EXPERIMENTOS FACTORIALES Un problema muy común en la investigación consiste en determinar uno o mas factores sobre el rendimiento o calidad de un producto, la performancia de una maquina o un instrumento de medición, la resistencia de un material al ataque químico, el consumo de combustible o energía de un proceso, etc. Los diseños factoriales permiten obtener el máximo de información, con el numero mínimo de experiencias permitiendo su aplicación en todos los campos de investigación.

NIVELES DE UN FACTOR Los distintos valore asignados a un factor en nuestro experimento son conocidos como niveles. COMBINACIÓN EXPERIMENTAL El conjunto de todos los factores empleados en una experiencia determinada se denomina combinación experimental Respuestas

RESPUESTAS El resultado numérico de una experiencia se denomina respuesta. La respuesta puede expresarse en una unidad conveniente a nuestra investigación EFECTO DE UN FACTOR El efecto de un factor es la variación en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. cuando se examina un factor en dos niveles solamente, el efecto es simplemente la diferencia entre el promedio de las respuestas de .todas las experiencias en el nivel superior menos el promedio en el nivel inferior

Suposiciones : 1.- Que los factores son fijos 2.- Que los diseños sean completamente aleatorizados 3.- Que satisfagan la suposiciones usual de normalidad.

DISEÑO FACTORIAL 2k En este diseño se estudian los efectos de todas las combinaciones de k factores , tomando cada una de ellas en dos niveles distintos y donde 2k=N indica el numero de experiencias que deben hacerse para distintos valores de los k factores. Si cada factor es continuo, los dos niveles son el superior y el inferior. Si una variable es cualitativa, los dos niveles corresponden a los tipos usados o bien a la presencia o ausencia del factor.

Usaremos la notación siguiente: Consideremos el diseño factorial 22 En el que hay observaciones experimentales por combinación de tratamiento. Usaremos la notación siguiente: (1), a,b y ab como los resultados totales para las cuatro combinaciones de tratamientos Se puede estimar el efecto de aumentar el factor A del nivel a1 al nivel a2 y en cada uno de los niveles de B.

EXPERIMENTO FACTORIAL 22

Se puede definir los siguientes contrastes entre los totales de los tratamientos. Se ve que el contraste WA es la diferencia entre las respuestas medias del nivel bajo y alto del factor A.

DONDE: WA : se llama el efecto principal de A yWB : se llama el efecto principal de B, WAB : es el efecto de interacción de AB

OBTENCIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS

C = factor de corrección SIGNOS PARA LOS CONTRASTES EXP. FACT. 22 EFECTO FACTORIAL COMBINACIÓN DE TRATAMIENTOS A B AB (1) - + a b ab

ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO CON DOS FACTORES Y R REPETICIONES (REPLICAS)

EJEMPLO Supongamos que se desea determinar los efectos de la temperatura de la caldera y del ancho del horno sobre el tiempo requerido para producir coque (en horas)dados en el siguiente cuadro. Ancho de Horno Temperatura de la caldera Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3 Total 4 1600 3.5 3.0 2.7 9.2 1900 2.2 2.3 2.4 6.9 8 7.1 7.5 21.5 5.2 4.6 6.8 16.5 TOTAL 18.0 16.8 19.4 54.2

SOLUCION Planteamiento de las hipótesis: Efectuar un análisis de varianza basado en este experimento con dos factores para probar la significancia de los efectos factoriales, empleando un nivel de significación de 0.01. SOLUCION Planteamiento de las hipótesis: Ho : i=0; Ho : j=0; Ho : ()ij=0 i, j=1, 2 H1 : i0; H1: j0; H1: ()ij  0 i,j=1,2 Nivel de significación =0.01 para todas las pruebas

suma total de cuadrados esta dado por: Calculamos : En primer lugar calculamos el termino de corrección C = (54.02)²/12 = 244.803 suma total de cuadrados esta dado por: La subdivisión de la suma de cuadrados de los tratamientos para los efectos de A y B, y para la interacción, puede facilitarse construyendo la siguiente tabla en dos dimensiones, donde las entradas de la tabla son los totales de columnas

FACTOR A TOTAL FACTOR B TEMP. 1600 OC TEMP. 1900 OC A. HORNO 4 9.2 ( 1) 6.9 b 16.1 A. HORNO 8 21.5 a 16.6 ab 38.1 30.7 23.5 54.2

CUADRO DE ANÁLISIS DE VARIANZA Fuente de variacC. Grados de lib. Suma de cuadrad. Cuadrado medio F Factor A 1 4.32 10.94 B 40.33 102.10 Interacción AB 0.56 1.42 Error 8 3.16 0.395

Decisiones : Para el efecto principal del factor A, dado que F=10 Decisiones : Para el efecto principal del factor A, dado que F=10.94 no sobrepasa a 11.26 no podemos rechazar la hipótesis nula Ho. En el caso del factor principal B F=102.10 sobrepasa a 11.26 por lo tanto Ho. Se rechaza, si se trata del efecto de interacción F=1.42. No excede a 11.26 por lo tanto la hipótesis nula se acepta.

Procedimiento mediante statgraphics Ir a mejorar Crear diseños de experimentos Diseño nuevo CRIVADO No de factores experimentales : 2 ACEPTAR Ingrese niveles del factor A: bajo y alto Ingrese niveles del factor B : bajo y alto

Ingrese variable respuesta ACEPTA, ACEPTAR Marcar aleatoria Replicas : 2 ACEPTAR Libro de datos Ingresar datos variable respuesta En corregir ingresar 1,1,1,1,1…

Ir a mejorar Analizar diseños de experimentos Analizar diseño Ingresar variable respuesta ACEPTAR…

Análisis de Varianza para TIEMPO ----------------------------------------------------------------- Fuente Suma de Cuad. Gl Cuad. Medio Razón-F Valor-P A:Factor_A 4.32 1 4.32 11.08 0.0104 B:Factor_B 40.33 3 1 40.3333 103.42 0.0000 AB 0.563 1 0.563333 1.44 0.2638 Error total 3.12 8 0.39 Total (corr.) 48.3367 11 ----------------------------------------------------------

R-cuadrada = 93.5453 porciento R-cuadrada (ajustada por g.l.) = 91.1248 porciento PRUEBA DE HIPOTESIS:

EJEMPLO 2 Se llevo a cabo una investigación microbiológica para para estudiar el efecto de dos niveles de proteína alto y bajo y dos fuentes 2 fuentes de proteína ( cerdo y vegetal) sobre el aumento de peso (g) de ratas Sea la proteína el factor A con dos niveles de interés, alto y bajo. La grasa constituye el factor B, con dos niveles ( cerdo y vegetal).

El experimento se realiza ( ¨replica ¨repite) tres veces, y los datos son como sigue: ____________________________________ Combinación de Replica tratamientos I II II Total ------------------------------------------------------ A baja B baja 28 25 27 80 A alta B baja 36 32 32 100 A baja B alta 18 19 23 60 A alta B alta 31 30 29 90 --------------------------------------------------------

Efectuar un análisis de varianza basado en este experimento con dos factores para probar la significancia de los efectos factoriales, empleando un nivel de significación de 0.01. SOLUCION