Cinemática Rotacional Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar

L.A.M.M. Conceptos previos. La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento. La cinemática rotacional dice relación con los movimientos en que hay rotación de un objeto respecto de un eje (o punto) central.

L.A.M.M. Ejemplos: El minutero de un reloj análogo rota respecto del centro del reloj. Un automóvil que da la vuelta en una rotonda está girando alrededor del centro de la misma. Los planetas giran en torno al Sol.

L.A.M.M. Variables escalares. Periodo: es el tiempo que demora en dar una vuelta completa (o una revolución) Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s) en el sistema MKS. También se puede medir en minutos, horas, dias, años, etc.

L.A.M.M. Ejemplo: ¿Cuánto demora un minutero en dar una vuelta completa al reloj? Como 1(min) es el tiempo que marca el minutero, la vuelta completa al reloj se da en 60(min), por lo tanto el periodo del minutero es T=60(min), o bien T=3600(s).

L.A.M.M. Ejemplo: Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas en una rotonda. ¿Cuánto vale el periodo de su movimiento? Si 3vueltas  120(s) 1vuelta  X (s) X = 120*1/3 El periodo del movimiento del ciclista es de 40(s)

L.A.M.M. Variables escalares: Frecuencia: es la cantidad de vueltas en cierto tiempo. Se denomina con la letra f y su unidad de medida es (1/s) a lo cual se le llama HERTZ (Hz) en el sistema MKS. Se expresa como: También se puede medir en RPM (revoluciones por minuto).

L.A.M.M. Ejemplos: ¿Cuál es la frecuencia de un motor que da 300 vueltas en 5 (s)? Como : f = 300/5(s),  f = 60 (Hz) Esto significa que da 60 vueltas en un segundo.

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)? L.A.M.M. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)? Como sabemos que 60 vueltas  1(s) entonces: 1 vuelta  X(s) El periodo del motor es T = 1/60  T = 0,01667(s) De lo que se deduce que f = 1/T

L.A.M.M. Frecuencia y Periodo Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y frecuencia se relacionan de forma inversa, esto es, mientras uno aumenta el otro disminuye. O bien a mayor frecuencia menor periodo, y viceversa. Es valido decir que: , o bien:

L.A.M.M. Ejemplo: Calcule el periodo y la frecuencia del planeta Tierra para su: Rotación sobre su eje Traslación respecto del Sol

L.A.M.M. Solución: Como da una vuelta completa en un día, sabemos que: 1(día) = 24(hrs), pero cada hora tiene 3600(s); por lo tanto: T = 24*3600 (s)  T = 86400 (s) Luego f = 1/T  f = 1/86400 f = 1,1574 x 10E-5 (Hz)

L.A.M.M. Solución: b) Sabemos que el planeta demora 365 días en dar la vuelta completa alrededor del Sol. Por lo que T = 365(días)*24(hrs)*3600(s) Luego T = 31536000 (s) Entonces f = 1/T  f = 3,17x10E-8 (Hz)

L.A.M.M. Ejemplo: Un motor gira a 3000rpm ¿Cuánto vale su frecuencia en el Sistema Internacional? Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se puede decir que: 3000 rev  60 (s) X rev  1 (s) f = 50 (Hz)

L.A.M.M. Variables Angulares. En un plano cartesiano XY (en metros), podemos decir que un objeto se encuentra en las coordenadas (x,y)=(3,4), o bien podemos indicar su posición diciendo que está a 5(m) y a 36,9º sobre el eje X positivo.

L.A.M.M. Variables Angulares Posición angular: lugar en que se encuentra un objeto, medido en ángulos. (como el segundo caso del ejemplo anterior). Se le asigna la letra griega θ y su unidad de medida es en radianes(rd), en el sistema MKS. También se puede medir en grados, para lo cual se sabe que: 360º = 2π (rd)

Ejemplo de cálculo: ¿Cuántos radianes son 90º? Como 360º = 2π (rd) L.A.M.M. Ejemplo de cálculo: ¿Cuántos radianes son 90º? Como 360º = 2π (rd) 90º = X (rd) X = 90*2π/360 Luego 90º = π/2 (rd)

Relación entre grados y radianes L.A.M.M. Relación entre grados y radianes Para una vuelta completa se tiene que:

Pero: ¿Qué es un radián? El radian se define como el ángulo L.A.M.M. Pero: ¿Qué es un radián? El radian se define como el ángulo para el cual el arco comprendido por dicho ángulo es igual al radio. Entonces la razón (o división) entre el arco y el radio es igual a UNO. Note que por ser una división entre magnitudes de distancia resulta una variable sin unidad de medida (adimensional).

L.A.M.M. Ejemplo: Se recorre un arco de 30(cm) en una circunferencia de 20(cm) de radio ¿Qué ángulo se abarca? ángulo (rd) = arco/radio ángulo = 1,5(rd) O bien: ángulo = 42,97º

L.A.M.M. Ejemplo: En una circunferencia de radio 50(cm) Un ángulo de 72º barre un arco de: a) 125 π (cm) b) 20 π (cm) c) 259,2 π (cm) d) 3600 π (cm) SOLUCION: 72º* π /180* = ángulo en radianes Ángulo = 0,4 π (rd) Luego arco/radio = ang (rd) Queda: ang (rd) *radio = arco 0,4 π (rd) * 50 (cm) = 20 π (cm)

Desplazamiento angular. L.A.M.M. Desplazamiento angular. Desplazamiento angular: se le denomina así al cambio de posición angular. Se le designa Δθ = θf – θi Es la diferencia entre la posición angular final y la posición angular inicial. Por tanto se mide también en radianes o grados.

L.A.M.M. Ejemplo: Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º, como muestra la figura. ¿Cuánto vale su desplazamiento angular? Como: Δθ = θf – θi Δθ = 210º – 90º  Δθ = 120º Como 360º = 2π (rd)  120º = 2π/3 (rd) = Δθ

L.A.M.M. Rapidez Angular Rapidez (o velocidad) angular: es el desplazamiento angular efectuado en cierto intervalo de tiempo. Se expresa como: ω = Δθ/Δt Su unidad de medida en el sistema MKS es el radian/segundos (rd/s) También se puede medir en grados/seg.

L.A.M.M. Ejemplo: Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s). ¿Cuánto vale la rapidez angular para este movimiento? Arco/radio = ang (rd)  ángulo = 1,67 (rd) Por lo tanto: ω = 1,67(rd) / 4 (s) ω = 0,4167 (rd/s)

L.A.M.M. MCU El Movimiento circular uniforme es aquel en el que la rapidez angular ω es constante. Para este tipo de movimiento rotacional si ω es constante, entonces significa que el cambio en la posición angular es el mismo en iguales intervalos de tiempo.

L.A.M.M. MCU Por ejemplo si un ventilador de paletas gira con MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s): ¿Cuánto vale su periodo y su frecuencia? ¿Cuánto vale su ω? Cuantas vueltas dará en 5 (min)?

Solución: Como f = nº vueltas / tiempo, entonces: L.A.M.M. Solución: Como f = nº vueltas / tiempo, entonces: f = 5 vueltas / 0,2 (s)  f = 25 (Hz) Como T = 1/f  T = 0,04 (s)

L.A.M.M. Solución: b) Como 1 vuelta = 2 π (rd) Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s) Entonces: ω = 2 π (rd) / 0,04 (s) ω = 157 (rd/s) de aquí se obtiene que: ω = 2 π / T o bien: ω = 2 π f

L.A.M.M. Solución: c) Como 5 (min) = 300 (s) Si da 5 vueltas  0,2 (s) X vueltas  300 (s) X = 5*300/0,2  X = 7500 vueltas

MCU Como ω es constante y vale: ω = Δθ/Δt L.A.M.M. MCU Como ω es constante y vale: ω = Δθ/Δt Si ti = 0 (s), entonces despejamos: ω = Δθ/t  ω*t = Δθ  ω*t = θf – θi Luego queda: ω*t + θi = θf es la ecuación de la posición para un objeto que se mueve con MCU

L.A.M.M. Rapidez La rapidez, es como se ha visto antes, la distancia recorrida en cierto intervalo de tiempo. Como en el ejemplo anterior, se recorre un arco de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la rapidez es V = 5(cm) / 4 (s) Nos queda: V = 1,25 (cm/s)

L.A.M.M. Rapidez Es la rapidez con que se recorre la circunferencia (o el arco) durante la rotación. Si V = d/t, entonces en una vuelta completa: V = Perímetro / Periodo , o bien:

¿Cuál es la relación entre V y ω? Como ω = 2 π / T Y V = 2 π R /T Al realizar la division V / ω queda: V = 2 π R /T V / ω = R ω 2 π /T o bien: V = ω * R

L.A.M.M. Ejemplo: Calcule la rapidez con que se recorre una circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de dicha rotación es de 1,2 (min) Como: V = 2πR/T V = 125,66 (cm) / 72 (s) V = 1,745 (cm/s)

L.A.M.M. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de un carrusel que gira a 0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)? a) 23,866 (s) b) 18,85 (s) c) 47,73 (s) d) 150 (s) SOLUCION: 2 π R / T = V Luego: 2 π R / V= T 18,85 (m) / 0,1257 (m/s) = T T = 149,95 (s) ≈ 150 (s)

Aceleración angular Aceleración angular es el cambio en la rapidez angular en cierto tiempo. Se designa con la letra α y se expresa como: α = Δω / Δt Su unidad de medida en el sistema MKS es el Radián/segundo cuadrado (rd/s^2)

Aceleración angular: Por ejemplo: un motor disminuye su frecuencia de 300 rpm a 120 rpm en 15 (s). ¿Cuánto vale la aceleración angular del motor?

Solución: Inicialmente: Como 300 rev  1 (min) 300 rev  60 (s) f = 5 (Hz) Luego como: ω = 2 π f  ω = 10 π (rd/s)

Solución: Finalmente: Como 120 rev  1 (min) 120 rev  60 (s) f = 2 (Hz) Luego como: ω = 2 π f  ω = 4 π (rd/s)

Solución: Sabemos que: α = ωf – ωi / t  α = 4 π – 10 π / 15 α = – 6 π / 15 La aceleración angular es α = – 0,4 π (rd/s^2) es más bien una desaceleración

L.A.M.M. MCUA Movimiento Circular Uniformemente Acelerado es aquel en que hay aceleración angular constante. Esto significa que en iguales intervalos de tiempo la rapidez angular cambia en iguales valores.

L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Como existe aceleración, para cada tiempo hay una velocidad distinta, pero se despeja de la definición de aceleración: α = Δω / Δt si ti = 0 (s) Queda: α = Δω / t, despejamos α*t = ωf – ωi  α*t + ωi = ωf Es la ecuación de la rapidez angular en función del tiempo

Ecuaciones del MCUA Como sabemos que: ω*t + θi = θf L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Como sabemos que: ω*t + θi = θf Pero ω no es constante, por lo que debemos buscar un valor promedio de ω: ω prom = ωi + ωf reemplazamos en la 2 ecuación anterior y queda: ( ωi + ωf )*t + θi = θf 2

L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Despejamos ( ωi + ωf )*t + θi = θf el paréntesis 2 ωi *t + ωf *t + θi = θf 2 2 Pero como: α*t + ωi = ωf Queda: ωi *t + (α*t + ωi )*t + θi = θf 2 2

L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Despejamos nuevamente el paréntesis: ωi *t + (α*t + ωi )*t + θi = θf 2 2 ωi *t + α*t*t + ωi *t + θi = θf 2 2 2 Finalmente sumamos términos semejantes: α*t^2 + ωi *t + θi = θf 2 Es la ecuación de la posición angular en función del tiempo para un objeto que se mueve con MCUA

L.A.M.M. Ejemplo: ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si partiendo del reposo su aceleración angular es de 20 (rad/s^2) . Como: α*t^2 + ωi *t + θi = θf 2 α*t^2 = Δθ 20*25 = Δθ = 250 (rd) 2 2

Ejemplo: Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido Y como: L.A.M.M. Ejemplo: Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido Y como: 2 π (rd) = 1 vuelta 250 (rd) = X vueltas Nos queda que dio: X = 39,788 vueltas.

Cinemática Rotacional (cantidades vectoriales) L.A.M.M. Cinemática Rotacional (cantidades vectoriales) Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar

Sistema de Coordenadas. L.A.M.M. Sistema de Coordenadas. Las cantidades vectoriales tienen módulo, dirección y sentido, por lo que necesitamos un sistema de referencia para poder indicar las variables vectoriales en el Movimiento Circular. En este caso se utiliza un sistema de coordenadas que es longitudinal y transversal a la posición del objeto.

La posición (vector) no es constante porque su dirección está cambiando!!!!! En estos casos es más conveniente no usar un sistema de coordenadas fijo sino usar coordenadas longitudinal (paralelo al vector R) y transversal (perpendicular al vector R).

L.A.M.M. Vector Velocidad. Como sabemos velocidad es cambio de posición en cierto tiempo, por tanto: Para todo el movimiento circular habrá velocidad puesto que siempre hay cambio de posición (vector). La velocidad siempre es tangente a la trayectoria, por lo tanto es perpendicular a R.

L.A.M.M. Velocidad (vector) Este valor de V (vector) es constante si el movimiento es MCU (con ω constante). V vale:

Aceleración. Existen dos tipos de aceleración: centrípeta ( o radial) L.A.M.M. Aceleración. Existen dos tipos de aceleración: centrípeta ( o radial) tangencial (perpendicular a R) Cuando el movimiento es MCU, la velocidad de la partícula permanece constante, y por lo tanto, la partícula no posee aceleración tangencial, pero como la dirección del vector velocidad varia continuamente, la partícula posee aceleración centrípeta.

L.A.M.M. Aceleración. Demostración: tomemos un cambio pequeño (ángulo de 8º) para el MCU.

L.A.M.M. Aceleración. Demostración: si restamos geométricamente los vectores Vf y Vi, nos queda en verde la dirección de la aceleración centrípeta: ac = ΔV/Δt Se llama centrípeta porque apunta hacia el centro de la circunferencia

Aceleración centrípeta. L.A.M.M. Aceleración centrípeta. El valor de la aceleración centrípeta es: y como: V = ω * R ,

Aceleración centrípeta. L.A.M.M. Aceleración centrípeta. La magnitud de la aceleración centrípeta es constante. Sólo su dirección (y sentido) cambian durante la rotación, puesto que siempre apunta al centro de la circunferencia.

L.A.M.M. Ejemplo: Para una esfera que rota en una circunferencia de radio 50 (cm) se sabe que su rapidez angular es de 3 (rd/s). a) ¿Cuánto vale su aceleración centrípeta? b) ¿Cuánto vale su rapidez tangencial? c) ¿Cuánto vale el periodo de rotación?

Solución: Como Ac = ω^2 * R Entonces: Ac = 9 * 0,5  Ac = 4,5 (m/s^2) L.A.M.M. Solución: Como Ac = ω^2 * R Entonces: Ac = 9 * 0,5  Ac = 4,5 (m/s^2) b) Como Ac = V^2  √(Ac * R) = V R V = 1,5 (m/s)

L.A.M.M. Solución: c) Sabemos que V = 2 π R T Entonces: T = 2 π R V  T = 2 π 0,5 (m) 1,5 (m/s) T = 2,094 (s)