TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q por el coseno del ángulo θ formado por P y Q como se ve en la figura siguiente. El producto escalar de P y Q se denota P.Q entonces se escribe: P. Q = PQ cos θ. (1).

Q P θ

Observe que la expresión que se acaba de definir no es un vector sino un escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de la notación utilizada, P.Q también se conoce como el producto punto de los vectores P y Q. A partir de su propia definición, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que: P. Q = Q. P

El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse en términos de los componentes rectangulares de dichos vectores. Descomponiendo a P y a Q en sus componentes se escribe primero: P . Q = (Pxi + Pyj + Pzk) . (Qxi + Qyj + Qzk). Haciendo uso de la propiedad distributiva, P.Q se expresa como la suma de los productos escalares, tales como Pxi. Qxi y Pyj.Qyj. Sin embargo, a partir de la definición de del producto escalar se concluye que los productos escalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno.

i . i = 1 j . j = 1 k . k = 1 i x j = 0 j . k = 0 k . i= 0 Por lo tanto la expresión obtenida para P.Q, se reduce a: P.Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz. (2) En el caso particular cuando P y Q son iguales, se observa que: P. P = Px2 + Py2 + Pz2 = P2.

APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR. 1.- Angulo formado por dos vectores dados.- Considere que los dos vectores están dados en términos de sus componentes: P = Pxi + Pyj + Pzk. Q = Qxi + Qyj + Qzk Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores, se igualan las expresiones obtenidas para el producto escalar en las ecuaciones (1) y (2) y se escribe: PQ cos θ = PxQx + PyQy + PzQz. Despejando cos θ tenemos: Cos θ = PxQx + PyQy + PzQz. PQ

2. - Proyección de un vector sobre un eje dado 2.- Proyección de un vector sobre un eje dado. Considere un vector P que forma un ángulo θ con un eje, o línea OL. La proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar: POL = P cos θ.

Ejercicios de productos escalares. Dado los vectores P = 4i+ 3j – 2 k, q= -i + 4j -5k calcule el producto escalar p.q -4 i + 12 j + 10 k = 18. Dado los vectores p = 4i +3j- 2k, s = i + 4j + 3k, calcule el producto escalar p.s 4i + 12j - 6k=10.

Dado los vectores q = -i + 4j -5k y s = i + 4j+ 3k, calcule el producto escalar q.s. Dado los vectores p = 2i + 6j -3k y q = -4i + 8j -6k, calcule el producto escalar de p.q. -8i + 48j + 18k= 58.

Calculo del ángulo formado por 2 vectores, dados sus componentes rectangulares. 1.- Calcular el ángulo que forman los vectores p y q, expresados en sus componentes rectangulares, siendo p= 4i- 3j + k y q = -i -2j + 2k. producto escalar: -4 i + 6 j + 2 k = 4 cos θ = 4_______ _______________ ________________ √(4)2 + (-3)2 + (1)2 x √(-1)2 + (-2)2 + (2)2. ___________ _________ √16 + 9 + 1 x √ 1 + 4 + 4. ___ __ √26 x √9 cos θ = 4_______ = 4_____ = 0.2619 5.09 x 3 15.27 θ = cos-1 0.2649 = 74.81°.

2.- calcule el ángulo entre los vectores p y q siendo las componentes de p y q las siguientes. P = -4i + 8j-3k, q = 2i + j + k. Producto escalar= -8 i + 8 j + 3 k = 3 ________________ ________________ cos θ = 3/√(-4)2 + (8)2 + (3)2 x √(2)2 + (1)2 + (1)2 __________ ________ cos θ = 3/√16 + 64 + 9 x √4 + 1 +1 __ ___ cos θ = 3/√89 x √6 cos θ = 3/9.43 x 2.44 cos θ = 3/23.10 = 0.1298 θ = cos-1 0.1298 = 82.54°.

producto escalar: 5 i + 0 j + -4 k = 1 _______________ __________ 3.- Calcule el ángulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares las sigiuente. p = i-7j+ 4k y q= 5i-k. producto escalar: 5 i + 0 j + -4 k = 1 _______________ __________ cos θ = 1/√(1)2 + (7)2 + (4)2 x √(5)2 + (-1)2. __________ _______ cos θ = 1/√1 + 49 + 16 x √ 25 + 1. ___ ___ cos θ = 1/√66 x √ 26. cos θ = 1/8.12 x 5.09. cos θ = 1/41.33 cos θ = 0.0241. θ = cos-1 0.0241 = 88.61°.

4.- Calcule el ángulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares los siguientes. P = -2i-3j y q = -6i+4k. Producto escalar: 12 i + 0 + 0 = 12 _____________ __________ cos θ = 12/√(-2)2 + (-3)2 x √(-6)2 + (4)2. _____ ________ cos θ = 12/√4 + 9 x √ 36 + 16. __ ____ cos θ = 12/√13 x √ 52 cos θ = 12/3.60 x 7.21 cos θ = 12/ 25.95 cos θ = 0.4624 θ = cos-1 0.4624 = 62.45°.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido, a continuación se introducirá un nuevo concepto: el concepto del momento de una fuerza respecto a un eje. Este concepto se podrá entender más fácilmente y podrá aplicarse en una forma más efectiva si primero se agrega a las herramientas matemáticas disponibles, el producto vectorial de 2 vectores.

El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones: La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y a Q como se ve en la figura siguiente.

V = P x Q Q P θ

2.- La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q con el seno del ángulo θ.formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°); por lo tanto, se tiene que: V = PQ sen θ. (1)

3. La dirección de V se obtiene a partir de la mano derecha 3. La dirección de V se obtiene a partir de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de tal forma que sus dedos estén doblados en el mismo sentido que la rotación a través del ángulo θ. que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces su dedo pulgar, indicará la dirección del vector V. Obsérvese que si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primero se deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se dice que los tres vectores P, Q, y V (tomados en ese orden) forman una tríada a derechas.

Como se mencionó anteriormente, el vector V satisface estas tres condiciones (las cuales la definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresión matemática: V = P X Q. (2). En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q también se conoce como el producto cruz de P y Q.

A partir de la ecuación 1, se concluye que cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección o direcciones opuestas su producto vectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ángulo θ formado por los dos vectores no es 0° ni 180°, a la ecuación 1 se le puede dar una interpretación geométrica simple : La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual a área del paralelogramo que tiene como lados a P y Q como se ve en la figura siguiente.

V Q Q’ P

La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a P y a Q de la figura anterior. Por lo tanto, el producto vectorial P X Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q’ que sea coplanar a P y a Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Q y Q’ sea paralela a P. Así se escribe: V = P X Q = P X Q’.

A partir de la tercera condición empleada para definir el producto vectorial V de P y Q, esto es, la condición que establece que P, Q, y V deben formar una tríada a derechas, se concluye que los productos vectoriales no son conmutativos, es decir, Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar fácilmente que Q X P está representado por el vector –V que es igual y opuesto a V. Entonces se escribe: Q X P = - (P X Q).