Lógica Proposicional Álgebra Superior Universidad Salesiana de Bolivia Campus Achachicala Contaduría Pública y de Sistemas 1er. Semestre Lógica Proposicional Álgebra Superior Ing. Cleto @lberto Vargas Patsi 1/2011

Introducción. Las matemáticas son una extensión de la lógica, pudiendo decirse desde este punto de vista filosófico que: Las matemáticas son un lenguaje. El lenguaje de la ciencia 11-nov-18

Introducción. La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman. 11-nov-18

Proposición. Es una colección de Palabras, Números o Símbolos, de los cuales tiene sentido afirmar si es Verdadero o Falso. Todas las Proposiciones estarán asociados a un valor de Verdad, el cual puede ser Verdadero (V) o Falso (F). A las proposiciones que tienen un valor de Verdad conocido (V o F), se los llama ENUNCIADOS. 11-nov-18

Una proposición, Hoy es Martes Ayer llovió Hace frío Soy de Contaduría Es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo: Hoy es Martes Ayer llovió Hace frío Soy de Contaduría 11-nov-18

La lógica proposicional, Permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad para analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo como proposiciones, sería: Hoy_es_Viernes Ayer_llovió Hace_frío Soy_de_Contaduría 11-nov-18

hoy_es_Viernes y hace_frío. La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo: hoy_es_Viernes y hace_frío. 11-nov-18

También son proposiciones las siguientes colecciones de Palabras, Números o Símbolos: p: Los libros son buenos amigos q: los gatos ladran r: Los hombres son mas inteligentes que las mujeres s: 5 + (2) (4) = 13 t: (+) (-) = (+) 11-nov-18

Se conoce como EL PRINCIPIO DEL TERCER EXCLUIDO, a aquel principio que sostiene que una Proposición solo tiene dos opciones (es F o V), no existe una tercera alternativa. 11-nov-18

NO son Proposiciones, estas otras Palabras, Números o Símbolos. El perro de mi amigo ¡Hola cómo estás! El blanco de las nubes sobre el azul del cielo 8+3-6 Tarzán Bolívar juega No tiene sentido 11-nov-18

Ejemplo: indicar cuál de estas colecciones de Palabras Números o Símbolos constituyen una proposición: El cielo es azul Este perro es malo Por la sonrisa de una dama Juan simpático Juan es simpático Mi coche vuela por los aires La mariposa corre bajo el agua 4 + 32 = (5) (4) – 14 + 2 (+) (+) > (-) (+) (p) (np) 11-nov-18

Proposiciones compuestas. CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO ~ Negación No; no es cierto que ^ Conjunción Y v Disyunción inclusiva y/o; uno u otro o ambos Disyunción exclusiva uno u otro, pero no ambos => Condicional Si … entonces .. <=> Bicondicional Si 11-nov-18

Tabla de verdad. Una tabla de verdad es un arreglo ordenado de las posibilidades del Valor de Verdad de las Proposiciones Simples o Compuestas. Las tablas de verdad permiten esquematizar en forma simple, las características del Valor de Verdad de las Proposiciones. 11-nov-18

Ejemplo: P Q V F 11-nov-18

Equivalencia lógica. P Ξ Q Dos Proposiciones Compuestas poseen Equivalencia Lógica, si sus tablas de verdad son IDÉNTICAS. La Equivalencia lógica entre las proposiciones: P, Q se expresa mediante: El símbolo Ξ se lee “EQUIVALENTE”; verificándose: P Ξ Q, o también: Q Ξ P; donde P o Q pueden ser proposiciones compuestas. P Ξ Q 11-nov-18

La negación. La Negación de la proposición: P es la proposición: ~P Se obtiene anteponiéndo el Conectivo: ~ sobre: P (~P se lee: “No P”; o también: “No es cierto que P”) P ~ P V F 11-nov-18

Ejemplos: Una proposición y su respectiva negación es la siguiente: P: Es bueno el deporte para la salud ~P: No es bueno el deporte para la salud Anteponiendo el NO (~), a la proposición, se obtiene la Negación. 11-nov-18

Una proposición puede negarse de diferentes maneras. P: Son lindas las fiestas ~P: No son lindas las fiestas ~P: No es cierto que son lindas las fiestas ~P: es Falso que son lindas las fiestas ~P: Son feas las fiestas Para la negación, el lenguaje común brinda diversos modos de expresión, que significan lo mismo. 11-nov-18

Ejemplo de negación de proposiciones: P: La Universidad es el templo de la ciencia ~P: La Universidad NO es el templo de la ciencia b) Q: Alejandro es alto ~P: Alejandro NO es alto c) R: Juanita no es feliz ~R: Juanita es feliz d) S: El deporte es salud ~S: Es deporte no es salud Una Reiterada Negación o doble negación, es equivalente a la Proposición Original. ~ (~P) Ξ P 11-nov-18

La conjunción. P Q P ^ Q P Q P ^ Q La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos, se lee (P ^ Q , se lee “P y Q”) P Q P ^ Q V F P Q P ^ Q 1 11-nov-18

Se forma la CONJUNCIÓN a partir de proposiciones simples: P: Juan juega Q: Pedro estudia P ^ Q “Juan juega y Pedro estudia” P: El profesor es bueno Q: Los alumnos son malos P ^ Q “El profesor es bueno y los alumnos malos” 11-nov-18

Disyunción inclusiva. Esta proposición compuesta se obtiene combinando: P, Q mediante el conectivo v. (P v Q, se lee “P o Q”) La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando vale F y vale F. P Q P v Q V F P Q P v Q 1 11-nov-18

Ejemplos: P v Q “Llueve o nieva” P: Llueve Q: Nieva P v Q “Las aves vuelan o los peces caminan” P: Las aves vuelan Q: Los peces caminan 11-nov-18

Disyunción exclusiva. P Q P v Q P Q P v Q La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es falsa en los demás casos. Se lee excluye a . Se entenderá: P v Q, como P o Q, pero no ambos a la vez. P Q P v Q V F P Q P v Q 1 11-nov-18

Ejemplos: P v Q “O te quedas o te vas” P: Te quedas Q: Te vas P v Q Cinco es un número par o impar P: Cinco es un número par Q: Cinco no es un número par 11-nov-18

P es V, Q es F; por tanto es verdadera la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA. Ejemplos: P v Q Dos es un número fraccionario o entero P: Dos es un número fraccionario Q: Dos no es un número entero P es V, Q es F; por tanto es verdadera la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA. V v F Ξ V 11-nov-18

Si estudian aprueban La fuerza del hombre, se encuentra en la fortaleza de su alma y, el alma la fortalecemos con todos los detalles de amor y fraternidad de los unos con los otros 11-nov-18

CONDICIONAL. El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando vale V y vale F. Al CONDICIONAL se lo llama también IMPLICACIÓN; P=>Q que puede leerse como: P implica Q o, P es suficiente para Q o, se lee P condiciona a Q. P Q P => Q V F P Q P => Q 1 11-nov-18

P es V, Q es V; por tanto es V el Condicional Ejemplos: P=>Q “Si estudias entonces aprendes” P: Estudias Q: Aprendes P=>Q Si las aves vuelan entonces (2ª + 3ª = 5a) P: Las aves vuelan Q: (2ª + 3ª = 5a) P es V, Q es V; por tanto es V el Condicional 11-nov-18