar, es decir, que siempre buscará un valor para “x” y se puede comprobar cuando resuelve la ecuación 2x – 1 = 14 y obtiene x = 7. En consecuencia, no le deja aceptar ecuaciones sin solución.

Además, él afirma que “no se puede dividir”, en lo cual se produce así un desequilibrio en lo cognitivo porque tiene que buscar un valor para “x”. El alumno no realiza la verificación es por eso que él acepta x=7. Además se le pregunto ¿qué son los pasos intermedios entre la ecuación y x=...?. El alumno no supo que contestar, entonces se comprueba la ausencia del reconocimiento de que las expresiones algebraicas tienen cierta denotación y que las sucesivas transformaciones que se realizan, cambian el sentido pero conservan la denotación. Cabe aclarar que no se espera que los alumnos manejen esta terminología sino que pongan en acto lo que la misma quiere expresar

Teniendo en cuenta estos problemas, según Cortés, Veryaud y Kowafian, la resolución algebraica aparece más operatoria que la resolución aritmética, debido a que apunta por la escritura de relaciones explícitas entre datos e incógnitas, y luego pasaría a la movilización de procedimientos automáticos, es decir, lo técnico no funciona como instrumento matemático, sino que es un fin en sí mismo.

PROBLEMA: El doble de un número sumado 14 es igual a 16, ¿cuál es el número? Caso 1 caso 2 caso 3 2x + 4 = 16 2x + 4 = 16 2x + 4 = 16 x + 4 = 16:2 2x = 16 – 4 2x + 4 = 16 -4 x = 8 2x = 12 2x = 12 x = 8 – 4 x = 12 – 2 x = 12:2 x = 4 x = 10 x = 6  

Estos errores que se reflejan, a punta más bien a la técnica de la resolución de una ecuación. Podemos ver, que la técnica presentada es válida para un docente, el de pasar de miembro, mientras para un profesor proviene de aplicar a ambos miembros de una ecuación las propiedades de la suma y del producto. Los alumnos pueden experimentar este cambio de procedimiento dando lugar una ruptura entre lo viejo aprendido y lo nuevo que deben aprender.

En el caso 1, se altera el orden de las operaciones al despejar, puede ser porque primeramente ellos ejercitan las ecuaciones de la forma 2x = 6. En el caso 2, se debe al contrato didáctico porque la docente debe aclarar que por convención 2.X = 2x; es decir, que entre el número y la letra hay una multiplicación. Todos esos errores son más bien de procedimiento que conceptual.

Los propósitos de enseñanza que me propuse a través de estas tareas son: Desarrollar en los alumnos la capacidad de modelizar situaciones. Permitir a los alumnos transitar la ruptura que supone el pasaje de practicas aritméticas a prácticas algebraicas favoreciendo, a través de las situaciones propuestas, que los alumnos puedan: concebir los límites de los conocimientos aritméticos para abordar ciertos problemas pero que al mismo tiempo puedan recuperar los antiguos conocimientos aritméticos usarlos como punto de apoyo. Proponer oportunidades para que el alumno pueda: conjeturar propiedades sobre conjuntos infinitos; explorar la validez de las afirmaciones que se realicen y validarlas a partir de los conocimientos que se posean; determinar el dominio de validez de una afirmación.