Universidad del Turabo Programa AHORA Prof. Wanda I. Rivera Rivas

Regla Empírica En la mayoría de los conjuntos de datos, una gran parte de los valores tienden a agruparse en algún lugar cercano a la mediana. En los conjuntos de datos asimétricos a la derecha, el agrupamiento se presenta a la izquierda de la media, es un valor menor que la media.

Cont… En los conjuntos de datos asimétricos hacia la izquierda, el agrupamiento se presenta a la derecha de la media, es un valor mayor que la media. En los conjuntos de datos simétricos, donde la mediana y la media son iguales, con frecuencia los valores tienden a agruparse alrededor de la media y la mediana, generando una distribución en forma de campana.

Cont… Esta clase de distribución utiliza la regla empírica. La regla empírica permite examinar la variabilidad.

Cont… Aproximadamente el 68% de los valores se encuentran a una distancia de 1 desviación estándar de la media. Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran a una distancia de 2 desviaciones estándar de la media. Aproximadamente el 99.7% de los valores se encuentran a una distancia de 3 desviaciones estándar de la media.

Cont… Ayuda a medir cómo se distribuyen los valores por encima y debajo de la media. Esto permite identificar los valores atípicos cuando se analiza un conjunto de datos numéricos. En las distribuciones con forma de campana, aproximadamente sólo uno de cada 20 valores estará alejado de la media más allá de 3 desv. estándar en cualquier dirección.

Valores extremos Valores que no se encuentran en el intervalo En los conjuntos de datos con mucha asimetría, o en los que por alguna razón no tienen forma de campana, en lugar de la regla empírica se debe aplicar otra regla conocida como Regla de Chebyshev.

Uso de la Regla Empírica Ej. La cantidad media de llenado de una población integrada por 12 latas de gaseosa es de 12.06 onzas con una desviación estándar de 0.02. También se sabe que esta población tiene forma de campana. Describa la distribución de la cantidad de llenado de las latas. ¿Existe una gran probabilidad de que una lata tenga menos de 12 onzas de gaseosa?

Solución µ ± σ = 12.06 ± 0.02 = (12.04, 12.08) µ ± 2σ = 12.06 ± 2(0.02) = (12.02, 12.10) µ ± 3σ = 12.06 ± 3 (0.02) = (12.00, 12.12) Es poco probable que una lata de gaseosa tenga menos de 12 onzas

Regla de Chebyshev Intervalo (µ - σ, µ + σ) (µ - 2σ, µ + 2σ) Regla Chebyshev (para cualquier forma) Regla Empírica (forma de campana) (µ - σ, µ + σ) Al menos 0% Aproximadamente 68% (µ - 2σ, µ + 2σ) Al menos 75% Aproximadamente 95% (µ - 3σ, µ + 3σ) Al menos 88.89% Aproximadamente 99.7%

Regla Chebyshev Si se tienen datos muestrales se usa x por µ y s por σ NOTA: Si se tienen datos muestrales se usa x por µ y s por σ

Regla Chebyshev K = desviaciones estándar Ej. Considere una k = 2. La Regla Chebyshev establece que al menos de los valores deben estar dentro de ±2 desviaciones estándar de la media.

Resumen de cinco números Permite determinar la forma de la distribución Los cinco números son: Xmenor Q1 Mediana Q3 Xmayor

Asimétrico a la izquierda Simétrico Asimétrico a la derecha TIPOS DE DISTRIBUCIÓN Comparación Asimétrico a la izquierda Simétrico Asimétrico a la derecha La distancia de Xmenor a la mediana contra la distancia de la mediana a Xmayor De Xmenor a la mediana es mayor que de la mediana a Xmayor Ambas distancias son iguales De Xmenor a la mediana es menor que de la mediana a Xmayor La distancia de Xmenor a Q1 contra la distancia Q3 a Xmayor De Xmenor a Q1 es mayor que de Q3 a Xmayor De Xmenor a Q1 es menor que de Q3 a Xmayor La distancia de Q1 a la mediana contra la distancia de la mediana a Q3 De Q1 a la mediana es mayor que de la mediana a Q3 De Q1 a la mediana es menor que de la mediana a Q3

Ejemplo 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 Menor valor = 29 Describir la forma Mayor valor = 52 Mediana = 39.5 Primer cuartil = 33 Tercer cuartil = 43.5

Gráfica de Caja y Bigote Los diagramas de Caja-Bigotes (boxplots o box and whiskers) son una presentación visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre un rectángulo.

Cont. Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana).

Cont. Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Los bigotes tienen un límite de prolongación, cualquier dato que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente.

Ejemplo: Distribución de edades 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 Primer paso: Ordenar los datos 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 Segundo paso: Calcular los cuartiles 1 y 3 Q1= (n) = (20)= 5 = 24 4 4 Q3= 3(n) = 15 = 39 4 me= Q2 = (33 + 34)/ 2 =33.5

Dibujar la Caja y los Bigotes

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( Xmín, Q1) La primera parte de la caja a (Q1, Q2), La segunda parte de la caja a (Q2, Q3) El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx).

Información del diagrama Podemos obtener abundante información de una distribución a partir de estas representaciones. Veamos: La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población están más dispersas que entre el 50% y el 75%.

Cont… El bigote de la izquierda (Xmím, Q1) es más corto que el de la derecha; por ello el 25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores. El rango intercuartílico = Q3 - Q1 = 14; es decir, el 50% de la población está comprendido en 14 años.

Construye el resumen de 5 números y un Diagrama de Caja y bigotes Un fabricante de baterías para flash fotográfico tomó una muestra de trece baterías de la producción diaria y las utilizó de manera continua hasta agotarlas. El número de horas que funcionaron aparecen a continuación: 342 426 317 545 264 451 1,049 631 512 266 492 562 298

Solución Valor menor = 264 Valor mayor = 1,049

CONT… Sesgo derecho

Ejemplo Dominos Pizza ofrece entregas gratuitas de pizza a 15 km a la redonda. Raúl el propietario, desea información relacionada con el tiempo de entrega. ¿Cuánto tiempo tarda una entrega típica? ¿En qué margen de tiempos deben completarse la mayoría de las entregas?

En el caso de una muestra de 20 entregas, Raúl recopiló la siguiente información: Valor mínimo = 13 min. Cuartil 1 = 15 min. Mediana = 18 min. Cuartil 3 = 22 min. Valor máximo = 30 min. Elabore un diagrama de caja para los tiempos de entrega. ¿Qué conclusiones deduce sobre los tiempos de entrega?

El primer paso para elaborar un diagrama de caja consiste en crear una escala adecuada a lo largo del eje horizontal. Enseguida, dibujamos una caja que inicie en Q1 (15 min) y termine Q3 (22 min). Dentro de la caja trazamos una línea vertical para representar a la mediana (18 min).

Por último, prolongamos líneas horizontales a partir de la caja dirigidas al valor mínimo (13 min) y al valor máximo (30 min). Estas líneas horizontales que salen de la caja, a veces reciben el nombre de bigotes, en virtud de que se asemejan a los bigotes de un gato.

El Diagrama de caja muestra que el valor medio de las entregas, 50%, consume entre 15 y 22 minutos. La distancia entre los extremos de la caja, 7 minutos, es el rango intercuartil. Este rango es la distancia entre el primer y tercer cuartil; muestra la propagación o dispersión de la mayoría de las entregas.

¿Cuál es la importancia entonces del uso de los gráficos de caja? En particular, los gráficos de caja vinculan los conceptos de mediana, cuartiles, valor mínimo y máximo que los alumnos manejan individualmente pero no en forma global.

Por último, prolongamos líneas horizontales a partir de la caja dirigidas al valor mínimo (13 min) y al valor máximo (30 min). Estas líneas horizontales que salen de la caja, a veces reciben el nombre de bigotes, en virtud de que se asemejan a los bigotes de un gato. El Diagrama de caja muestra que el valor medio de las entregas, 50%, consume entre 15 y 22 minutos. La distancia entre los extremos de la caja, 7 minutos, es el rango intercuartil. Este rango es la distancia entre el primer y tercer cuartil; muestra la propagación o dispersión de la mayoría de las entregas. ¿Cuál es la importancia entonces del uso de los gráficos de caja? En particular, los gráficos de caja vinculan los conceptos de mediana, cuartiles, valor mínimo y máximo que los alumnos manejan individualmente pero no en forma global.

Probabilidad

Definición Es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que un evento en particular ocurra. Ej. Aumento en el precio de una acción Un día lluvioso Que caiga el cinco al lanzar un dado

Probabilidad La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 inclusive. Un evento que no tiene la oportunidad de ocurrir (un evento imposible) tiene probabilidad 0. Un evento que ocurrirá con toda seguridad (es decir, un evento seguro) tiene una probabilidad 1.

Ejemplo Si se elige un año de manera aleatoria, calcule la probabilidad de que el Día de Acción de Gracias sea a) un miércoles b) un jueves

Solución a. El Día de Acción de Gracias se celebra siempre el cuarto jueves de noviembre. Por lo tanto, es imposible que sea un miércoles. Su probabilidad es 0. b. Es cierto que el Día de Acción de Gracias es jueves. La probabilidad es 1.

Tres aproximaciones sujetas a la probabilidad Probabilidad clásica a priori Probabilidad clásica empírica Probabilidad subjetiva

Probabilidad clásica a priori La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. En el caso más simple, en el que cada resultado es igualmente probable, la oportunidad de ocurrencia de un evento se define a continuación.

Probabilidad de ocurrencia Probabilidad de ocurrencia = X/T donde X = número de formas en las que el evento ocurre T = número total de resultados posibles

Ejemplo Considere un mazo de cartas estándar con 26 cartas rojas y 26 cartas negras. La probabilidad de seleccionar una carta negra es de 26/52 = 0.50, puesto que hay X=26 cartas negras y T=52 cartas en total.

¿Qué significa esta probabilidad? Si se reemplaza cada carta después de haberla seleccionado, ¿significa que una de las dos siguientes cartas será negra? No, porque usted no puede decir con certeza lo que sucederá en las seleccioines posteriores. Sin embargo, puede decir que a la larga, si este proceso de selección se repite continuamente, la proporción de cartas negras seleccionadas se aproximará a 0.50

Ejercicio Un dado estándar tiene seis caras. Cada cara contiene uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis puntos. Si usted tira el dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga la cara de cinco puntos? Cada cara tiene la misma posibilidad de ocurrir. Como hay seis caras, la probabilidad de obtener la cara con cinco puntos es de 1/6.

Probabilidad clásica empírica Los resultados se basan en datos observados, no en conocimiento previo del proceso. Ejs: Proporción de votantes que optan por un determinado candidato político Proporción de alumnos que tienen un empleo de medio tiempo.

Ejemplo Si usted realiza una encuesta a alumnos, y el 60% de ellos afirman tienen un trabajo de medio tiempo, entonces hay una probabilidad de 0.60 de que un alumno en particular tenga un trabajo de medio tiempo.

Probabilidad subjetiva Se distingue de los otros dos en que difiere de persona a persona. Tal vez el equipo de desarrollo para un nuevo producto asigne una probabilidad de 0.6 a la oportunidad de éxito para el producto, mientras que el presidente de la empresa es menos optimista y asigna una probabilidad de 0.3

Probabilidad subjetiva La asignación de probabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa en una combinación de las experiencias pasadas del individuo, la opinión personal y el análisis de una situación particular.

Espacios muestrales y eventos Los elementos básicos de la teoría de probabilidad son los resultados individuales de una variable que se somete a estudio. Cada posible resultado de una variable es un evento.

Eventos Cuando se lanza una moneda al aire, los dos posibles resultados son cara o cruz. Cada uno de éstos representa un evento sencillo. Cuando se tira un dado estándar de seis lados, con caras que contienen el uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis;decimos que hay seis eventos sencillos posibles.

Evento Un evento puede ser un evento simple, un conjunto de ellos o un subconjunto de todos ellos. El evento de un número par de puntos consiste en tres eventos sencillos (por ejemplo, dos, cuatro o seis puntos)

Evento simple Se describe por sus características singulares. Ej. Se lanza una moneda al aire, los dos posibles resultados son cara o cruz. Cada uno de éstos representa un evento simple. (Tiene una sola característica)

Evento conjunto Es un evento que tiene dos o más características. Ej: Sacar dos caras al lanzar al aire dos monedas.

Complemento de un evento A' - incluye todos los eventos que no son parte de A Ej. El complemento de una cara es una cruz Ej.Elcomplemento de una cara de cinco puntos es no tener una cara de cinco puntos, consiste en obtener un lado uno, dos, tres, cuatro o seis puntos.

Espacio muestral Colección de todos los eventos posibles. El espacio muestral de lanzar una moneda al aire consiste en cara o cruz.

Realmente lo compró Planea comprarlo Sí No Total Sí 200 50 250 No 100 650 750 Total 300 700 1,000 El espacio muestral consiste en las 1000 personas ecuestadas. Los Eventos simples son “planea comprarlo”, “no planea comprarlo”, “compra” y “no compra”. El complemento del evento “planea comprarlo” es “no planea comprarlo”. El evento “planea comprarlo y realmente lo compra” es un evento conjunto porque quien responde debe planear comprar la TV y realmente comprarla.

Diferentes formas de presentar espacio muestral Tablas de contingencias Diagramas de Venn Árboles de decisión

Eventos mutuamente excluyentes Si ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea (los eventos no pueden ocurrir a la misma vez) Ej. Al tirar una moneda al aire, cae cara o cruz, pero no ambos a la vez.

Eventos colectivamente exhaustivo Si uno de los eventos debe ocurrir Ej. Caer cara o cruz, uno de los eventos debe ocurrir.

Probabilidad simple o marginal Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple Se le llama marginal porque es posible calcular el número total de los éxitos a partir del margen apropiado en la tabla de contingencias.

Probabilidad conjunta Se refiere a la probabilidad de ocurrencia que implica a dos o más eventos. Ej. Probabilidad de que se obtenga cara al lanzar la primera vez la moneda al aire y cara al lanzar por segunda vez la moneda.

Regla de adición Permite encontrar la probabilidad del evento A o B. Considera la ocurrencia de cualquiera de los dos eventos, evento A o evento B, o ambos A y B.

Regla de adición P(planear comprar o realmente compró) = P(planeó comprar y no compró realmente) + P(no planeó comprar y realmente compró) + P(planeó comprar y realmente compró) = 50/1000 + 100/1000+ 200/1000 = 350/1000 = 0.35

Regla general de adición La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de A y B P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cont…. P(planea comprar o realmente compró) = P(planea comprar) + P(realmente compró) – P(planea comprar y compró) = 250/1000 + 300/1000 – 200/1000 = 350/1000 = 0.35

Probabilidad condicional Se refiere a la probabilidad del evento A, dada información acerca de la ocurrencia de otro evento B. La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B

Probabilidad condicional P(A | B) = P(A y B) P(B) donde P(A y B) = probabilidad conjunta de A y B P(A) = probabilidad marginal de A P(B) = probabilidad marginal de B

Árboles de Decisión Conjunto total hogares P(A y B)=200/1000 Realmente compraron P(A) =250/1000 Planean comprar P(A y B')=50/1000 No compraron Realmentecompraron P(A' y B)=100/1000 No planean comprar P(A')=750/1000 P(A' y B')= 650/1000 No compraron

Independencia Estadística Cuando el resultado de un evento no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro evento. Dos eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P(A | B) = P(A) donde P(A | B) = probabilidad condicional de A dado B y P(A) = probabilidad marginal de A

Reglas de multiplicación Manipulando la regla de probabilidad condicional P(A | B) = P(A y B) se despeja para P (A y B) P(B) Se obtiene: P(A y B) = P(A | B) P(B)

Regla de multiplicación para eventos independientes P(A y B) = P(A) P(B)

Práctica B B' 30 10 A 25 35 A' ¿Cuál es la probabilidad de A | B' ? ¿Los eventos A y B son estadísticamente independientes?