PROBLEMAS RESUELTOS ELECTROMAGNETISMO Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM.

PROBLEMA 1. Una espira cuadrada de lado L y resistencia R está situada dentro de un campo magnético uniforme perpendicular a su plano. Si tiramos de dos esquinas opuestas del cuadrado en sentidos contrarios de modo que el cuadrado se deforme adquiriendo progresivamente forma de rombo, ¿qué procesos físicos tienen lugar en la espira? Cuando la espira cuadrada se deforma en forma de rombo, su área S disminuye a medida que se van cerrando los ángulos de las esquinas desde las cuales se tira en sentidos contrarios. La disminución del área provoca una disminución (en valor absoluto) del flujo del campo magnético B a través de la superficie del rombo, y esto dará lugar a una fuerza electromotriz inducida  en el contorno delimitado por la espira (ley de Faraday). Como la espira es conductora, esta fem inducida originará una corriente eléctrica de intensidad I que circulará a lo largo de la espira. Elegimos S paralelo a B. Cuadrado lado L Rombo lado L Sentido + Sentido + El sentido positivo para el recorrido de un contorno está relacionado con el vector superficie por la regla de la mano derecha pues el área disminuye El sentido del campo eléctrico inducido (cuya circulación sobre la espira es igual a la fem) tiene el sentido antihorario: al elegir S paralelo a B hemos considerado positivo dicho sentido. La corriente también tiene por lo tanto sentido antihorario. Ley de Faraday Flujo magnético Variación flujo B es constante PREGUNTA: ¿Cuál sería el resultado si hubiésemos elegido S antiparalelo a B?

PROBLEMA 2. Sea una espira conductora de radio R por la que circula la corriente constante I. Sobre el eje perpendicular a la espira hay un pequeño disco conductor delgado de radio r (r << R) cuyo plano se mantiene paralelo al plano de la espira. El disco se mueve con velocidad constante v a lo largo de dicho eje perpendicular. Hallar la distancia entre disco y espira para la cual la fuerza electromotriz inducida en el disco es máxima. Campo magnético B en el punto z del eje de una espira circular (R) que lleva la corriente I Aproximamos el flujo a través del disco de radio r (al ser r<<R) como el producto del campo B en el eje multiplicado por el área del disco Velocidad constante Para obtener el valor máximo de la fem es conveniente expresar este resultado en función del parámetro adimensional z/R

y calculemos el máximo de f derivando respecto a z/R PROBLEMA 2 (Cont.) Para calcular el máximo llamemos fem inducida y calculemos el máximo de f derivando respecto a z/R Nunca es igual a cero Unidades de fem Habrá máximo o mínimo de  donde haya máximo o mínimo de f, ya que  y f son proporcionales. Igualamos a cero: máximo Interpretación física: en la posición z/R = +0.5 la fem inducida es máxima, la circulación del campo eléctrico inducido en el disco es positiva. En z/R = -0.5 la fem inducida tendrá el mismo valor absoluto, pero su signo será opuesto porque la circulación del campo eléctrico inducido tendrá sentido contrario. Gráfica de fem  en función del parámetro adimensional z/R Alternativa para comprobación de máximo y mínimo: segunda derivada y sustitución para z/R = 0.5

PROBLEMA 3. (a) Verifique que la densidad de corriente uniforme origina un potencial magnético vectorial igual a (b) Determinar el campo H a partir de: 1) el potencial vector; 2) la densidad de corriente. (a) Partiendo de la ley circuital de Ampère y de la definición de potencial vector Igualdad vectorial: Elegimos A de modo que su divergencia sea nula Ec. vectorial de Poisson Ecuaciones escalares de Poisson El potencial vectorial A dado en el enunciado sólo tiene componente z Aspecto de la distribución de corriente propuesta Pues la densidad de corriente no tiene componentes x ni y

PROBLEMA 3 (Cont.) b1) Puesto que conocemos el potencial vector de la distribución de corriente dada, pues ya demostramos antes que efectivamente , introducimos el campo H partiendo de la relación Aspecto del campo H alrededor de la distribución de corriente. Transformación cartesianas-cilíndricas Aspecto de la distribución de corriente propuesta saliente Eje Z saliente Nota: como la distribución de corriente se extiende indefinidamente en el plano XY, el módulo del campo H es mayor a medida que nos alejamos del eje Z, pues habrá más corriente abarcada según aumenta la distancia radial al origen de coordenadas.

PROBLEMA 3 (Cont.) b2) Calculamos el campo H aplicando la ley de Ampère en forma integral. Tomamos una circunferencia C de radio r alrededor del eje Z para calcular la circulación de H a lo largo de la misma. Eje Z saliente La simetría alrededor del eje Z implica que el vector H a lo largo de la curva C debe ser de módulo constante y tangente a la misma: por lo tanto paralelo a los elementos de longitud de la circunferencia. Ienc es la corriente encerrada por C Mismo resultado del caso b1 Transformando de coordenadas cilíndricas a cartesianas (paso inverso al del apartado b1) se tiene

Superficie separación plano XY PROBLEMA 4. La frontera entre dos regiones de permeabilidades magnéticas m1 y m2 es el plano paralelo al eje Z. No hay corrientes superficiales y el campo magnético en el medio 1 es Calcular el campo magnético en el medio 2 y el ángulo entre el campo en el medio 1 y el eje Z. Particularizar para m1 = m0 , m2 = 2m1 = 2m0 Al no haber corrientes superficiales, las componentes de los campos H tangentes a la frontera entre ambos medios tienen que ser continuas. Para los campos B son continuas las componentes normales a la frontera Por tanto, si el campo H1 es el campo H2 será Componentes tangentes de H (continuas) Ángulo entre el campo H1 y el eje Z (véase figura) Superficie separación plano XY

Reluctancia equivalente circuito completo: PROBLEMA 5. Determinar la intensidad de corriente I que debe circular por el arrollamiento de 400 espiras del circuito magnético de la figura de modo que el campo magnético en el entrehierro sea B = 1.5 Wb/m2. El núcleo está constituido por un material lineal cuya permeabilidad es m = 50 m0, y todas las ramas del circuito son iguales, con una sección recta A = 10 cm2. Teniendo en cuenta las longitudes promedio de las ramas del circuito se determinan las reluctancias. La rama central (camino PCDQ) está formada por tres tramos que constituyen un sistema de tres reluctancias en serie: Las ramas PRSQ y PMNQ tienen igual reluctancia, por ser iguales sus propiedades magnéticas, longitud y área. Su reluctancia equivalente es la mitad de la de cada una de ellas, porque están conectadas en paralelo. Reluctancia equivalente circuito completo:

Reluctancia equivalente circuito completo: PROBLEMA 5 (Cont.) Equivalencia circuito magnético  Reluctancia equivalente circuito completo: Puesto que en el entrehierro CD tiene que haber un campo B = 1.5 T, el flujo magnético allí ha de ser Analogía de la ley de Ohm para el circuito magnético: