MATEMATICA FINANCIERA Código: 413 INTERÉS COMPUESTO Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para uso exclusivo de estudiantes de la UNED Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso

MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO Monto que resulta, en una fecha futura, de adicionar los intereses generados (a una tasa de interés) al capital invertido, en un plazo determinado, donde los intereses que se van generando también ganan intereses ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR AÑO 0 1 2 3 Si invierto hoy, cuanto tendré más adelante? ? VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE VALOR FUTURO Supongamos que invierto ¢10.000 a una tasa del 20% anual, durante 3 años

AÑO 0 1 2 3 10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20) 80 = 80 17.280 Interes Capital ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO AÑO 0 1 2 3 10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20) 80 = 80 17.280 Interes Capital El Valor que se acumula en el futuro, corresponde al capital (Valor Actual), más los intereses de cada periodo, más los intereses de los intereses, que se pueden expresar en la siguiente fórmula: VF = VA (1 + i) n Donde VF = Valor Futuro o Monto total acumulado con intereses VA = Capital o Valor Actual del monto invertido i = Tasa de Interés n = Número de periodos

INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO AÑO 0 1 2 3 10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20) 80 = 80 17.280 Interes Capital En este Ejemplo, un Capital de ¢10.000, depositado durante 3 años al 20% anual capitalizable cada año, aplicando la Fórmula tendría el siguiente resultado: VF = VA (1 + i) n = 10.000 (1 + 0,20) 3 = 17.280 En este caso como el interés es anual y capitalizable anualmente, se aplica normalmente en la formula. Pero si la capitalización es con otra periodicidad, debe trabajarse con el número de periodos totales de capitalización y con la tasa equivalente para ese periodo.

Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢15 Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢15.000, durante 3 años al 22% anual, capitalizable trimestralmente: VF = VA (1 + i) n = 15.000 (1 + 0,055) 12 = 28.518,11 Nota: - La tasa de interés anual de 22%, dividida entre 4 trimestres, es una tasa trimestral de 5,5% - El número de periodos de 3 años, expresado en trimestres corresponde a 12 trimestres ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Ejemplo 2: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢24.000, durante 2,5 años al 18% anual, capitalizable mensualmente: VF = VA (1 + i) n = 24.000 (1 + 0,015) 30 = 37.513,93 Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 12 meses, es una tasa mensual de 1,5% - El número de periodos de 2,5 años, expresado en meses corresponde a 30 meses

INTERÉS COMPUESTO MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO + 81 81 81 7,29 Ejemplo 3: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢10.000, durante 2 años al 18% anual, capitalizable semestralmente: VF = VA (1 + i) n = 10.000 (1 + 0,09) 4 = 14.115,82 Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 2 semestres, es una tasa semestral de 9% - El número de periodos de 2 años, expresado en semestres corresponde a 8 semestres También se puede expresar así: VF = 10.000 (1 + 0,18/2)(2 x 2) = 14.115,82 AÑO 0 1 2 Semestre 0 1 2 3 4 10.000 900 900 900 900 81 81 81 7,29 81 81 81 7,29 7,29 0,66 Intereses 4.115,82 + Capital 10.000 14.115,82

INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL El valor presente o actual de un monto que vence o se dispondrá en una fecha futura, es aquel capital que a una tasa de interés o rendimiento compuesto, en un plazo determinado, alcanzará el valor especificado en la fecha futura. AÑO 0 1 2 3 20.000 (20.000 / 1,,20) 16.667 (16.667 / 1,,20) 13.889 (13.889 / 1,,20) 11.574 VA = VF / (1 + i) n = 20.000 / (1 + 0,20) 3 = 11.574 El Valor Presente, corresponde al Valor Futuro, descontado a una tasa de interés, por los periodos correspondientes. Su formula se deduce de la fórmula de Valor acumulado o futuro y se expresa así: : VF VA = ------------- ó también VA = VF (1 + i) - n (1 + i) n

Es decir, aprox. 6 años, o más exacto serían 6 años y 9 días ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Ejemplo 1: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢25.000 depositados hoy, se tripliquen, si la tasa de interés es de 20% anual? VF = VA (1 + i) n 75.000 = 25.000 (1 + 0,20) n (1,20) n = 75.000 / 25.000 n log 1,20 = log 3 0,07918 n = 0,4771213 n = 0,4771213 / 0,07918 = 6,0256 años Es decir, aprox. 6 años, o más exacto serían 6 años y 9 días (Este calculo se realiza, tomando en cuenta que son 6 años completos, más 0,0256 años que multiplicado por 360 días, equivale a 9 días). Para despejar un exponente se aplica logaritmo y el expo-nente pasa a multilplicar al logaritmo Como tasa de interés es anual, el tiempo resultante está expresado en años.

INTERÉS COMPUESTO PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS Ejemplo 2: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢12.000 depositados hoy, se transformen en ¢32.000, si la tasa de interés anual es de j(4) = 16%? VF = VA (1 + i) n 32.000 = 12.000 (1 + 0,04) n (1,04) n = 32.000 / 12.000 n log 1,04 = log 2,6667 0,017033 n = 0,425969 n = 0,425969 / 0,017033 = 25,0079 trimestres Es decir, aprox. 6 años y 3 meses (Este calculo se realiza, dividiendo 25,0079 entre 4 trimestres por año, lo que dá 6,25 años, siendo los 0,25 años equivalentes a 3 meses) La tasa de interés se capitaliza trimestralmente por lo que debe usarse tasa trimestral y el tiempo resultante está expresado en trimestres.

INTERÉS COMPUESTO PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS Ejemplo 3: Si ¢30.000 depositados hoy, se transformen en ¢45.000 en 3 años, qué tasa de interés anual está reconociendo el banco? VF = VA (1 + i) n 45.000 = 30.000 (1 + i) 3 (1 + i) 3 = 45.000 / 30.000 (1 + i) = 3 1,5 = ( 1,5 ) 1/3 i = 1,144714 - 1 = 0,1447 = 14,47% anual Demostrando este caso: = 30.000 (1 + 0,1447) 3 = 44.998,32 (La diferencia con los ¢45.000 es producto del redondeo en la tasa de interés) La tasa de interés es anual porque los periodos estan expresados en años

A. CAPITALIZACIÓN ANUAL INTERÉS COMPUESTO TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA Tasa Nominal (J): Tasa de interés que no considera periodos de capitalización dentro del periodo al cual se refiere la tasa. Ejemplo: 12% anual. Tasa Efectiva (i): Rendimiento porcentual real en un periodo de tiempo determinado. PARA UNA TASA NOMINAL DEL 20%: Si la capitalización es anual, gana el 20% anual y la tasa efectiva es del 20% (Gana ¢20 por cada ¢100 de inversión) Si la capitalización en semestral, gana el 10% semestral y la tasa efectiva es del 21% (Gana ¢21 por cada ¢100 de inversión) A. CAPITALIZACIÓN ANUAL AÑO 0 1 Capital 100 Intereses 20 100 20 120 B. CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL AÑO 0 1 Sem 0 1 2 Capital 100 Intereses 10 10 1 100 21 121

FÓRMULA PARA CONVERTIR TASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA INTERÉS COMPUESTO TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA C. CAPITALIZACIÓN TRIMESTRAL AÑO 0 1 Trim 0 1 2 3 4 Capital 100 Intereses 5 5 5 5 0,25 0,25 0,25 0,0125 0,25 0,25 0,25 0,0125 0,0125 0,000625 100 21,55 121,55 Si la capitalización en trimestral, gana el 5% trimestral y la tasa efectiva es del 21,55% (Gana ¢21,55 por cada ¢100 de inversión) FÓRMULA PARA CONVERTIR TASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA i(a) = (1 + j /m ) m –1 Donde: i(a): Interés efectivo anual j : Tasa nominal anual m : Número periodos capitalización en el año LOS CASOS ANTERIORES FORMA DE EXPRESAR LAS TASAS Según el periodo de capitalización, se expresan así: J(2) : Corresponde a capitalización semestral J(4) : Corresponde a capitalización trimestral J(12): Corresponde a capitalización mensual Ejemplos: J(4)=12%, es 12% anual, capitalizable 4 veces al año, es decir trimestralmente J(2)=17%, es 17% anual, capitalizable 2 veces al año, es decir semestralmente A: Anual i(a) = (1 + 0,20/1 ) 1 –1 = 0,20 = 20,00% B: Semestral i(a) = (1 + 0,20/2 ) 2 –1 = 0,21 = 21,00% C. Trimestral i(a) = (1 + 0,20/4 ) 4 –1 = 0,2155 = 21,55% D. Mensual i(a) = (1 + 0,20/12 )12 –1= 0,2194 = 21,94%

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Veamos un Ejemplo: Jeremías debe cancelar las siguientes sumas: ¢1.200.000 dentro de 1 año, ¢2.000.000 dentro de 3 años y ¢1.750.000 dentro de 4 años. Desea cambiar la forma de pago, para realizar 2 pagos iguales: el primero de ellos dentro de 2 años y el segundo dentro de 3 años. De cuanto será cada pago, si la tasa de interés es del 12% anual? AÑO 0 1 2 3 4 Debe Pagar 1.200 2.000 1.750 Quiere Pagar X X Lo que debe pagar debe ser igual (equivalente) a lo que quiere pagar. Como los montos que debe y los que desea pagar están en diferentes fechas, debe expresarse todas las cifras a una misma fecha (fecha focal) para hacer la comparación (Se puede escoger año 3 como fecha focal).

INTERÉS COMPUESTO ECUACIONES EQUIVALENTES AÑO 0 1 2 3 4 X X 1.200 2.000 1.750 X X Todos los montos que debe pagar, llevados al año 3 (Fecha Focal), los hacemos iguales a los montos que desea pagar, también llevados al año 3: 1.200.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.000.000 + = X x (1 + 0,12) + X 1.505.280 + 2.000.000 + 1.562.500 = 2,12 X X = 2.390.462,26 Es decir, cada uno de los pagos que deberá hacer es de ¢2.390.462,26, que resultan equivalentes a los montos adeudados. 1.750.000 (1 + 0,12) Comprobación: Si traemos todos los montos al Año “0“, lo adeudado y lo que se desa pagar, son iguales: 1.200.000 2.000.000 1.750.000 (1 + 0,12) (1 + 0,12) 3 (1 + 0,12) 4 2.390.462,26 2.390.462,26 (1 + 0,12) 2 (1 + 0,12) 3 VA (Adeudado) = + + = 3.607.145,71 VA (A Pagar) = + = 3.607.145,71

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR En este caso, debe establecerse cuales son los montos que debe pagar en cada una de estas obligaciones y luego proceder a llevar todos los montos a una misma fecha para realizar la equivalencia. AÑO 0 1 2 3 4 5 6 X 2 X 3.000(1+0,04)8 2.000(1+0,06)10 1.500(1+0,035)24 Pagos que debe realizar: - En Año 2: VF = 3.000(1+0,04)8 = 4.105,71 - En Año 5: VF = 2.000(1+0,06)10 = 3.581,70 - En Año 6: VF = 1.500(1+0,035)24 = 3.424,99

INTERÉS COMPUESTO ECUACIONES EQUIVALENTES AÑO 0 1 2 3 4 5 6 X 2 X Debe Pagar 4.105,71 3.581,70 3.424,99 Desea Pagar X 2X Luego hacemos la igualdad entre lo que debe pagar y lo que quiere pagar, pero todos los montos expresados en valores del año 5 (Fecha Focal). Llevar todo al año 5 4.105,71 (1+0,04) 12 + 3.581,70 + = X (1+0,04) 16 + 2 X 3.424,99 4.105,71 (1+0,04) 12 + 3.581,70 + = X (1+0,04) 16 + 2 X 6.573,37 + 3.581,70 + 2.927,70 = 1,87298 X + 2 X 13.082,77 = 3,87298 X X = 3.377,96 Los pagos que desea realizar serían de ¢3.377,96 a los 12 meses y de ¢6.755,92 a los 5 años. 3.424,99 (1+0,04) 4

Tasa de interés y plazo expresados en términos trimestrales ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Valor Futuro o Monto Acumulado: Juan realizará un depósito de ¢1.200.000 en un banco que le pagará un interés del 16% anual, capitalizable trimestralmente. Que monto tendrá acumulado dentro de 2 años? Mediante Fórmula: VF = VA x (1 + i) n = 1.200.000 x (1 + 0,04) 8 = 1.642.283 Tasa de interés y plazo expresados en términos trimestrales

Tasa Interes expresada en términos trimestrales ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Periodos a transcurrir: Cuantos años deben transcurrir para que un depósito de ¢1.200.000 acumule una cantidad de ¢ 1.800.000, si el interés que paga el banco es 15% anual, capitalizable trimestralmente? VF = VA x (1 + i) n 1.800.000 = 1.200.000 x (1 + 0,0375) n (1,0375) n = 1.800.000 / 1.200.000 n log 1,0375 = log 1,5 n = 0,1761 / 0,015988 n = 11,01 Periodos son trimestres. En años son 11/4 = 2,75 Años Tasa Interes expresada en términos trimestrales

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Periodos a transcurrir: Si el banco paga una tasa de interés de 18%, capitalizable semestralmente. Cuanto tiempo deberá transcurrir para que un depósito de ¢2.500.000 hecho hoy y otro de ¢ 5.000.000 que se hará dentro de tres años y medio, se transformen en ¢49.200.000? El depósito de ¢2.500.000 acumulará al momento de realizar el otro depósito Tasa Interes y periodos en términos semestrales VF = VA x (1 + i) n = 2.500.000 x (1 + 0,09) 7 = 4.570.098 Al realizar el nuevo depósito de ¢5.000.000 se suma a los ¢4.570.098 ya acumulados, con lo que la nueva suma ¢9.570.098, con la cual se debe acumular ¢49.200.000, que para determinar los periodos a transcurrir se realiza el siguiente cálculo: Tasa Interes expresa en términos semestrales VF = VA x (1 + i) n 49.200.000 = 9.570.098 x (1 + 0,09) n (1,09) n = 49.200.000 / 9.570.098 n log 1,09 = log 5,14101 n = 0,71105 / 0,03743 n = 18,9968 = 19 Periodos son semestres. En años son 19/2 = 9,5 Años El tiempo a transcurrir es 13 años (3,5 en que se mantiene solo el primer depósito, más 9,5 años que al realizar el segundo depósito, requiere para acumular la suma requerida

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Monto Acumulado y Tasa de rendimiento: Una persona deposita ¢350.000 en un banco que paga un interés de 36%, con capitalización mensual. Retira ¢250 000 al final del segundo año y ¢380 000 al final del tercer año. a) Cuánto tendrá acumulado al final del cuarto año? b) Qué cantidad adicional hubiera acumulado si no hubiera hecho ningun retiro? El depósito de ¢350.000 acumulará al final del segundo año: Tasa Interes y periodos en términos mensuales VF = VA x (1 + i) n = 350.000 x (1 + 0,03) 24 = 711.477,94 Al retirar ¢250.000 le quedarán ¢461.477,94, que acumularán al final del tercer año: VF = 461.477,94 x (1 + 0,03) 12 = 657.957,20 Al retirar ¢380.000 le quedarán ¢277.957,20, que acumularán al final del cuarto año: a) MONTO ACUMULADO AL CUARTO AÑO ¢396.300,50 VF = 277.957,20 x (1 + 0,03) 12 = 396.300,50 Si no hubiese efectuado ningun retiro, hubiera acumulado al final del cuarto año: VF = 350.000 x (1 + 0,03) 48 = 1.446.288,16 b) La suma adicional sería ¢1.446.288,16 que hubiera acumulado, menos ¢396.300,50 que acumuló CANTIDAD ADICIONAL ¢1.049.987,66

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR VF = VA x (1 + i) n = 1.000.000 x (1 + 0,13) 12 = 4.334.523,10 Comparación Interés Simple y Compuesto: Cual de las dos opciones es mejor para invertir ¢1.000.000 durante 6 años: al 26% capitalizable semestralmente o al 52% pero a interés simple? VF = VA x (1 + i x t) = 1.000.000 x (1 + 0,52 x 6) = 4.120.000,00 Es mejor la opción a interés compuesto pues el monto acumulado es mayor A interés compuesto, 26% capitalizable semestralmente: A interés simple, 52% anual:

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Valor Futuro y Tasa de Interés: Si se realiza una inversión de ¢10.000.000, por la cual el banco paga el 12% capitalizable semestralmente, durante los 2 primeros años. En los 2 años siguientes sube la tasa de interés al 15% pero la capitalización es anual y luego durante otros 2 años, la tasa nuevamente es del 12%, pero con capitalización mensual. a) Cuanto acumuló al cabo de los 6 años? b) Cual fue la tasa efectiva de interés anual que ganó en este periodo? VF = VA x (1 + i) n Los primeros 2 años: VF = 10.000.000 x (1 + 0,06) 4 = 12.624.769,60 Los segundos 2 años VF = 12.624.769,60 x (1 + 0,15) 2 = 16.696.257,80 Los ultimos 2 años: VF = 16.696.257,80 x (1 + 0,01)24 = 21.199.817,03 Tasa Interes y periodos según periodos de capitalización El monto acumulado es de ¢21.199.817,03 VF = VA x (1 + i) n 21.199.817,03 = 10.000.000 x (1 + i) 6 (1 + i) 6 = 21.199.817,03 /10.000.000 1 + i = 6 2,1199817 i = 1,13341429 - 1 i = 13,341429 = 13,34% La Tasa de Interés efectiva anual fue de 13,34%

Lo que tendría en el Banco si hubiese usado el crédito: INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Valor Presente o Valor Actual: Un terreno en la costa puede ser adquirido ¢12.500.000 en efectivo o mediante un pago de ¢5.000.000 el día de la compra y 2 pagos de ¢5.000.000 cada uno, a los 12 y 24 meses, respectivamente. Rosa retira el dinero de una cuenta en el banco, que le pagaba el 24% de interés, capitalizable trimestralmente y adquiere el terreno de contado. Demuestre si fue o nó la mejor elección la compra de contado. VA = VF / (1 + i) n Si se suma todos los valores actuales para la compra a crédito, se tiene: VA = 5.000.000 + 5.000.000 / (1 + 0,06) 4 + 5.000.000 / (1 + 0,06) 8 VA = 12.097.530 No fue la mejor elección: Usar el crédito representaba menor VA que el pago de contado (En VA hubiese pagado ¢402.470 menos) PRIMA PAGO MES 12 PAGO MES 24 (Todos en VA) 12.500.000 - 5.000.000 7.500.000 x (1 + 0,06) 4 = 9.468.577 -5.000.000 4.468.577 x (1 + 0,06) 4 = 5.641.476 Luego del segundo pago tendría en el Banco: 641.476 Lo que tendría en el Banco si hubiese usado el crédito: Retira 5.000.000 (Pago Prima) Saldo gana interés 4 trimestres Retira 5.000.000 (Pago Mes 12) Retira 5.000.000 (Pago Mes 24) Saldo luego de pagar todo NOTA: Diferencia de ¢402.470 en “Año 0” es equivalente a los ¢641.476 en “Año 2”. Compruébelo

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Ecuaciones Equivalentes (Pagos sin Intereses): Luis tiene con Randall las siguientes deudas: ¢2.000.000 a 6 meses, ¢2.500.000 a 18 meses y ¢4.000.000 a 2 años. Desea pagar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 1 y 1 y medio años, respectivamehte. De cuanto debe ser cada pago, si el rendimiento de mercado es 24%, capitalizable semestralmente? AÑO 0 1 2 Semestre 0 1 2 3 4 Debe Pagar 2.000 2.500 4.000 Desea Pagar X X Se hace una igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso sirve Sem 3, ya que coinciden 2 pagos) 2.000.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.500.000 + 4.000.000 / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X 2.508.800 + 2.500.000 + 3.571.429 = 1,12 X + X 8.580.229 = 2,12 X X = 4.047.278 2.000.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.500.000 + 4.000.000 / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X 2.508.800 + 2.500.000 + 3.571.429 = 1,12 X + X 8.580.229 = 2,12 X X = 4.047.278 Llevar de Sem 1 al 3, osea 2 Semestres 2 al 3, osea 1 Semestre Está en Sem 3. Se mantiene igual Traer de Sem 4 al 3, osea Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢4.047,278 cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Primer Pago: 2.500.000 x (1 + 0,03) 2 = 2.652.250 Segundo Pago: 5.000.000 x (1 + 0,08) 2 = 5.832.000 Tercer Pago: 3.000.000 x (1 + 0,07) 4 = 3.932.388 Debe Pagar 2.652 5.832 3.932 Desea Pagar X X Trim. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

INTERÉS COMPUESTO EJERCICIOS Ecuaciones Equivalentes: (Continuación) b. Se hace la igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso se puede usar Trim,6) Debe Pagar 2.652 5.832 3.932 Desea Pagar X X Trim. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.652.650 x (1 + 0,03) 4 + 5.832.000 x (1 + 0,03) 2 + 3.932.388 / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X 2.985.131 + 6.187.169 + 4.171.870 = 1,03 X + X 13.344.170 = 2,03 X X = 6.573.483 2.652.650 x (1 + 0,03) 4 + 5.832.000 x (1 + 0,03) 2 + 3.932.388 / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X 2.985.131 + 6.187.169 + 3.706.653 = 1,03 X + X 12.878.953 = 2,03 X X = 6.344.312 Llevar de Trim 2 al 6, osea 4 Trimestres 5 al 6, osea 1 Trimestre 4 al 6, osea 2 Trimestres Traer de Trim 8 al 6, osea 2 Trimestrea Está en Trim 6. Se mantiene igual Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢6.344.312 cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

i(a) = (1 + j /m ) m –1 = (1 + 0,18 /4 ) 4 –1 = 0,192519 = 19,25% No se divide entre periodos de capita-lización, porque la información dada ya se refiere a dicho periodo ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Tasa Efectiva: Determine cuál es la tasa efectiva anual, si la tasa nominal es de 18%, capitalizable trimestralmente. i(a) = (1 + j /m ) m –1 = (1 + 0,18 /4 ) 4 –1 = 0,192519 = 19,25%

muchas gracias . . . INTERÉS COMPUESTO Claudio Urrutia Rojas UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA HAGA LLEGAR SUS COMENTARIOS SOBRE ESTA PRESENTACIÓN A: currutia01@cpcecr.com