ICPM202 – ECONOMETRÍA tema 02: INTRODUCCIÓN AL MODELO LINEAL SIMPLE ESCUELA DE INGENIERÍA COMERCIAL ICPM202 – ECONOMETRÍA tema 02: INTRODUCCIÓN AL MODELO LINEAL SIMPLE PROF. Carlos R. Pitta MARZO, 2018

Introducción: Un ejemplo simple de consumo familiar Suponga que cuenta con datos censales sobre el ingreso (X) y gasto (Y) para un grupo de 60 familias: Las 60 familias están divididas en 10 grupos de ingresos, desde $80 hasta $260. Como puede verse, existe una considerable variación en el gasto. Esto se ve más claramente en un gráfico: Prof. Carlos R. Pitta

Línea de Regresión Poblacional Este gráfico es importante: nos da el consumo esperado dado el ingreso, es decir, E(YX) para cada grupo (cohorte) de ingresos. Note como si dividiésemos los gastos de consumo de todas las familias ($7272) por el número de familias (60), tendríamos el consumo esperado, E(Y) = $121.20. Pero esto es simplemente la media, un consumo no condicionado. E(YX) es el corazón de la econometría: la esperanza de una variable dada otra. Uniendo todos esos puntos obtenemos la línea de regresión poblacional (LRP). Prof. Carlos R. Pitta

Más formalmente… Dado que sabemos el número de familias en cada cohorte, podemos calcular la probabilidad condicional de cada familia individualmente. Por ejemplo, en el cohorte que gana $80 existen 5 familias. La probabilidad condicional individual, p(Y Xi), 1/5. En el cohorte que gana $260 existen 7 familias, por lo que p(Y Xi), es 1/7. Esto significa que podemos construir una distribución de probabilidad para la secuencia de familias por cohorte. Esto se ve más claramente en un gráfico: Prof. Carlos R. Pitta

Introducción Geométricamente, una curva (o línea) de regresión poblacional (LRP) es aquella que resulta de unir las medias condicionales de una variable dependiente (Y) para valores fijos de una variable independiente (X). En otras palabras, es la curva que conecta las medias de la subpoblaciones de Y correspondientes a los valores dados del regresor X. E(YX) es el corazón de la econometría: la esperanza de una variable dada otra. Uniendo todos esos puntos obtenemos la línea de regresión poblacional (LRP). Prof. Carlos R. Pitta

Función de Regresión Poblacional (FRP) Del gráfico anterior, podemos ver que cada media condicional E(YXi) es una función lineal de Xi, donde Xi pertenece a X para todo i. Formalmente: La ecuación anterior es conocida como una función de regresión poblacional (FRP). Ahora, si se fija, lo único misterioso de esa expresión es la forma funcional en que Y depende de X. Suponga que explicitamos que la forma es lineal y del tipo: Donde 1 y 2 son parámetros desconocidos pero fijos, a los que comúnmente se les conoce como coeficientes de la regresión. Ellos denotan al intercepto y la pendiente de una línea. Prof. Carlos R. Pitta

Análisis de Regresión El objetivo fundamental del análisis de regresión es estimar (es decir, calcular estadísticamente, el valor de 1 y 2) dichas Funciones de Regresión Poblacional. Podemos observar una característica de la ecuación anterior: es lineal en parámetros, es decir, los parámetros están elevados a la potencia 1. Éste es el sentido de linealidad que buscamos en regresiones lineales. Otras formas aparentemente no lineales pero perfectamente aceptables dentro del análisis de regresión lineal son: Prof. Carlos R. Pitta

Forma estocástica de la FRP Siguiendo con nuestro ejemplo de consumo, es claro que éste aumenta cuando aumenta el ingreso. Pero observe que también varía cuando el ingreso es fijo. Es claro que la esperanza se incrementa para cada cohorte. Sin embargo, no podemos decir inambiguamente, por ejemplo, que las personas con un ingreso de 100 consumen en promedio más que todas las personas con un ingreso de 80. Formalmente, la expresión Yi = E(YiXi) es inexacta pues no es exactamente una igualdad. Lo único que podemos decir a ciencia cierta es que los valores de Yi se acercan a su media condicional, E(YiXi), pero con ciertos errores que llamaremos µi. Es decir: Prof. Carlos R. Pitta

Significado del Término Estocástico El término i es conocido como error, disturbio o desvío estocástico. Existen varias razones para su existencia: Teorías Insuficientes: Datos Insuficientes: Errores en los Datos: Impredictibilidad inherente del comportamiento humano: Uso de variables proxy: Parsimonia: Forma funcional incorrecta: Prof. Carlos R. Pitta

Muestra VS Población Note como en el ejemplo que venimos siguiendo sobre consumo familar hemos enfatizado que los datos provienen de nuestra población de interés, 60 familias. ¿Qué pasaría si no contáramos con todos los datos, es decir, toda la población, sino solo una pequeña parte de ella (una muestra)? Veamos qué pasaría con más detalle: Prof. Carlos R. Pitta

Primera Muestra Prof. Carlos R. Pitta

Segunda Muestra Prof. Carlos R. Pitta

Distintas estimaciones Prof. Carlos R. Pitta

Línea de Regresión Muestral Deberemos desarrollar un concepto análogo a la Función de Regresión Poblacional (FRP) pero para muestras. Muy creativamente, la llamaremos Función de Regresión Muestral (FRM). La FRM es diferente a la FRP porque es calculada en base a una muestra, es decir, es solo una estimación muestral de la verdadera FRP. Utilizamos el símbolo ^ para denotar “estimación”. Si incluímos el término de error (Qué compensa la diferencia entre nuestra estimación y el dato real), podemos reescribir nuestro modelo lineal simple como una regresión muestral del tipo: Prof. Carlos R. Pitta

Una posibilidad Observe cómo: Es decir: Prof. Carlos R. Pitta

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References Francis Galton, “Family Likeness in Stature,” Proceedings of Royal Society, London, vol. 40, 1886, pp. 42–72. M. G. Kendall and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, Charles Griffin Publishers, New York, 1961, vol. 2, chap. 26, p. 279. Milton Friedman, A Theory of Consumption Function, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957. John Maynard Keynes, The General Theory of Employment, Interest and Money, Harcourt Brace Jovanovich, New York, 1936, p. 96. P. A. Samuelson, T. C. Koopmans, and J. R. N. Stone, “Report of the Evaluative Committee for Econometrica,” Econometrica, vol. 22, no. 2, April 1954, pp. 141–146. Arthur S. Goldberger, Econometric Theory, John Wiley & Sons, New York, 1964, p. 1. H. Theil, Principles of Econometrics, John Wiley & Sons, New York, 1971, p. 1. The main idea: not everybody had the same level of information, and there’s so much to read, I wish somebody had written a single chapter sumarizing all the information. Prof. Carlos R. Pitta