TEORÍA DE CONJUNTOS

Definición : Un conjunto se puede entender como una colección de elementos con características comunes. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas

NOTACIÓN Todo conjunto se representa con letras mayúsculas A, B, C, y sus elementos con letra minúscula a,b,c,… y entre llaves { } separados mediante comas. Ejemplo: El conjunto de las letras de nuestro alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a, b, c, ..., x, y, z}

En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }. Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINALIDAD DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q). Ejemplo: A= {a, b, c, d, e} su cardinal n(A)= B= {x, x, x, y, y, z} su cardinal n(B)= 5 3

RELACION DE PERTENENCIA Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2, 4, 6, 8, 10} ...se lee 2 pertenece al conjunto M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

Hay dos formas de denotar un conjunto, por Extensión y por Comprensión NOTACIÓN DE CONJUNTOS Hay dos formas de denotar un conjunto, por Extensión y por Comprensión I) POR EXTENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. A = { 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 }

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10. II) POR COMPRENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: P = { los números dígitos } se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “ Ejemplo: Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana. Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }

DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. T M A 7 6 (2;4) (5;8) 8 o 4 e a (7;6) 5 i (1;3) 1 u 3 9 2

CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { } A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } P = { x / }

CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G = CONJUNTO FINITO Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }

CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par } ; CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U Ejemplo: El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS SUBCONJUNTO Un conjunto A es Subconjunto de otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B NOTACIÓN : Se lee : A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : B A

PROPIEDADES: I ) Todo conjunto es subconjunto de si mismo. II ) El conjunto vacío se considera sub conjunto de cualquier conjunto. III ) Si A es sub conjunto de B ( ) y B es sub conjunto de A ( ) entonces A=B IV ) Si A no es subconjunto de B entonces se representa como ( ) V ) Simbólicamente:

IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3,3} y B = {-3,3} ,por lo tanto A=B Simbólicamente :

   CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS  B A 7 9 4  6 5 3 2 1 8 

CONJUNTO DE CONJUNTOS Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Ejemplo: F = { {a},{b},{a, b},{a,b,c} } Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos. {a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F ¿ Es correcto decir que {b} F ? NO Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo correcto es {b} F

CONJUNTO POTENCIA El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = { m,n,p } Los subconjuntos de A son {m}, {n}, {p}, {m,n}, {m,p}, {n,p}, {m,n,p}, Φ Entonces el conjunto potencia de A es: P(A) = { {m},{n},{p},{m,n},{m,p},{n,p},{m,n,p},Φ } ¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?

el conjunto B tiene 5 elementos entonces: Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y su conjunto potencia o sea P(A) tiene 8 elementos. PROPIEDAD: Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2n. Ejemplo: Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B). Observa que el conjunto B tiene 5 elementos entonces: Card P(B)= = 25 =32 Si 5<x<15 y es un número par entonces B= {6;8;10;12;14}

CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....} Números Irracionales ( I ) I={...; ;....} Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....} Números Complejos ( C ) C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}

CONJUNTOS NUMÉRICOS C C R Q Z Nº I N

CONJUNTOS NUMÉRICOS P={3} Q={-3;3} F = { } EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes conjuntos: Q={-3;3} A ) F = { } B ) C ) D ) E )

UNION DE CONJUNTOS A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 Ejemplo: El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS 1. A U A = A 2. A U B = B U A 3. A U Φ = A 4. A U U = U 5. (AUB)UC =AU(BUC) 6. Si AUB=Φ  A=Φ  B=Φ

INTERSECCION DE CONJUNTOS El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 1. A A = A 2. A B = B A 3. A Φ = Φ 4. A U = A 5. (A B) C =A (B C) 6. A U (B C) =(AUB) (AUC) A (B U C) =(A B) U (A C)

DIFERENCIA DE CONJUNTOS El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

¿A-B=B-A? El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. Notación: A’ o AC Simbólicamente: A’ = U - A Ejemplo: U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A ={1, 3, 5, 7, 9}

U A A 8 2 3 1 7 A’={2,4,6,8} 5 9 6 4 PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO 1. (A’)’=A 4. U’=Φ 2. AUA’=U 5. Φ’=U 3. A A’=Φ