OBJETIVO: Aplicar los principios básicos de la Lógica a la Matemática

SUMARIO Proposiciones simples: Principios Estructura lógica de la Matemática Operaciones con proposiciones Proposiciones compuestas: Tipos Tautologías, contradicciones e indeterminaciones Implicación y equivalencia lógicas Principales Tautologías Jerarquía de las operaciones Funciones proposicionales y cuantificadores Leyes de Morgan para cuantificadores Circuitos lógicos Ejercicios propuestos

Introducción: La lógica es una herramienta fundamental de la Matemática que determina la forma en que ésta se construye en todas sus ramas, básicamente con cuatro elementos conceptuales: términos no definidos, definiciones, axiomas y teoremas. La lógica es el lenguaje de la Matemática y por eso no constituye un fin en si misma. El objetivo central de su estudio no son las tablas de verdad y la demostración de tautologías complicadas sino la forma en que contribuye a determinar la estructura del pensamiento matemático.

Lógica Matemática Nos permite determinar cuando un razonamiento es correcto o incorrecto y si se aplica a la Matemática se denomina Lógica Matemática.

Proposiciones Simples: Es todo enunciado gramatical o expresión matemática de la que tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Ej: Quito es la capital del Ecuador proposición (V) Todo ángulo agudo es igual a 90 grados proposición (F) El sol es un satélite proposición (F) 1 kg = 1000 g proposición (V) Qué hora es? No es proposición Cállate! No es proposición No es proposición En conclusión toda proposición es una oración, pero no toda oración es una proposición

Valor de verdad de una proposición: Sea p una proposición cualquiera. Si la proposición p es verdadera, se utiliza la expresión: v (p) = V y se lee: “valor de verdad de p, verdadero” Si la proposición p es falsa se utiliza la expresión: v (p)=F y se lee: “valor de verdad de p, falso” Ej.: v(p) = V ; 1 ; T v(q) = En otros casos suele utilizarse los valores de 1 y 0 ( si se toma como referencia el sistema de numeración binario) ó T (true) y F (false) en lugar de verdadero y falso respectivamente.

Proposición compuesta: Se llama proposición compuesta a la combinación de dos proposiciones simples mediante términos lógicos (letras, palabras, vocablos) Ej.: Hugo Chávez está vivo o muerto

Tabla de verdad: Es una forma sencilla y concisa de indicar los valores de verdad de varias proposiciones de una manera ordenada, así: Para 1 proposición:

Principios Generales de las Proposiciones 1. Principio de No contradicción: Una proposición es solo verdadera o falsa, no puede tener los dos valores de verdad al mismo tiempo. 2. Principio del Tercero Excluído: Una proposición puede ser verdadera o falsa, no existe un tercer valor de verdad, porque la lógica que maneja la Matemática es binaria.

Estructura Lógica de la Matemática La lógica como herramienta esencial para construir el edificio matemático, lo hace a través de cuatro elementos conceptuales que son: 1. Términos no definidos: Son conceptos no expresados a través de otros términos más sencillos, pero de los cuales todos tenemos una idea similar. Ej.: Conjunto, número, punto, recta, plano, relación de pertenencia y otros 2. Definiciones: Son proposiciones que dan un significado a un símbolo, expresión, operación, palabra o términos. Ej.: definición de resta, definición de segmento de recta, definición de número impar, etc.

3. Axiomas: Son proposiciones que se suponen verdaderas y por lo tanto no necesitan ser demostradas Ej.: los axiomas de la suma, de la multiplicación, de la igualdad, de orden y otros. 4. Teoremas: Son proposiciones que deben ser demostradas. Ej.:

Operaciones con Proposiciones Se puede realizar operaciones lógicas con las proposiciones simples, las más usadas son: 1. Conjunción 2. Disyunción 3. Bidisyunción 4. Negación 5. Condicional 6. Bicondicional 7. Conjunción negativa

Conjunción ( ;...y…) Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (y) para formar una proposición compuesta llamada conjunción de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “p y q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Disyunción inclusiva ( ; …y/o…): Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (y/o) para formar una proposición compuesta llamada disyunción inclusiva de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “p y/o q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Disyunción exclusiva (Bidisyunción) ( ; …o…) Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (o) para formar una proposición compuesta llamada disyunción exclusiva de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “p o q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Negación ( ; No): Dada una proposición p cualquiera, se puede formar la negación de dicha proposición insertando el adverbio No en la proposición o anteponiendo la frase es falso. Simbólicamente se indica:, se lee “No p” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Doble negación (Negación de la negación) Dada una proposición p cualquiera, al efectuar la doble negación de dicha proposición, se obtiene la misma proposición inicial. Ej.: p: Jefferson Pérez ganó la competencia en el 2004 v(p)=V p: Jefferson Pérez no ganó la competencia en el 2004 v( p)=F No ganó es equivalente a Perdió p: Jefferson Pérez perdió la competencia en el 2004 v( p)=F

( p): Jefferson Pérez no perdió la competencia en el 2004 v[ ( p)]= V No perdió es equivalente a ganó ( p): Jefferson Pérez ganó la competencia en el 2004 v[ ( p)]= V Si la primera proposición es verdadera, al efectuar la doble negación, el valor de verdad de la proposición sigue siendo verdadera. Si la proposición inicial es falsa, luego de la doble negación, el valor de verdad sigue siendo falso,

lo dicho anteriormente se resume en la siguiente tabla de verdad:

Condicional ( ; si … entonces) : Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante las palabras (si entonces) para formar una proposición compuesta llamada condicional de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “si p entonces q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Bicondicional ( ; …si y solo si …): Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante el término lógico (si y solo si) para formar una proposición compuesta llamada bicondicional de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “p si y solo si q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Conjunción Negativa ( ; Ni … Ni …): Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante el término lógico (Ni ni) para formar una proposición compuesta llamada conjunción negativa de las dos primeras. Simbólicamente se indica:, se lee: “Ni p ni q” Su valor de verdad está dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Tipos de Proposiciones Compuestas: Recordemos que una proposición compuesta resulta de la combinación de proposiciones simples y operaciones lógicas, y las principales son: Tautologías, contradicciones e indeterminaciones

Tautologías: Se llaman también leyes lógicas y se consideran como tales si son siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples que las componen. Ej.: En la pizarra

Contradicciones: Se llaman también antitautología o falsedad lógica. Son proposiciones cuyo valor de verdad es siempre falso. Ej.: En la pizarra

Indeterminaciones: Se llaman también contingencias. Son proposiciones compuestas que no son tautologías ni contradicciones.

Polinomio booliano Es la expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENOR IMPORTANCIA

Implicación Lógica: Se dice que una proposición P implica lógicamente a una proposición Q y se representa así: si el condicional es una tautología.

Equivalencia Lógica Una proposición P es lógicamente equivalente a una proposición Q y se representa así:, si el bicondicional es una tautología

En Resumen:

Leyes del Álgebra Proposicional:

Otras leyes:

Otras Leyes:

NOTAS: 1) Si hay dos operadores iguales se procede de izquierda a derecha. 2) No existe una sola forma de simplificar una expresión lógica. 3) Los paréntesis destruyen la jerarquía porque señalan una operación que debe realizarse primero.

Ejercicios de Aplicación: Observe con mucha atención los ejercicios que se resolverán en la pizarra y transcríbalos a su cuaderno

Funciones Proposicionales y Cuantificadores : Funciones proposicionales en un conjunto A: Son expresiones que contienen una o más variables, las cuales toman sus valores del conjunto A. A las funciones proposicionales suelen llamárselas también oraciones abiertas o condiciones. Ej.: En la pizarra

Notas: 1. Una función proposicional no es ni verdadera ni falsa 2. Si el conjunto A de referencia llamado también universo de la variable no aparece escrito expresamente, se sobreentiende que es el conjunto de los números reales.

Cuantificadores: Son expresiones que limitan el alcance de la o las variables de una función proposicional y por lo tanto la transforman en una proposición. A continuación analizaremos dos tipos de cuantificadores: 1. Cuantificador Universal 2. Cuantificador Existencial

Leyes de Morgan para Cuantificadores:

Circuitos Lógicos: Resultan de la aplicación de la lógica a los circuitos eléctricos. Una proposición se representa por un interruptor, así: Si el interruptor está cerrado, p es verdadera y pasa corriente como en el gráfico anterior. Si el interruptor está abierto, p es falsa y no pasa corriente:

La operación de conjunción se representa como un circuito en serie, así: Y la operación de disyunción tiene la representación de un circuito en paralelo, así:

Las demás operaciones tienen representaciones que utilizan las dos anteriores. Ej.: se representa: así: A los circuitos lógicos se los denomina compuertas lógicas Ej.: En la pizarra