IV CONCURSO DE INGENIO Segundo ciclo de ESO IES Dª LEONOR DE GUZMÁN Alcalá de Guadaíra, Junio de 2007

Índice Problema nº 1: Los autobuses y la mosca. Problema nº 2: El pasatiempo de moda. Problema nº 3: El reloj está que arde. Problema nº 4: Las tres pastillas. Problema nº 5: El laberinto. Problema nº 6: Coloca los números. Problema nº 7: El dilema del barquero. Problema nº 8: El lechero. Problema nº 9: Reparto en cajas. Problema nº 10: El heptágono. Problema nº 11: Objetivo: el número 100. Problema nº 12: Jugando con seis cifras. Índice

P R O B L E M A N º 1 LOS AUTOBUSES Y LA MOSCA

Dos pueblos distan entre sí 60 Km Dos pueblos distan entre sí 60 Km. De cada uno de esos pueblos sale a las cinco en punto de la tarde un autobús con dirección al otro pueblo. Como los autobuses son ya bastante viejos y la carretera está en muy malas condiciones, llevan una velocidad media de 30 Km/h. A la misma hora una veloz mosca sale de uno de los pueblos en dirección al otro llevando una velocidad de 40 Km/h. Cuando la mosca se encuentra con el autobús contrario, cambia de dirección. Vuelve a encontrar al otro autobús y hace lo mismo. Así sucesivamente hasta que por fin los dos autobuses se cruzan. En ese momento ¿Sabes cuántos kilómetros habrá recorrido la mosca? 60 km SOLUCIÓN

Llegaremos fácilmente a la solución haciendo tres sencillos razonamientos: Los pueblos distan entre sí 60 km. Como los autobuses van a la misma velocidad, se encontrarán justo en mitad del camino, es decir, a los 30 km. Si los autobuses llevan una velocidad de 30 km/h, quiere decir que han tardado en recorrer esos 30 km 1 hora. Si la mosca va a 40 km/h, independientemente de que vaya en dirección a un pueblo u otro, en 1 hora habrá recorrido: 40 kilómetros Índice

P R O B L E M A N º 2 EL PASATIEMPO DE MODA

SUDOKU Debes rellenar cada una de las casillas del tablero con una cifra del 1 al 9. En cada fila y en cada columna no puede repetirse ningún número. Tampoco puede repetirse ninguna cifra en cada uno de los nueve bloques en los que está dividido el tablero. 2 3 4 1 5 6 7 8 9 3 4 1 6 7 5 2 9 8 Índice SOLUCIÓN

P R O B L E M A N º 3 EL RELOJ ESTÁ QUE ARDE

Durante el descanso del partido de fútbol más importante del campeonato, se han parado todos los relojes, y el árbitro decide suspenderlo, ya que no es capaz de medir los 45 minutos que dura la segunda parte. El encargado del campo, después de buscar un reloj por todas partes sin resultado, lo único que ha conseguido encontrar es un par de cuerdas y una caja de cerillas. Él sabe que cada cuerda tarda en arder una hora, así que idea una manera de contar los 45 minutos. Sabiendo únicamente esto, ¿ se te ocurre a ti una manera de medir el tiempo justo? SOLUCIÓN

1. Prendemos la cuerda número 1 por los dos extremos y la cuerda número 2 por uno sólo. 2. La cuerda número uno tarda en consumirse media hora y de la otra cuerda se ha quemado la mitad. 3. En ese instante prendemos la media cuerda que queda por el otro extremo y tarda en consumirse los 15 minutos restantes para completar los 45. Índice

P R O B L E M A N º 4 LAS TRES PASTILLAS

El señor Pi tiene una extraña enfermedad que hace que deba tomar todos los días dos pastillas: una del tipo A y otra del tipo B. Estas pastillas son exactamente iguales en peso color, sabor... Es imposible distinguirlas externamente y es vital que Pi se tome una de cada tipo cada día. Un día sin darse cuenta, Pi coge por error dos del tipo A y una del tipo B. Tiene las tres pastillas en la mano y no puede diferenciarlas. Sabe que debe tomar una cada día, pero no quiere tirarlas o simplemente coger otras, porque son muy caras. ¿Qué debe hacer para tomar, ese día y los días siguientes, una pastilla de cada tipo sin equivocarse, y sin desperdiciar ninguna? A B SOLUCIÓN

Entonces parte las pastillas por la mitad y toma media de cada una. Añades una pastilla del tipo B, y tendrás dos pastillas de cada tipo en la mano. Entonces parte las pastillas por la mitad y toma media de cada una. Las otras mitades las tomas al día siguiente y cada día estarás tomando dos medias de la A y dos medias de la B, es decir, una de la A y una de la B. Índice

P R O B L E M A N º 5 EL LABERINTO

UNA PUERTA TE LLEVA A LA SALIDA Y LA OTRA A LA MUERTE Jaime se ha perdido en el laberinto de un parque de atracciones y buscando la salida llega a un lugar en el que se encuentra 2 puertas custodiadas por 2 guardianes y sobre las que aparece el siguiente letrero: UNA PUERTA TE LLEVA A LA SALIDA Y LA OTRA A LA MUERTE

Sólo tienes la opción de entrar en una de las puertas; para ello puedes hacer una pregunta a uno de los guardianes. Pero cuidado, porque uno de los 2 siempre miente y el otro siempre dice la verdad, aunque no sabemos cuál es cada uno. ¿Qué pregunta habría que hacer y a quién, para asegurarse de que tomas el camino correcto, sin saber cuál de los 2 guardianes es el que miente y cuál dice la verdad? SOLUCIÓN

Se le puede preguntar a cualquiera de ellos: “si le pregunto al otro guardián cuál es la puerta que me lleva a la salida, ¿qué me indicará?”. Es fácil comprobar que sea cual sea el guardia al que le preguntemos nos va a indicar la puerta que lleva a la muerte. Basta salir por la otra puerta. Índice

P R O B L E M A N º 6 COLOCA LOS NÚMEROS

SOLUCIÓN Índice

P R O B L E M A N º 7 EL DILEMA DEL BARQUERO

Un barquero tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben él y uno de los otros tres seres. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come y si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo? SOLUCIÓN

El pastor pasa primero la cabra, la deja en la otra orilla. Regresa solo a por el lobo. Al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra. Deja la cabra y cruza con la lechuga. Deja la lechuga con el lobo y regresa a por la cabra. Índice

P R O B L E M A N º 8 EL LECHERO

Un antiguo lechero tenía un cántaro de 8 litros lleno de leche, y dos más de 5 y de 3 litros. Un cliente le pidió exactamente 4 litros. ¿Cómo pudo calcular los cuatro litros y dárselos en el cántaro de 5 litros? SOLUCIÓN

Éste es el cántaro pedido. Índice

P R O B L E M A N º 9 REPARTO EN CAJAS

¿Cómo podremos disponer 9 bolas en 4 cajas de forma que cada una tenga un número impar de bolas y distinto del de cada una de las otras tres? SOLUCIÓN

Índice

P R O B L E M A N º 10 EL HEPTÁGONO

Coloca los números del 1 al 14 en los círculos de manera que la suma de los tres números de cada lado del heptágono sea 26. SOLUCIÓN

Hay muchas soluciones. He aquí una de ellas: 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 Índice

P R O B L E M A N º 11 OBJETIVO: EL NÚMERO 100

a) Obtener el número 100 con los dígitos del 1 al 9 en orden creciente y sin repetir ninguno, combinando las operaciones de sumar, restar y multiplicar. b) Obtener el número 100 con los dígitos del 9 al 1 en orden decreciente y sin repetir ninguno, combinando las operaciones de sumar, restar y multiplicar. c) Obtener el número 100 con los dígitos del 1 al 9, en orden creciente, y combinando solamente las operaciones de sumar y restar. d) Obtener el número 100 con los dígitos del 9 al 1, en orden decreciente, y combinando solamente las operaciones de sumar y restar. SOLUCIÓN

a) b) c) d) 1+2+3+4+5+6+7+(8x9)=100 (9+8+7+6-5)x(4+3+2+1)=100 Hay muchas soluciones para cada uno de estos apartados: a) 1+2+3+4+5+6+7+(8x9)=100 b) (9+8+7+6-5)x(4+3+2+1)=100 c) 1+2+34+5+67+8+9=100 d) 98-76+54+3+21=100 Índice

P R O B L E M A N º 12 JUGANDO CON SEIS CIFRAS

Encontrar un número de 6 cifras, de manera que sumando las cifras de su resultado al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 siempre sea el mismo: 27      Las 6 cifras del número que se busca deben ser del 1 al 9, y todas diferentes.           SOLUCIÓN

Como todos los resultados tienen las mismas cifras que el número buscado, ordenadas de manera diferente, siempre tienen que sumar 27: EL NUMERO BUSCADO ES EL 142857

Ya que: 142857 x 1 =142857 142857 x 2 =285714 142857 x 3 =428571 142857 x 4 =571428 142857 x 5 =714285 142857 x 6 =857142 Índice