La elección óptima del consumidor Tema 4 La elección óptima del consumidor

Racionalidad económica Postulado básico: Un individuo elige siempre la cesta preferida de entre todo el conjunto de alternativas factibles El conjunto presupuestario constituye el conjunto de elección

Problema matemático Podemos formular matemáticamente nuestro problema como:

Problema de elección ¿Cómo podemos hallar dicha cesta? Consideramos que ambos bienes son realmente “bienes” Resolvemos el problema primero gráficamente y después matemáticamente

Elección óptima restringida x2 x1

Elección óptima restringida x2 m/p2 x2* Cestas alcanzables x1* m/p1 x1

Elección óptima restringida x2 (x1*,x2*) proporciona la mayor utilidad (alcanza la C.I. más alta) entre todas las cestas alcanzables m/p2 x2* m/p1 x1* x1

Elección óptima restringida x2 (x1*,x2*) es, por tanto, la cesta óptima m/p2 x2* m/p1 x1* x1

La cesta óptima Si (x1*,x2*) es interior y las preferencias son convexas, satisface dos condiciones: (1) Está localizada en la RP: p1x1* + p2x2* = m (2) Tangencia: la pendiente de la RP, -p1/p2, y la pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) coinciden: |RMS (x1*,x2*) |= p1/p2

La cesta óptima x2 m/p2 (x1*,x2*) está localizada en la RP: p1x1* + p2x2* = m x2* m/p1 x1* x1

La cesta óptima x2 (2) Tangencia: La pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) es igual a la pendiente de la RP m/p2 x2* m/p1 x1* x1

La cesta óptima ¿Cómo podemos utilizar esta información para resolver nuestro problema matemáticamente?

La cesta óptima: ejemplos Supongamos que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:

La cesta óptima: ejemplos Supón que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:

La cesta óptima Calculamos la RMS:

La cesta óptima La RMS es: Condición de tangencia: RMS (x1*,x2*) = -p1/p2

La cesta óptima Condición de tangencia: (1) (x1*,x2*) pertenece a la RP: (2)

La cesta óptima Despejamos (1) Sustituimos (2) obteniendo Esto se puede simplificar a ….

La cesta óptima Despejando: Sustituyendo en la condición de tangencia:

La cesta óptima Con las preferencias Cobb-Douglas, el individuo gasta una proporción fija de la renta en cada bien Gasta la proporción a/(a+b) en el bien 1 y la proporción b/(a+b) en el bien 2

La cesta óptima x2 x1

La cesta óptima Resumiendo, con preferencias regulares, la cesta óptima se halla resolviendo las dos condiciones: tangencia y pertenencia a la RP

Otra interpretación La condición de tangencia se puede rescribir como: En el óptimo, cada bien comprado debería proporcionar la misma utilidad marginal por euro gastado en el bien

Otra interpretación Si no se diese la igualdad, la renta disponible no estaría distribuida óptimamente entre el consumo de los bienes La utilidad podría incrementarse si gastáramos más renta en el bien cuya utilidad marginal por euro gastado es mayor

Otra interpretación Por ejemplo, supongamos que p1 = 20, p2 = 5, UM1 = 40 y UM2 = 15 Vemos que UM1/p1 = 2 < UM2/p2 = 3 Puedo reducir x1 en 1 unidad y aumentar x2 en 4 unidades gastando lo mismo La utilidad aumenta: baja en 40 por reducir x1 y sube en 60 por aumentar x2

Preferencias no convexas Una de las cestas obtenidas con las 2 condiciones minimiza la satisfacción entre todas las situadas en la RP x2 Las cestas óptimas x1

Preferencias no convexas Por lo tanto, la condición de tangencia es necesaria pero no suficiente para la optimalidad Es suficiente con preferencias convexas

La demanda del consumidor La elección óptima se denomina cesta demandada por el consumidor. La función de demanda es aquella que relaciona la cesta óptima con los precios y la renta. Se escribe: x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m)

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = -a/b U(x1,x2) = ax1 + bx2 x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = -a/b m/p2 Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b m/p1 x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = -a/b m/p2 Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b m/p1 x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = -a/b Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b m/p1 x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = - a/b m/p2 Pendiente RP = -p1/p2 con p1/p2 < a/b x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 RMS = -a/b m/p2 Pendiente RP= -p1/p2=-a/b m/p1 x1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos x2 Todas las cestas situadas en la RP proporcionan la misma satisfacción m/p2 x1 m/p1

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos En resumen, dada la función de utilidad U(x1,x2) = a x1 + b x2, la cesta óptima es: si p1/p2 < a/b si p1/p2 = a/b si p1/p2 > a/b

Soluciones esquina: preferencias cóncavas x2 Mejor x1

Soluciones esquina: preferencias cóncavas x2 m/p2 m/p1 x1

Soluciones esquina: preferencias cóncavas x2 ¿Cuál es la cesta preferida? m/p2 m/p1 x1

Soluciones esquina: preferencias cóncavas x2 m/p2 La cesta óptima x1 m/p1

Soluciones esquina: preferencias cóncavas La cesta obtenida con las 2 condiciones minimiza la satisfacción entre todas las situadas en la RP x2 m/p2 La cesta óptima m/p1 x1

Soluciones esquina: preferencias cóncavas x2 La cesta óptima m/p2 m/p1 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 x2 = (a/b)x1 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 x2 = (a/b)x1 RMS = 0 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 ¥ RMS = - x2 = (a/b)x1 RMS = 0 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 ¥ RMS = - RMS no definida x2 = (a/b)x1 RMS = 0 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 x2 = (a/b)x1 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 ¿Cuál es la preferida? x2 = (a/b)x1 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 La cesta óptima x2 = (a/b)x1 x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 x2 = (a/b)x1 x2* x1* x1

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 (1) p1x1* + p2x2* = m (2) x2* = (a/b)x1* x2 = (a/b)x1 x2* x1* x1

Complementarios perfectos (1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1*. Sustitutimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = m

Complementarios perfectos (1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1* Sustituimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = m con lo que:

Complementarios perfectos U(x1,x2) = min{ax1,bx2} x2 x2 = (a/b)x1 x1

Complementarios perfectos Los dos bienes siempre se consumen juntos en una proporción de (a/b) unidades del bien 2 por unidad del bien 1. Esta combinación constituye una cesta completa Cada cesta “completa” cuesta p1+(a/b)p2 por lo que el individuo se podrá comprar un máximo de m/[p1+(a/b)p2] cestas completas

Bienes neutrales y males En el caso de los bienes neutrales o males, el consumidor gasta toda su renta únicamente en la mercancía que le reporta satisfacción (el que es realmente un “bien”)

La condición de la RMS En el caso de solución interior y preferencias convexas el cociente de precios nos da el valor de la RMS, es decir, cuánto está dispuesto a sacrificar de un bien el consumidor para obtener una mayor cantidad del otro El hecho de que los precios no son números arbitrarios, sino que reflejan cómo valoran los consumidores los bienes en el margen es una de las ideas fundamentales en Economía

La condición de la RMS La observación de diferentes elecciones a diferentes precios nos da información sobre las preferencias del individuo, porque conocemos su RMS en diferentes puntos

La condición de la RMS Como los precios son iguales para todo el mundo, todos los consumidores que consuman de los dos bienes tendrán la misma RMS Por lo tanto, todos los consumidores valorarán de la misma forma una variación marginal del consumo

La condición de la RMS El precio de un litro de leche es 1€ y un cuarto de kilo de mantequilla cuesta 2€ La RMS de todos los consumidores debe ser 2: hay que darles un cuarto de kilo de mantequilla para que les compense por renunciar a 2 litros de leche

La elección del impuesto El Gobierno desea recaudar Z euros ¿Qué tipo de impuesto debe imponer, uno sobre la renta o uno sobre la cantidad? RP original: p1x1+p2x2=m Impuesto sobre la cantidad: gravamos el bien 1 al tipo t. RP con t: (p1+ t)x1+p2x2=m La pendiente es: –(p1+ t)/p2

La elección del impuesto La elección óptima dependerá del valor de t y cumplirá las dos condiciones: (1) (p1+ t)x1* + p2x2*=m (2) |RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2 Recaudación: t es elegido de forma que tx1* = Z Considera ahora un impuesto sobre la renta que recauda la misma cantidad

La elección del impuesto La nueva RP es: p1x1+p2x2=m-Z La pendiente es: –p1/p2 Cesta óptima: (x1**, x2**) La cesta óptima satisface las dos condiciones: (1) p1x1** + p2x2**=m-Z (2) |RMS(x1**, x2**)|= p1/p2

La elección del impuesto ¿Sigue siendo la cesta óptima con t asequible? Si lo fuese, entonces se cumpliría que p1x1* + p2x2*≤ m-Z Sabemos que (p1+ t)x1* + p2x2*= m y que tx1* = Z Lo podemos reescribir como: p1x1*+p2x2* = m-Z Como es asequible, pertenece a la RP

La elección del impuesto ¿Es óptima? No! La condición de tangencia no se cumple: La nueva RP no es tangente, sino que corta a una C.I. en (x1*, x2*) Es posible mejorar el bienestar del individuo consumiendo una mayor cantidad del bien 1: (x1**, x2**) |RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2 > p1/p2

La elección del impuesto x2 m Suponemos p2 = 1 x2´ x1´ m/p1 x1

La elección del impuesto x2 m x2* x1* m/(p1+ t) m/p1 x1

La elección del impuesto x2 m Ingresos gobierno: tx1*=Z m-p1x1* m-(p1+t)x1* m/(p1+ t) m/p1 x1* x1

La elección del impuesto x2 m m - Z Nueva RP: p1x1+p2x2=m-Z Paralela a la original x2* m/(p1+ t) (m-Z)/p1 m/p1 x1* x1

La elección del impuesto x2 La cesta (x1*, x2*) no es óptima con el impuesto sobre la renta x2* x2** x1* x1** x1

La elección del impuesto x2 Mismos ingresos: Z Con el impuesto sobre la renta se alcanza un mayor bienestar m m - Z x2* x2** x1* x1** x1

La elección del impuesto Conclusión: Un impuesto sobre la renta es superior a un impuesto sobre la cantidad que recaude los mismos ingresos para el Gobierno ya que el consumidor disfrutará de un mayor bienestar

Limitaciones Muchos individuos con diferente renta Un impuesto sobre la renta uniforme para todos los consumidores no es necesariamente mejor que un impuesto sobre la cantidad uniforme (piénsese en el consumidor que no consume de bien 1) Si la renta proviene del trabajo, al gravarla se desincentivará el conseguirla Análisis parcial: no hemos considerado la respuesta de la oferta al impuesto