TEORIA DE COLAS

Antecedentes La teoría de colas es una de esas herramientas que ayudan a dar servicios adecuados con tiempos de respuestas oportunos, esta fue originada por Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Las colas… Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: En un banco En un restaurante de comidas rápidas Al matricular en la universidad Los autos en un lavado.

Las colas… En general, a nadie le gusta esperar Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado Es necesario encontrar un balance adecuado

TEORIA DE COLAS Una cola es una línea de espera La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares

Objetivo de la teoría de colas El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

TEORIA DE COLAS Existen muchos sistemas de colas distintos Algunos modelos son muy especiales Otros se ajustan a modelos más generales Otros se pueden tratar a través de la simulación

sistemas de colas: modelo básico Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola La instalación del servicio Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio

sistemas de colas: modelo básico Los clientes o llegadas pueden ser: Personas Automóviles Máquinas que requieren reparación Documentos Entre muchos otros tipos de artículos

sistemas de colas: modelo básico Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio Si no, se une a la cola Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio

sistemas de colas: modelo básico Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola Generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades

Estructura típicas de un sistema de colas: una línea, un servidor Llegadas Salidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Servidor Cola Llegadas Salidas Servidor Salidas Servidor

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Cola Servidor Llegadas Salidas Cola Servidor Salidas Cola Servidor

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Cola Salidas Servidor

Notación de Kendall En el año de 1953 el matemático David G. Kendall, originario de Inglaterra, implementó la notación de colas, la cual es utilizada para identificar las características de una línea de espera por medio de iniciales. Un sistema podrá ser notado de la siguiente manera, A/B/X/Y/Z/V: A es el modelo de llegadas, valores posibles: M=tiempos entre llegadas exponenciales D=tiempos entre llegadas deterministas G=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución) B es el modelo de servicio , puede tomar los mismos valores que A X es el número de servidores Y es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), se puede omitir si es infinita. Z es la disciplina, se puede omitir si es FIFO V es el número de estados de servicio, se puede omitir si es 1

Clasificación de los Modelos de Colas Se utilizan diferentes letras para designar ciertas distribuciones. Las reglas convencionales siguientes son de uso general: M = distribución exponencial D = número determinístico G = cualquier distribución de tiempos de servicio GI = cualquier distribución de tiempos de llegada

Clasificación de las colas.

Características de la Operación λ = Promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas) 1/λ = Tiempo entre llegadas µ =Promedio de servicios en el periodo 1/ µ=Tiempo entre servicios

Hipótesis 1.-La línea de espera tiene un solo servidor. 2.-Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson. 3.-Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial 4.-La disciplina de la cola es primero en llegar , primero en ser servido 5.- El sistema esta en estado estable 6.- el factor de utilización es menos a 1.

Formulas Para el modelo mm1 Ls = λ µ-λ Ws = 1 Lq = λˢ µ(µ-λ) Wq = P₀ = 1-ρ P = µ Longitud o cantidad en el sistema Tiempo de espera en el sistema Longitud o cantidad en la cola Tiempo de espera en la cola Probabilidad de que no haya nadie en el sistema Factor de uso del sistema o porcentaje de uso Pn = 1- λ ² µ Probabilidad de que haya n.. En el sistema λ = Promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas) µ =Promedio de servicios en el periodo

EJEMPLO MM1 Una doctora pasa en promedio 20 minutos con sus pacientes, si el tiempo estimado de espera en la fila es de 30 minutos determine: Numero promedio de llegadas. Tiempo promedio que pasa un cliente en todo el sistema Factor de uso del sistema Numero de personas en el sistema Numero de personas en la fila. Probabilidad de que no hay ningún cliente en el sistema Probabilidad de que haya al menos 3 clientes en el sistema.

Ejemplo MMS La empresa STECO recibe 40 llamadas por cada hora transcurrida y un operador puede despachar 30 llamadas cada hora. La administración estima que le cuesta $30 USD mantener un cliente esperando y paga a $12 USD la hora laborada por a un operador. Determinar el costo por usar: a) 2 operadores b) 3 operadores.

eJEMPLO: ¿es conveniente abrir una nueva ventanilla?

eJEMPLO: ¿UN SERVIDOR RAPIDO O MUCHOS LENTOS?

Gracias-