Unidad I Análisis de CA en estado estable Conferencia 2 C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 1

Objetivos Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y Admitancia para los elementos : resistores, capacitores e inductores. Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de fases, adelanto y atraso entre las variables de corriente y voltaje a través de un elemento eléctrico. Aplicar las técnicas de análisis y teoremas de redes lineales para redes excitadas senoidalmente, compuestas por elementos resistivos, capacitivos e inductivos. Contenido 1.5 Impedancia y Admitancia. 1.6 Técnicas de Análisis. (redes en escalera, análisis nodal, análisis de malla) C. R. Lindo Carrión

1.4 Impedancia y Admitancia La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial V a la corriente fasorial I, así: [Ohms] Entonces la impedancia tiene dos componentes: Z(jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocida como Reactancia. Como puede ser visto, una característica importante de la Impedancia es que depende de la frecuencia. C. R. Lindo Carrión

entonces la magnitud de la impedancia es: y la fase es: podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán: R = Zcosθz y X = Zsenθz. En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. Elementos pasivos Impedancia R Z = R L Z = jωL = jXL = ωL|90o, XL = ωL C Z = 1/jωC = -jXC = (1/ωC)|-90o, XC = 1/ωC C. R. Lindo Carrión

Las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes, son válidas en el dominio de la frecuencia. También podemos decir que las impedancias en serie al igual que las Resistencias en serie, se suman, es decir, Zs = Z1 + Z2 + Z3 + ∙∙∙ +Zn Para el caso de las impedancias en paralelo, es igual al caso de las Resistencias en paralelo, La impedancia equivalente paralelo, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir, C. R. Lindo Carrión

Ejemplo: Para el circuito que se muestra en la Figura 1.12 encuentre la corriente i(t) para las frecuencias: a) f = 60Hz y b) f = 400Hz. Considere v(t) = 50cos(ωt + 30º) V, R = 25Ω, L = 20mH y C = 50µF. Solución: Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, para el caso a) f = 60Hz, tenemos: ZR = 25Ω, ZL = jωL = j(2*60)(20m)= j7.54Ω, y ZC = 1/jωC = -j/(2*60)(50µ) = -j53.05Ω Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así: C. R. Lindo Carrión

Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Zs = ZR + ZL + ZC = 25 – j45.51Ω Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: así la corriente i(t) será: i(t) = 0.96cos(120t + 91.22º) A para el caso b) f = 400Hz, tenemos: ZR = 25Ω, ZL = jωL = j(2*400)(20m)= j50.27Ω, y ZC = 1/jωC = -j/(2*400)(50µ)= -j7.96Ω C. R. Lindo Carrión

Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así: Zs = ZR + ZL + ZC = 25 + j42.31Ω Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: así la corriente i(t) será: i(t) = 1.02cos(800t – 29.42º) A Es importante notar que a la frecuencia de 60Hz, la reactancia del circuito es capacitiva, ya que la parte imaginaria es negativa, sin embargo, en f = 400Hz la reactancia es inductiva, ya que la parte imaginaria es positiva. C. R. Lindo Carrión

entonces podemos encontrar cada una de las partes como: Admitancia Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la Impedancia, es decir, La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la Conductancia y la parte compleja B, es conocida como Susceptancia. Podemos entonces escribir, entonces podemos encontrar cada una de las partes como: C. R. Lindo Carrión

En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. Elementos pasivos Admitancia R Y = 1/R= G L Y = 1/jωL = (1/ωL)|-90o C Y = jωC = ωC|90o Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de las Admitancias en paralelo, se suman, es decir, Yp = Y1 + Y2 + Y3 + ∙∙∙ +Yn C. R. Lindo Carrión

Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de las Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir, Ejemplo: Para el circuito que se muestra en la Figura 1.13 encuentre la corriente fasorial I. Considere Vs = 60|45o V. C. R. Lindo Carrión

Primero encontraremos las admitancias de cada elemento: Solución: Primero encontraremos las admitancias de cada elemento: entonces: Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: C. R. Lindo Carrión

Transformaciones Y-Δ y Δ-Y Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos circuitos en los cuales, cuando intentamos reducir el circuito a una impedancia equivalente Z, encontramos que en ningún lado hay una impedancia en serie o en paralelo con otra. Entonces podemos resolver el problema usando transformaciones Y a delta () o delta a Y, según convenga. Estas conversiones pueden ser apreciadas en las Figuras 1.14 (a) y (b) C. R. Lindo Carrión

Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de las resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes impedancias: Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Za, Zb y Zc, obtenemos: C. R. Lindo Carrión

De manera similar, si resolvemos ahora para Z1, Z2 y Z3 obtenemos: Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de  - Y es: insertar la Y dentro de la  y la impedancia que se busca, será igual al producto de la impedancia entre las cuales se encuentra (en la ) dividido entre la suma de las tres impedancias. De manera similar, si resolvemos ahora para Z1, Z2 y Z3 obtenemos: Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de Y - es: insertar la  en la Y y la impedancia que se busca, será igual a la suma de los producto de las combinaciones de dos impedancias (de la Y) dividido entre la impedancia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y). C. R. Lindo Carrión

Para el caso balanceado en que Za = Zb = Zc y Z1 = Z2 = Z3 entonces y Z = 3 ZY Ejemplo: Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se muestra en la Figura 1.15 C. R. Lindo Carrión

luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y, Solución: Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a y en centro de la Y, así: luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y, luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y, C. R. Lindo Carrión

Esto puede verse en la Figura 1 Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las impedancias que se encuentran en serie, como son: 0.67 - j1 Ω y 2 + j0.67 Ω, las cuales se encuentran ahora en paralelo, y resolviendo nos da: C. R. Lindo Carrión

Resultando el circuito equivalente de la Figura 1 Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que como podemos observar, todas las impedancias se encuentran en serie, entonces la impedancia equivalente Z es: Z = 2 +0.67 +j0.67 +0.56 – j0.06 = 3.23 + j0.61 Ω Figura 1.17 C. R. Lindo Carrión

Técnicas de análisis Ejemplo: Para el circuito que se muestra en la Figura 1.18, encuentre cada una de las variables del circuito. Solución: Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar la impedancia equivalente, vista por la fuente Vs y luego aplicar la ley de Ohm, para encontrar la corriente I1. Segundo, encontrar la impedancia vista por V1 y luego hacer un divisor de voltaje, para encontrar V1. Procederemos haciendo lo primero. C. R. Lindo Carrión

Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente I1: Para encontrar la impedancia vista por la fuente Vs, tenemos la impedancia de 8Ω en serie con la impedancia de –j4Ω, esa impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia de j6Ω y ese equivalente obtenido queda en serie con la impedancia de 4Ω, así: Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente I1: El voltaje V1 puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla de la izquierda, así: C. R. Lindo Carrión

V2 = (-j4)I3 = (4|90o)(1.82|105o) = 7.28|15o V V1 = Vs - 4 I1 = 24|60o - 10|29.08o = 12 + j20.78 -8.74 – j4.86 = 3.26 + j15.92 = 16.25|78.43o V Teniendo el voltaje V1 podemos aplicar la ley de Ohm para encontrar la corriente I2, así: También podemos encontrar I3, a partir de V1, aplicando también la ley de Omh, así: Ahora V2, puede ser encontrado, aplicando nuevamente la ley de Ohm, así: V2 = (-j4)I3 = (4|90o)(1.82|105o) = 7.28|15o V C. R. Lindo Carrión

Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:. Técnicas de análisis Ejemplo: Usando el método de análisis nodal, encuentre la corriente Io en el circuito mostrado en la Figura 1.19 Solución: Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir Io, para encontrarlo necesitamos el voltaje del nodo 2, entonces aplicando la ley de Ohm, la corriente Io, será: Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:. V2 – V1 = 6|0o, (1) es la primera ecuación. C. R. Lindo Carrión

La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al supernodo, así: (2) Como necesitamos encontrar V2, de la ecuación (1) despejamos V1 en función de V2, V1 = V2 - 6|0o, y la insertamos en la ecuación (2), para tener: reacomodando tenemos: C. R. Lindo Carrión

efectuando operaciones tenemos: Simplificando tenemos: despejando el voltaje V2, será: por lo tanto la corriente Io será: = 2.5 – j1.5 A = 2.92|-30.96o A C. R. Lindo Carrión

Técnicas de análisis Ejemplo: Ahora resolvamos el ejemplo anterior, pero usando el método de análisis de malla, encontremos la corriente Io en el circuito mostrado en la Figura 1.20 Solución: Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las elegimos como se muestra en la Figura 1.21 C. R. Lindo Carrión

necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así, Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir Io, para encontrarlo necesitamos la corriente malla I2 entonces aplicando la LKV a la malla 2, así: (2 – j)I2 + (1 – j)I3 = 0, (1), pero como nos interesa I2, despejamos I3 en función de I2 necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así, (1 + j +1 – j)I3 + (1 + j)I1 + (1 - j)I2 = -6, pero I1 es una ecuación de restricción, I1 = 2|0o A, sustituyendo, I1 e I3 en esta ecuación, tenemos: C. R. Lindo Carrión

resolviendo esto , obtenemos: (4 – j2)I2 - 4 + j2I2 = 6 –j6, por lo tanto la corriente I2 será: que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior. C. R. Lindo Carrión