Ejemplo #3 Un tren en reposo comienza a moverse y aumenta su rapidez de cero hasta 18 m/s en 6 segundos. ¿Cuál es su aceleración? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado # 3 vf= 18 m/s t = 6 s a=? a = D V = Vf – Vi = D t t2 – t1 (18m/s -0 m/s)/ (6 s) = 3 m/s2 Un tren en reposo comienza a moverse y aumenta su rapidez de cero hasta 18 m/s en 6 segundos. ¿Cuál es su aceleración? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 4:   Un auto de carreras disminuye su velocidad de 30m/s, E a 15m/s, E en 5 segundos. Determina la aceleración. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado #4: a = D V = Vf - Vi D t t2 – t1 vi = 30m/s, E vf = 15m/s, E t = 5 s a=? a = D V = Vf - Vi D t t2 – t1 =(15m/s – 30m/s)/(5 s) - 3 m/s2 , Este Un signo negativo en la aceleración indica que el objeto aplicó los frenos  Un auto de carreras disminuye su velocidad de 30m/s, E a 15m/s, E en 5 segundos. Determina la aceleración.   18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ecuación de aceleración: Debes asumir que comienzas con un tiempo=0 Vf = Vi + at Despeja para Vf a = D V = Vf - Vi D t t2 – t1 Utilizando esta ecuación podemos obtener otras ecuaciones para las variables desconocidas correspondientes 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo #5: Un cohete viaja durante 5 segundos con una aceleración de 10 m/s2, si el cohete tiene una velocidad inicial de 360 m/s, ¿cuál será su velocidad final? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado #5 Dado t= 5 seg a= 10 m/s2 Vi = Vf = Vf = Vi + at 360 m/s + 50 m/s 410 m/s, arriba Un cohete viaja durante 5 segundos con una aceleración de 10 m/s2, si el cohete tiene una velocidad inicial de 360 m/s, ¿cuál será su velocidad final? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 6: Si una bola rueda por una cuesta durante 3 segundos, a una aceleración de 6 m/s2. Si la bola tiene una velocidad inicial de 5 m/s cuando comienza su recorrido, ¿cuál será su velocidad final? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado #6 t = 3 seg a = 6 m/s2, abajo Vi = 5 m/s, abajo Vf = Vi + at = 5 m/s + (6 m/s2) (3 s) = 5 m/s + 18 m/s Vf = 23 m/s, abajo Si una bola rueda por una cuesta durante 3 segundos, a una aceleración de 6 m/s2. Si la bola tiene una velocidad inicial de 5 m/s cuando comienza su recorrido, ¿cuál será su velocidad final? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 7: Si un camión acelera uniformemente desde 20 m/s, N a 30 m/s, N en 5 segundos, el auto pasará uniformemente por todas las velocidades hasta llegar a 30 m/s. VEAMOS… 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Movimiento uniforme Vi Vf 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Vi Vf  ¿Cuál es el valor de la velocidad a la mitad del tiempo? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Su velocidad promedio… V = (Vf + Vi) /2 V= (Vf + Vi)/2 = (30 m/s + 20 m/s ) / 2 = 25 m/s V = 25 m/s, Norte ¿Cuál será su desplazamento? Sustituyendo en d = vt d= (Vf + Vi) t /2 = (30 m/s + 20 m/s) (5 s) /2 = 125 m, Norte 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

La velocidad es uniforme 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ecuación independiente Vf d = ½ (Vf + Vi) t Vf = Vi + a t d = Vi t + ½ a t2 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo #8:   Un avión parte de reposo y es acelerado a razón de 5 m/s2, Sur, ¿Cuál será su desplazamiento transcurridos 10 segundos de aceleración? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado # 8 Vi = 0 a= 5 m/s2, S ti = 0 s tf = 10 s d = ? d = Vit + ½ at2 (0) (10s) + ½ (5m/s2)(10s)2 250 m, Sur Un avión parte de reposo y es acelerado a razón de 5 m/s2, Sur, ¿Cuál será su desplazamiento transcurridos 10 segundos de aceleración? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ecuación independiente del tiempo... a = (Vf – Vi) /t Resolver para t: t = (Vf – Vi) / a d = ½ (Vf + Vi) t Resuelve para Vf2 Vf2 = Vi2 + 2 ad 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 9: Un avión necesita una rapidez de 80 m/s para despegar. Si la pista mide 2 X 103 m, ¿Cuál debe ser su aceleración? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado #9: Un avión necesita una rapidez de 80 m/s para despegar. Si la pista mide 2 X 103 m, ¿Cuál debe ser su aceleración? Vf = 80 m/s d= 2 X103 m Vi = 0 m/s a= ? Vf2 = Vi2 + 2ad Vf2 = 2ad 2ad=Vf2 a= (Vf2) / (2d) = = {(80 m/s)2/[(2) (2X103 m)]} a = 0.04 m/s2 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ecuaciones V = d/t Vf = Vi + at a DV Vi = Vf - at = = t = (Vf - Vi) /a V = (Vf + Vi)/2 d = Vi t + ½ a t 2 Vf2 = Vi2 + 2 ad 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Aceleración gravitacional Cuando la aceleración de un objeto es la gravitacional entonces en el conjunto de ecuaciones cambiamos a por g donde g= -9.81 m/s2 Recuerda que el signo indica la dirección Esta constante es utilizada para resolver problemas de caída libre. La aceleración es hacia el centro de la Tierra y cerca de la superficie. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 10: Se deja caer una bola de baloncesto desde la parte más alta de un coliseo. a) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 4 segundos? b) ¿Qué distancia recorrerá en ese tiempo? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Resultado #10: Vi = 0 t = 4s a= -9.81 m/s2 Vf =? Vf = Vi + at Vf = (-9.81 m/s2)(4s) = -39.24 m/s = 39.24 m/s , abajo d= Vit +1/2 at2 = ½ (-9.81 m/s2) (4s)2 = -79 m = 79 m, abajo Se deja caer una bola de baloncesto desde la parte más alta de un coliseo. a) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 4 segundos? b) ¿Qué distancia recorrerá en ese tiempo? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejemplo 11: Un estudiante deja caer una piedra desde un puente que se encuentra a 12 m sobre un río. ¿A qué velocidad golpeará la piedra el agua? 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Solución 11 Un estudiante deja caer una piedra desde un puente que se encuentra a 12 m sobre un río. ¿A qué velocidad golpeará la piedra el agua vi = 0 g = -9.81m/s2 d = 12m vf = ? vf2 =vi2 + 2gd = 2(-9.81m/s2)(12m) = -15.34 m/s =15.34 m/s, abajo 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

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Caida Libre Un objeto cayendo libremente es un objeto que está cayendo únicamente debido a la influencia de la gravedad. No existe resistencia del aire Todo objeto en caída libre se acelera hacia abajo a una tasa de 10 m/s2 (exactamente, 9.8 m/s2) 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Caída libre Cuando dos objetos de diferente peso se dejan caer al mismo tiempo, el objeto más pesado cae más de prisa, como afirmaba Aristóteles. Pero es posible demostrar que tal cosa sucede porque el aire produce un efecto retardante en la caída de cualquier objeto, y que dicho efecto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento del objeto más liviano. En realidad, si dejamos caer los objetos dentro de un tubo del cual se extrajo el aire (se hizo el vacío), se puede comprobar que ambos objetos caen en forma simultánea, como afirmó Galileo. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

La Aceleración de la Gravedad El valor numérico de la aceleración en caída libre de un objeto es conocido como la aceleración de la gravedad y se representa con el símbolo g = 9.8m/s2 Hay ligeras variaciones del valor de g dependiendo de la altitud. Frecuentemente se usa g = 10 m/s2 como una aproximación 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

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CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Inicia lentamente Finaliza con una gran posición velocidad tiempo m = g = 9.8m/s2 Arranca del reposo v = 0 tiempo velocidad 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

vf = g * t t = 6 s vf = (10 m/s2) * (6 s) = 60 m/s d = 0.5 * g * t2 d = (0.5) * (10 m/s2) * (5 s)2 = 125 m 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

a = - g v = v0 - g . t y = y0 + v0.t – ½ g t² v ² = v0 ² - 2.g .y Las ecuaciones son: a = - g v = v0  - g . t y = y0 + v0.t – ½ g t² v ² = v0 ² - 2.g .y 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Signo de la aceleración: Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g,  g=9.8 o 10 m/s2 Signo de la velocidad inicial: Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia arriba el signo de la velocidad inicial es positivo Situación del origen: Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el móvil en el instante inicial. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

SOLUCION. Alturas son iguales t1= t2 + 1 Y1= V1o x t1- 1/2 g t1 ² PROBLEMA Se lanza una pelota(1) verticalmente hacia arriba con una rapidez de 10 m/s. Luego de un segundo se lanza una piedra(2) verticalmente con una rapidez inicial de 25 m/s Determine a.) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota. SOLUCION. Alturas son iguales t1= t2 + 1 Y1= V1o x t1- 1/2 g t1 ² Y2= V2o x t2- 1/2 g t 2² 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

V1x(t2 + 1) - 1/2 g (t2 + 1) ² = V2o x t 2- 1/2 g t 2² Ypie= Y pel V1x(t2 + 1) - 1/2 g (t2 + 1) ² = V2o x t 2- 1/2 g t 2² V1xt2 + V1- 1/2 g t2² - g t2- 1/2g = V2 x t2- 1/2 g t2² t2 ( V1-g-V2) = - V1+ 1/2 g t2 (10-9.8-25) = -10 + 4.9 t2= -5.1/- 24.8 t2 = 0.205 s. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

MOVIMIENTO PARABOLICO 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

MOVIMIENTO PARABOLICO Es la trayectoria que describe un objeto en vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

MOVIMIENTO PARABOLICO Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que: 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Trayectoria de un proyectil Trayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Vector desplazamiento en el tiro parabólico El vector desplazamiento r puede escribirse como: r = v0t + ½gt2 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Algunos parámetros del tiro parabólico 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Máximo alcance Trayectorias de un proyectil con diferente ángulo inicial 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

a.- La distancia a la que aterriza el esquiador Un esquiador sale de una rampa de salto con una velocidad de 10 m/s 15° arriba de la horizontal. La pendiente esta inclinada 50° y la resistencia del aire es despreciable. Calcule a.- La distancia a la que aterriza el esquiador b.- Las componentes de la velocidad antes de aterrizar SOLUCION Y= d sen 50° X= d cos 50° Vox = 10 cos 15° = 9,65 m/s Voy = 10 sen 15°= 2.58 m/s 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Desplazamiento eje x X = Vox. Tv D cos 50°= 9.65 tv. Tv= 0.06 d Desplazamiento eje y -Yo = Voy. Tv – ½ g t² d sen 50° = 2.58 tv-4,9 t² 0.0217d² – 0.92d=0 d= 42.43 m Tv = 0.06*42.43 Tv = 2.54 s Vy= voy t – gtv Vy= -22.36 m/s Vx=2.58 m/s 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

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Movimiento circular Movimiento circular uniforme y Dinámica circular. Movimiento circular uniformemente variado.

Conocimientos previos Rapidez lineal: Segunda ley de Newton: distancia tiempo 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Movimiento circular r = 1,20 m El movimiento del cuerpo rígido, en general puede interpretarse como la composición de dos movimientos: traslación y rotación. Cuando un sólido rota, el segmento trazado desde el eje de giro a cualquiera de sus puntos barre un ángulo respecto a dicho eje de giro. Existe una relación entre este ángulo (expresado en radianes) y el segmento de arco formado: r = 1,20 m 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejercicio Un barco carguero de 200 m de longitud forma un ángulo de p/10 radianes con la visual de un observador. ¿A qué distancia del observador se encuentra el barco? Solución 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Rapidez angular La rapidez con que rota un cuerpo rígido depende del tiempo que demora en barrer un ángulo determinado. A dicha rapidez se le denomina rapidez angular, , y se obtiene dividiendo el ángulo barrido entre el tiempo transcurrido. Rapidez angular media Rapidez angular instantánea 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Relación entre rapidez tangencial y angular A partir de la relación que existe entre el radio y el ángulo, se puede hallar una relación entre la rapidez angular y la rapidez tangencial o lineal. La unidad de medida también es la revolución por minuto o rpm. Ejercicio La rapidez angular de un DVD-ROM de computadora varía entre 200 rpm y 450 rpm . Si el radio del disco es de 10,0 cm, ¿cuál es la rapidez tangencial máxima del borde del disco? Solución 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Periodo y frecuencia en el MCU Otras magnitudes usadas para describir el movimiento circular son el periodo (T) y la frecuencia (f ). El periodo es el tiempo que demora un cuerpo en dar una vuelta completa. Se mide en unidades tiempo. Por ejemplo, Si el motor rota a 1200 rpm, en 60 segundos dará 1200 vueltas. Lo que significa que su periodo será de La frecuencia es el número de veces que rota el cuerpo por segundo. Se mide en hertz. 1200 rpm Motor asíncrono para ascensor 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Dirección de la velocidad angular 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Causa del movimiento circular uniforme La fuerza resultante está dirigida hacia el centro de giro. Esta fuerza recibe el nombre de centrípeta y es la responsable de la producción del movimiento circular. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Fuerza centrípeta y aceleración centrípeta en el MCU La aceleración centrípeta o radial también se expresa a través de la velocidad angular. La fuerza centrípeta, al igual que la expresión general de la segunda ley de Newton, es igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Ejercicio Un lanzador de disco gira el disco un círculo de radio 80,0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de 10,0 rad/s. Calcule la aceleración centrípeta del disco. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

MCUV: aceleración angular constante La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular. En el caso de que la aceleración angular es constante se puede hallar la expresión de la velocidad angular. La expresión de la posición angular. 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ

Movimiento circular uniformemente variado 18/01/2019 SERGIO MARTINEZ VELEZ