Subtema 4.1.2. Fuerzas en el espacio.

Una fuerza F en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx , Fy y Fz. Denotado por:

Los ángulos que F forma, respectivamente, con los ejes x, y, y z se tiene:

Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh ; esta operación , se lleva acabo en el plano OBAC siguiendo las reglas desarrolladas en la primera parte de este capitulo. *Las componentes escalares correspondientes son: Fy= F cos θy Fh= F sen θy *Fh se puede descomponer en dos componen- tes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes x y z , respectivamente.

De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes escalares de Fx y Fz: Fx= Fh cos Ф = F sen θ y cos Φ Fz= Fh sen Φ = F sen θ y sen Φ La fuerza dada F se descompone en tres componentes vectoriales rectangulares : Fx, Fy y Fz.

Aplicando el teorema el teorema de Pitágoras a los triángulos OBA y OCD: F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h F²= (OC)² =(OD)²+(DC)²=F²x + F²z Eliminando Fh de estas dos escalares y resolviendo para F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares : _______________ F=√ Fx² + Fy² + Fz²

Problemas de vectores en el espacio 1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45°, y 120° con los ejes x, y, y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza. A) Fx = F cos θx = Fx = 500 N x cos 60° Fx = 500 N x 0.5 = 250 N. Fy = F cos θy = Fy = 500 N x cos 45° Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N. Fz = F cos θz = Fz = 500 N x cos 120° Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.

Este último resultado es importante Este último resultado es importante. Siempre que una componente tenga un ángulo obtuso, la componente tendrá un signo negativo y viceversa.

2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza resultante F, y los ángulos Θx, Θy y Θz. _______________ F=√ Fx² + Fy² + Fz² ________________________ F =√(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2 _____________________________ F =√400 lb + 900 lb + 3600 lb ________ F = √4900 lb F = 70 lb.

b) cos θx = Fx/F θx = 20 lb/70 lb = 0.2857. θx = cos-1 0.2857 = 73.4°. cos θy = Fy/F θy = - 30 lb/70 lb = -0.4285 θy = cos -1 -0.4285 = 115.4°. cos θz = Fz/F θz = 60 lb/70 lb = 0.8571. θz = cos-1 0.8571 = 31°.

3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz). Cos Θx = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424 Θx = cos-1 - 0.424 = 115.1°. Cos Θy = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848. Θy = cos-1 0.848 = 32°. Cos Θz = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318 Θz = cos-1 0.318 = 71.5°.

4.- Determine la magnitud y dirección (Θx, Θy, Θz) de la fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k. ____________ F = √Fx² + Fy² + Fz² ___________________________ F = √(260 N)2 + (-320 N)2 + (800 N)2 ____________________________ F= √67600 N + 102400 N + 640000 N ________ F = √810000 N F = 900 N.

b) cos θx = Fx/F θx = 260 N/900 N = 0. 2888. θx = cos-1 0. 2888 = 73 cos θy = Fy/F θy = - 320 N/900 N = -0.3555 θy = cos-1 – 0.3555 = 110.8°. cos θz = Fz/F θz = 800 N/900 N = 0.8888 θz = cos-1 0.8888 = 27.3 °.

5.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación: F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N)k. ____________ F = √Fx² + Fy² + Fz² ___________________________ F = √(320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2 ____________________________ F= √102400 N + 160000 N + 62500 N ________ F = √324900 F = 570 N.

b) cos θx = Fx/F θx = 320 N/570 N = 0. 5614. θx = cos-1 0. 5614 = 55 cos θy = Fy/F θy = 400 N/570 N = 0.7017 θy = cos-1 0.7017 = 45.4 °. cos θz = Fz/F θz = -250 N/576 N = - 0.4340. θz = cos-1 -0.4340 = 116 °.

6. - El tirante de una torre, está anclado por medio de un perno en A 6.- El tirante de una torre, está anclado por medio de un perno en A. La tensión en dicho cable es de 2500 Newtons. Determine las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno, conociendo que dx = -40 m, dy = +80 m, dz = +30 m..

____________ d = √dx² + dy² + dz² _______________________ d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2 ____________________________________ d = √ 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2. ________ d = √8900 m2. d = 94.33 m

Fx = dx F d Fx = - 40 m (2500 N) 94.33 m Fx = - 0.4240 (2500) = -1060 N. Fy = dy F Fy = 80 m (2500 N) Fy = 0.8480 (2500) = 2120 N. Fz = dz F Fy = 30 m (2500 N) Fy = 0.3180 (2500) = 795 N.

7.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx. cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando cos2 Θx tenemos: cos2 Θx= 1- (cos2 Θy + cos2Θz).

Sustituyendo valores: cos2 Θx = 1 - (cos2 55°+ cos2 45°) cos2 Θx= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx: ______ cos Θx= √0.1711 = 0.4136.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0 Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación: Fx = F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos Θx Sustituyendo valores: F= 500 lb /0.4136 = 1209 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= FcosΘy y Fz= Fcos Θz. Sustituyendo valores: Fy= 1209 N x cos 55° F y= 1209 N x 0.5735 Fy= +694 N Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación: Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135. Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°. Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa. Recapitulando: las respuestas son: Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4

8.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definida por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de Fy = -174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θy. cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando cos2 Θy tenemos: cos2 Θy= 1- (cos2 Θx + cos2Θz).

Sustituyendo valores: cos2 Θy = 1 - (cos2 69.3°+ cos2 57.9°) cos2 Θy= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)= 0.5928. Este resultado es el coseno cuadrado de Θy, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx: ______ cos Θx= √0.5928 = 0.7699.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0 Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0.7699) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fy, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación: Fy = F cos Θy. despejando F tenemos: F= Fy/cos Θy Sustituyendo valores: F= 174 lb /0.7699 = 226 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fz= Fcos Θz. Sustituyendo valores: Fx= 226 lb x cos 69.3 ° Fx= 226 lb x 0.3534 Fx= 79.9 lb Fz= 226 lb x cos 57.9° Fz = 226 lb x 0.5313 =120.1 lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θy, mediante la siguiente ecuación: Fy= Fcos Θy. Despejando cos Θy= Fy/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θy= -174 lb/226 lb= cos Θy= -0.7699 Θy= cos-1 -0.7699. Θy= 140.3°. Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa. Recapitulando: las respuestas son: Fx= 76.9 lb, Fz= 120.1 lb, b) F= 226 lb, c) Θy= 140.3°

9. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por los ángulos Θx=70.9°,y Θy=144.9°. Sabiendo que la componente z de la fuerza es de Fz = -52 lb, determine: a) el ángulo Θz y b) las componentes restantes (Fx y Fy) y la magnitud de la fuerza F. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θz. cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando cos2 Θz tenemos: cos2 Θz= 1- (cos2 Θx + cos2Θy).

Sustituyendo valores: cos2 Θz = 1 - (cos2 70.9°+ cos2 144.9°) cos2 Θz= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)= 0.2237. Este resultado es el coseno cuadrado de Θz, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θz: ______ cos Θz= √0.2237 = 0.4729.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θz (0 Una vez obtenido el valor del coseno de Θz (0.4729) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fz, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva, con la ecuación: Fz = F cos Θz. despejando F tenemos: F= Fz/cos Θy Sustituyendo valores: F= 52 lb /0.4729 = 110 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fy con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fy= Fcos Θy. Sustituyendo valores: Fx= 110 lb x cos 70.9 ° Fx= 110 lb x 0.3272 Fx= 36 lb Fy= 110 lb x cos 144.9° Fy = 110 lb x - 0.8181 = - 90 lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θz, mediante la siguiente ecuación: Fz= Fcos Θz. Despejando cos Θz= Fz/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θz= - 52 lb/110 lb= cos Θz= -0.4727 Θz= cos-1 -04727. Θz= 118.2°. Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa. Recapitulando: las respuestas son: Fx= 36 lb, Fy= - 90 lb, b) F= 110 lb, c) Θz= 118.2°

10.- Una fuerza F de magnitud 230 Newtons, actúa en el origen de un sistema coordenado. Sabiendo que θx = 32.5°, Fy = - 60 Newtons y Fz>0, determine a) las componentes Fx, y Fz y b) los ángulos θy, y θz. a) Primero hallamos Fx, con la fórmula Fx = F cos θx. Sustituyendo tenemos: Fx = 230 N x cos 32.5° Fx = 230 N x 0.8433 = 193.98 Newtons.

Como conocemos Fy y F, obtenemos ahora θy, con la fórmula: Fy = F cos θy. Despejando cos θy tenemos: Cos θy = Fy/ F. Cos θy = - 60 N = - 0.2608 230 N θy = cos-1 -0.2608 = 105.12°. Para hallar la componente Fz, debemos hallar primero θz, con la fórmula: cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1. Despejando cos2Θz, tenemos: cos2Θz = 1- (cos2 Θx + cos2 Θy)

Sustituyendo valores tenemos: cos2Θz = 1- (cos2 32.5° + cos2 105.12°) cos2Θz = 1- (0.7113 + 0.0680) cos2Θz = 1-0.7793 = 0.2207. ______ Cos Θz = √0.2207 = 0.4697 Θz = cos-1 0.4697 = 61.97°. Fz = F cos Θz. F = 230 N x 0.4697 = 108.05 N. Los resultados son entonces: a) Fx = 193.98 N, Fz = 108.05 N b) Θy = 105.12°, Θz = 61.97°.

11.- Una fuerza F de magnitud 210 Newtons, actúa en el origen de un sistema coordenado. Sabiendo que Fx = 80 N, θz = 151.2° y Fy >0. Determine a) las componentes Fy y Fz y los ángulos θx y θy. a) Primero hallamos Fz, con la fórmula Fz = F cos θz. Sustituyendo tenemos: Fz = 210 N x cos 151.2° Fz = 230 N x - 0.8763 = 184 Newtons.

Como conocemos Fx y F, obtenemos ahora θx, con la fórmula: Fx = F cos θx. Despejando cos θx tenemos: Cos θx = Fx/ F. Cos θx = 80 N = 0.3809 210 N θx = cos-1 0.3809 = 67.6°. Para hallar la componente Fy, debemos hallar primero θy, con la fórmula: cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1. Despejando cos2Θy, tenemos: cos2Θx = 1- (cos2 Θx + cos2 Θz)

Sustituyendo valores tenemos: cos2Θy = 1- (cos2 67.6° + cos2 151.2°) cos2Θy = 1- (0.1452+ 0.7679) cos2Θy = 1-0.9131 = 0.0869. ______ Cos Θy = √0.0869 = 0.2947 Θy = cos-1 0.2947 = 72.85°. Fy = F cos Θy. F = 210 N x 0.2947 = 61.88 N. Los resultados son entonces: a) Fz = 184 N, Fy = 61.88 N b) Θx = 67.6°, Θy = 61.88°.